Математическая модель лука

БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: К.П. Фролова
Руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент О.С. Лобода

Предисловие

Данная работа включает в себя результаты, полученные в курсовом проекте по теоретической механике, а также является продолжением освещенной в нем темы моделирования конструкции лука.

Введение

Лук является одним из первых механических устройств, созданных человеком. В наши дни такое оружие, как лук, все еще остается популярным. Современные спортивные луки используются в соревнованиях, в том числе, в Олимпийских играх. Большим спросом пользуются и классические охотничьи луки.
Б.А. Виноградский в 2004 году проанализировал состояние и перспективы развития стрельбы из лука в мире по результатам XXVIII Олимпийских игр в Афинах. Резюмируя, он отметил, что развитие стрельбы из лука как вида спорта на международной арене можно оценить как стабильное, а также подчеркнул, что отмечается постепенный рост спортивного результата, ужесточение спортивной борьбы и повышение конкуренции.
Краткий экскурс на тему основных понятий и принципов, касающихся темы стрельбы из лука, приведен в курсовом проекте по теоретической механике.

В данной работе обратим внимание на принципиальное различие между классическим и блочным луком. Заключается оно в том, что в блочном луке плечи непосредственно изгибаются не тетивой, а тросами.
При оттягивании тетивы она сматывается с блока большего радиуса и прокручивает его. На блок меньшего радиуса, вращающийся с ним синхронно, в это время наматывается силовой трос, соединенный с противоположным плечом. Таким образом, трос, наматываемый на верхний блок, сгибает нижнее плечо лука, а трос, наматываемый на нижний блок, сгибает верхнее плечо лука.
Если с конструкции снять тросы и при этом оттягивать тетиву, то плечи не согнутся.



И.Ф. Заневский отметил «эволюцию» моделей, созданных рядом ученых. Так, С.Х. Хикман описал лук моделью, в которой плечи являются прямыми и недеформируемыми, между которыми располагаются идеальные шарниры с пружиной Архимеда, а концы которых соединены нерастяжимой тетивой. Б.В. Куи и Дж.А. Спаренберг в своей модели рассмотрели плечо лука в качестве упругой полосы. Среди российских работ в области создания математической модели лука можно подчеркнуть работу А.А. Лужина, который смоделировал плечи лука пластинами Кирхгофа – Лява, тетиву - нерастяжимой нитью, а стрелу – сосредоточенной массой. При этом задача решалась в линейной постановке для малых прогибов плеч. Разработка модели блочного лука представляет наибольший интерес в современном мире. Тем не менее, для того, чтобы перейти к ней, необходимо понимание характера процессов, происходящих в классических луках. Особое внимание уделяется азиатскому луку. Особенностью его конструкции являются негнущиеся концы плеч, называемые «ушами», благодаря которым усилие натяжения лука резко увеличивается в начале и гораздо более плавно - в конце. Модель такого лука описали в своей работе Б.В.Куи и Дж.А. Спаренберг и показали, что конструкция позволяет запасти больше энергии. Математическую модель блочного лука предложил Дж.Л. Парк.

Постановка задачи

Целью является описание механической конструкции лука с помощью математического аппарата. В рамках данной работы внимание уделяется двум моделям. В одном случае плечи лука рассматриваются как абсолютно жесткие стержни, в другом у них имеется характеристика на изгиб.
Необходимо:

• Найти зависимость силы натяжения лука от смещения тетивы, построить динамические кривые
• Найти зависимости энергии, накапливаемой в конструкции, от смещения тетивы
• Найти зависимости начальной скорости стрелы от смещения тетивы
• Провести сравнение полученных результатов с экспериментальными данными

Также в рамках работы нужно продемонстрировать эффективность применения системы эксцентричных блоков в конструкции лука. Для этого

• Разобрать в теории принцип действия конструкции
• Построить зависимость усилия натяга от смещения тетивы на основании экспериментальных данных

