Расхождение интегральной суммы Римана — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 2: Строка 2:
  
  
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0#.D0.9D.D0.B5.D0.BE.D0.B1.D1.85.D0.BE.D0.B4.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D0.B8_.D0.B4.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.87.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.83.D1.81.D0.BB.D0.BE.D0.B2.D0.B8.D1.8F_.D1.81.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B8.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB.D0.B0_.D0.A0.D0.B8.D0.BC.D0.B0.D0.BD.D0.B0 Интегральная сумма Римана] часто используется для аппроксимации конечной суммы интегралом. Однако, такая аппроксимация может приводить к ошибкам. Рассмотрим сумму и ее интегральное представление:
+
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0#.D0.9D.D0.B5.D0.BE.D0.B1.D1.85.D0.BE.D0.B4.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D0.B8_.D0.B4.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.87.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.83.D1.81.D0.BB.D0.BE.D0.B2.D0.B8.D1.8F_.D1.81.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B8.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB.D0.B0_.D0.A0.D0.B8.D0.BC.D0.B0.D0.BD.D0.B0 Интегральная сумма Римана] часто используется для аппроксимации конечной суммы интегралом. Однако, такая аппроксимация может приводить к ошибкам. Рассмотрим сумму (возникает при описании [[Проект "Термокристалл"|термомеханических процессов в кристаллах]]) и ее интегральное представление:
  
 
::<math>
 
::<math>
Строка 10: Строка 10:
  
 
Как правило, интеграл хорошо приближает подобную сумму при больших <math>N</math>. Однако, в рассматриваемом случае это не так. Данный интеграл — монотонно возрастающая функция <math>t</math> (подынтегральное выражение неотрицательно). Сумма же, очевидно, обращается в ноль при <math>t=0</math> и <math>t=\pi N</math>. Таким образом, интеграл не дает приемлемого приближения суммы при больших временах. Вопрос: можно ли улучшить интегральную аппроксимацию так, чтобы устранить возникающее расхождение?
 
Как правило, интеграл хорошо приближает подобную сумму при больших <math>N</math>. Однако, в рассматриваемом случае это не так. Данный интеграл — монотонно возрастающая функция <math>t</math> (подынтегральное выражение неотрицательно). Сумма же, очевидно, обращается в ноль при <math>t=0</math> и <math>t=\pi N</math>. Таким образом, интеграл не дает приемлемого приближения суммы при больших временах. Вопрос: можно ли улучшить интегральную аппроксимацию так, чтобы устранить возникающее расхождение?
[[Участник:Антон Кривцов|Антон Кривцов]] ([[Обсуждение участника:Антон Кривцов|обсуждение]]) 00:05, 28 марта 2016 (MSK)
+
 
 +
[[Участник:Антон Кривцов|Антон Кривцов]] 28 марта 2016

Версия 00:37, 28 марта 2016

Кафедра ТМ > Интересные ссылки > Занимательная математика > Интегральная сумма


Интегральная сумма Римана часто используется для аппроксимации конечной суммы интегралом. Однако, такая аппроксимация может приводить к ошибкам. Рассмотрим сумму (возникает при описании термомеханических процессов в кристаллах) и ее интегральное представление:

[math] \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1} \frac{\sin^2\bigl(\frac{k}{N} t\bigr)}{\bigl(\frac{k}{N}\bigr)^2} \simeq \int_0^{1} \frac{\sin^2(x t)}{x^2}\,d x .[/math]

Как правило, интеграл хорошо приближает подобную сумму при больших [math]N[/math]. Однако, в рассматриваемом случае это не так. Данный интеграл — монотонно возрастающая функция [math]t[/math] (подынтегральное выражение неотрицательно). Сумма же, очевидно, обращается в ноль при [math]t=0[/math] и [math]t=\pi N[/math]. Таким образом, интеграл не дает приемлемого приближения суммы при больших временах. Вопрос: можно ли улучшить интегральную аппроксимацию так, чтобы устранить возникающее расхождение?

Антон Кривцов 28 марта 2016