Расхождение интегральной суммы Римана

Кафедра ТМ > Интересные ссылки > Занимательная математика > Интегральная сумма

---

Интегральная сумма Римана часто используется для аппроксимации конечной суммы интегралом. Однако, такая аппроксимация может приводить к ошибкам. Рассмотрим сумму (возникает при описании термомеханических процессов в кристаллах) и ее интегральное представление:

[math] \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1} \frac{\sin^2\bigl(\frac{k}{N} t\bigr)}{\bigl(\frac{k}{N}\bigr)^2} \simeq \int_0^{1} \frac{\sin^2(x t)}{x^2}\,d x .[/math]

Как правило, интеграл хорошо приближает подобную сумму при больших [math]N[/math]. Однако, в рассматриваемом случае это не так. Можно показать, что при [math]t\ge0[/math] данный интеграл — монотонно возрастающая функция [math]t[/math]. Сумма же, очевидно, обращается в ноль при [math]t=0[/math] и [math]t=\pi N[/math]. Таким образом, интеграл не дает приемлемого приближения суммы при больших временах. Вопрос: можно ли улучшить интегральную аппроксимацию так, чтобы устранить возникающее расхождение?

Антон Кривцов 28 марта 2016