Модель лука с абсолютно жесткими стержнями

В качестве недеформированного состояния лука принимается состояние, когда плечи представляют собой два прямых стержня, концы которых соединены тетивой, имеющей некое начальное смещение.Между плечами располагается спиральная пружина конечной жесткости, моделируемая телом – точкой (т.е. она занимает нулевой объем, но при этом имеет инерцию на вращение). Плечи лука расположены симметрично относительно оси, проходящей через точку, обозначающую пружину, и середину тетивы.
Имеет место момент, создаваемый посредством пружины, описываемый формулой
[math]M \ =\ c\varphi[/math], где где M – момент пружины, c – жесткость пружины, [math]\varphi[/math] - угол отклонения плеча лука.
Поскольку конструкция лука находится в статическом равновесии в момент, когда тетива оттягивается, сила натяжения тетивы и сила натяжения лука, прикладываемая к середине тетивы, будут описываться формулами:
[math]T = \frac{c\varphi}{h}[/math], где T - сила упругости тетивы, h - плечо силы T.
[math]F \ =\ 2T\cos\beta \ =\ 2\frac{c\varphi}{h}\cos\beta[/math], где F – сила натяжения лука, [math]\beta[/math] – угол, образуемый между оттягиваемой тетивой и плечом лука.
Силу, прикладываемую к луку, необходимо выразить через геометрические параметры конструкции (длину плеча лука и базу (величину начального смещения тетивы)), через величину жесткости спиральной пружины, а также через смещение тетивы.
Оказалось, что [math]F = F( x) \ =\ \frac{\partial F}{\partial x}(0)x+ \frac{1}{2}*\frac{\partial^2F}{\partial x^2}(0)x^2 + \frac{1}{6}*\frac{\partial^3F}{\partial x^3}(0)x^3[/math]
Проведенные расчеты показали, что [math]\frac{\partial F}{\partial 0}(0) \ =\ 0 ;\quad \frac{\partial^2F}{\partial x^2}(0) \ =\ 0[/math]
[math]\frac{\partial^3F}{\partial x^3}(0) \ =\ \frac{12c(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}} [/math]
Таким образом, [math]F( x) \ =\ \frac{2c(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}x^3[/math]
Энергия лука:
[math]U( x) \ =\ \frac{c(l^2 - 2x_0^2)}{2l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}x^4[/math]
Начальная скорость стрелы:
[math]v( x) \ =\ \frac{2\sqrt{c(l^2 - 2x_0^2)}}{lx_0\sqrt{m(l^2 - x_0^2)}}x^2[/math]

Модель лука с упругими стержнями

Решается статическая задача в линейной постановке теории стержней. В недеформированном состоянии плечи лука представляют собой прямые стержни, находящиеся под некоторым углом к горизонту. В решаемой задаче плечи лука допустимо моделировать балками Бернулли – Эйлера, т.к. они достаточно хорошо описывают тонкие стержни. В данном случае считается, что внешние моменты отсутствуют, также можно пренебречь инерцией вращения. Кроме того, полагается, что жесткость балки Бернулли – Эйлера на поперечный сдвиг бесконечно велика, но при этом поперечная сила остается ограниченной, что приводит к тому факту, что вектор деформаций сдвига является нулевым. Распределенные нагрузки и моменты отсутствуют.
Уравнения равновесия стержней представлены системой
[math]N' \ =\ 0[/math]
[math]M'+ \tau\times N\ =\ 0[/math]
где [math]N[/math] – вектор силы в сечении плеча лука, [math]M[/math] – вектор момента в сечении плеча лука, [math]\tau[/math] - единичный вектор касательной к стержню в актуальной конфигурации.
Вектор деформаций в случае линейной теории стержней:
[math]\xi =u' + \tau\times\psi[/math]
где [math]u[/math] – вектор перемещений стержня, [math]\psi[/math] - вектор поворота стержня.
Учитывая, что в балке Бернулли – Эйлера деформации поперечного сдвига отсутствуют, получаем соотношение
[math]u' =-\tau\times\psi[/math]
Связь вектора деформации и момента в сечении:
[math]f \ = \frac{1}{с_1}kk + \frac{1}{с_2}nn + \frac{1}{с_3}\tau\tau[/math]
где [math]f[/math] – вектор деформации, [math]c_1[/math] , [math]c_2[/math] – жесткости на изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях [math]c_3[/math] – жесткость на кручение,[math]n[/math] –вектор нормали к сечению стержня, [math]k[/math] –вектор бинормали к сечению стержня.
Связь вектора деформации и вектора поворота в линейной теории стержней:
[math]f \ = \psi'[/math]
Решая данную систему уравнений, можно найти выражение перемещения точек плеча в зависимости от прикладываемой к нему силы:
[math]u \ = \frac{s^2}{2c_1}(l-\frac{s}{3})N_0[/math]
Преобразовывая полученную зависимость к искомой зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы, получаем
[math]x \ = \sqrt{p^2-(lsin\alpha-\frac{l^3}{6c_1}Fctg\alpha)^2}+lcos\alpha+\frac{l^3}{6c_1}F-x_0[/math]
Начальная скорость стрелы:
[math]v \ = \2\sqrt\frac{3c_1sin\alpha((x+x_0)sin\alpha+\sqrt{p^2-(l-(x+x_0)cos\alpha)^2})}{ml^3}x[/math]

Эффективность применения системы блоков

Для определения искомой зависимости точку B можно считать неподвижной. Плечо силы натяжения троса равно по модулю радиусу меньшего блока. Тогда, продлевая плечо BC на расстояние, равное плечу AB, можно получить рычаг, в котором будет выполнено соотношение:
[math]F\ = \frac{BC}{AB}T[/math]
Если блоки эксцентричные, то плечо BC будет увеличиваться при оттягивании тетивы, AB оставаться постоянной, при этом значение косинуса угла будет всегда меньше единицы, следовательно,будет уменьшаться ощущаемое стрелком усилие.
Тем не мене, круглые блоки тоже достаточно эффективны в применении, т.к. из-за того, что плечо BC всегда больше AB на протяжении оттягивания тетивы, оказывается, что сила, сгибающая плечо лука больше силы, прикладываемой к тетиве, что позволяет делать конструкции более мощными.

Эксперименты

• Эксперимент с классическим луком

Эксперимент проводился с прямым симметричным луком. Материал плеч – стеклотекстолит.
Ход выполнения эксперимента заключался в следующем: рукоять лука фиксировалась, затем к середине тетивы крепился груз известной массы, после чего с помощью рулетки измерялось значение смещения тетивы от положения, когда она не деформирована. Таким образом, снималась зависимость массы подвешиваемого груза от смещения тетивы, которая для дальнейших расчетов преобразовывалась в зависимость силы натяжения лука от указанного перемещения.

• Эксперимент с блочным луком

Эксперимент проводился с блочным луком «Ястреб». Лук имеет стандартные эксцентричные блоки, карбоновые плечи и рукоять из алюминий - магниевого сплава.
Ход эксперимента такой же, как и в случае с классическим луком.

Результаты

Для сравнения динамических кривых, построенных для двух моделей, описывающих лук, а также для определения расхождения их с динамической кривой, построенной по экспериментальным данным, учитывалось, что такие параметры лука, как длина плеча, а также начальное смещение тетивы в обеих моделях равны соответствующим параметрам реальной конструкции. Также было принято, что совпадают значения максимальной величины силы натяжения лука.
Величина жесткости спиральной пружины в модели лука с абсолютно жесткими плечами определялась, исходя из соображений о том, что модель должна как можно точнее описывать реальную конструкцию.С этой целью использовался метод наименьших квадратов. Оказалось, что [math] c = 23.169[/math] Нм .
Жесткость лука, описываемого моделью с упругими плечами, выражалась через значения модуля Юнга и момент инерции поперечного сечения плеча лука: [math]c = EI[/math]. При этом для сравнения с экспериментом необходимо принять, что жесткость, используемая в модели, соответствует реальной жесткости плеча лука. Для этого необходимо равенство соответствующих модулей Юнга, а также моментов инерции поперечного сечения плеча лука. Момент инерции определяется следующей формулой:
[math]I \ =\ \frac{bh^3}{12}[/math], где где [math]b[/math] и [math]h[/math] – ширина и высота поперечного сечения соответственно.
В реальной конструкции плечо лука имеет переменную ширину и постоянную высоту сечения. Экспериментально снятые значения зависимости ширины сечения от координаты вдоль плеча аппроксимировались линейной функцией, описываемой следующей формулой: [math]b = 0.0316s + 0.01[/math]. В результате осреднения момента инерции по достаточно большому количеству точек оказалось, что [math] c_1 = 24.852[/math]

Построены динамические кривые, иллюстрирующие зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы для обеих моделей, а также для экспериментальной конструкции.Из графиков видно, что кривая, построенная для модели лука, в котором стержни рассматриваются как балки Бернулли – Эйлера, проходит ближе к экспериментальной, нежели динамическая кривая, характеризующая лук с абсолютно жесткими плечами. Также визуально можно оценить, что площадь под графиком, построенным для модели с упругими плечами, больше, чем площадь под графиком, описывающим другую модель. Следствием этого является тот факт, что работа и, соответственно, мощность лука с упругими плечами превышает соответствующий показатель лука с абсолютно жесткими стержнями.
Для качественной и количественной оценки мощностей луков, описываемых обеими моделями, рассматриваемыми в данной работе, построены графики зависимости энергии, накапливаемой в конструкции лука, от величины смещения тетивы. Из графиков видно, что действительно мощность лука с упругими плечами превышает мощность лука с абсолютно жесткими стержнями и точнее описывает данную характеристику при сравнении с экспериментальными данными.
Помимо динамической кривой лука, а также его мощности, интерес представляет такая характеристика конструкции, как начальная скорость, придаваемая стреле. Видно, что зависимость начальной скорости стрелы от смещения тетивы для модели с упругими плечами точнее описывает соответствующую зависимость, построенную по экспериментальным данным, чем в случае модели с абсолютно жесткими плечами.

По экспериментальным данным для исследуемого блочного лука построена зависимость усилия натяжения лука, от смещения тетивы. Видно, что у графика имеется пик в точке, где сила натяжения лука является максимальной и составляет 20 кгс. После прохождения пика усилие, ощущаемое стрелком, падает, но при этом накопленная в деформируемых плечах луках мощность никуда не исчезает.

Заключение

В работе рассмотрены

• Модель лука с абсолютно жесткими плечами и пружиной между ними
• Модель лука с плечами, моделируемыми балками Бернулли – Эйлера, задача решена в линейном приближении
• Принцип работы блочного лука

Оказалось, что

• Мощность лука с абсолютно жесткими плечами меньше мощности лука с упругими плечами
• Модель лука с упругими стержнями описывает реальный лук точнее, а также является эффективнее
• Блоки позволяют удерживать в натяжении более мощные луки

Список использованных источников

• Б.А. Виноградский. Анализ состояния и перспективы развития стрельбы из лука в мире с учетом результатов 28 Олимпийских игр в Афинах // Наука в олимпийском спорте – 2005 - № 2 - с. 60 – 68.
• I.F. Zaniewski. Modeling of the archery bow and arrow vibrations // Shock and Vibration – 2009 - №3 - p. 307 – 317.
• С. Кондратьев. Термины в стрельбе из лука [электронный ресурс] // Стрельба из лука: [сайт] – 2011 – URL: http://www.archery-sila.ru/
• Э. Макьюэн, А. Миллер, А. Бергман. Конструкция и изготовление древних луков. // В мире науки – 1991 - № 8 - с. 38–75.
• В.Н. Казанцев. Пособие для начинающих лучников [электронный ресурс] // Стрельба из лука: [сайт ] – 2009 – URL: http://www.archery-sila.ru/
• И.Ф. Заневский. Компьютерная модель внутренней баллистики стрелы лука // Сборник научных трудов "Вестник НТУ "ХПИ": Информатика и моделирование – 2011 - №36 - c. 78 – 86.
• C.N. Hickman. Dynamics of a bow and arrow // Journal of Applied Physics – 1937 - V. 8 - p. 404-409.
• B.W. Kooi, J.A. Sparenberg. On the static deformation of a bow // Journal of Engineering Mathematics – 1980 - V. 14, № 1 - p. 27-45.
• А.А. Лужин. Моделирование выстрела из лука: дис. на соискание ученой степени к.ф.-м.н. – Москва, 2008 - 103 с.
• T.M. Hamilton. Native American Bow. Columbia: Published by Missouri Archeological Society, 1982 – 148 p.
• J.L. Park. The behaviour of an arrow shot from a compound archery bow // Proc. Of the IMechE, Part P: Journal of Sports Engineering and Technology. – 2011. – V. 225, № 8. – p. 8 - 21.
• П.А. Жилин. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2007 - 101 с.
• J.E. Gordon. Structures, or why Things don't Fall Down. Harmondsworth: Published by the Penguin Books, 1978 – 395 p.