Фролова Ксения. Курсовой проект по теоретической механике

Тема проекта

Моделирование стрельбы из лука
Модель лука

Постановка задачи

Существуют статические и динамические параметры конструкции лука.

• статические параметры: сила натяжения тетивы, величина рабочего хода
  
• динамические параметры: скорость распрямления дуг, амплитуда и длительность колебаний в дуге
  

В рамках данной курсовой работы необходимо составить модель прямого лука (плечи которого в состоянии без тетивы представляют собой палку). Интересующей нас величиной является дальность полета стрелы. Задачей является выведение и последующее рассмотрение зависимости этой дальности от вышеуказанных параметров конструкции лука.
Конкретизация:
Стоит рассмотреть две модификации лука: в первом случае можно принять тетиву за нерастяжимую нить, а плечи за плоские пружины изгиба или же за стрержни, поместив пружину между ними; во втором случае стоит учитывать растяжимость тетивы. Далее необходимо рассчитать дальность полета стрелы.

Краткий экскурс

Общий принцип
Причиной движения стрелы является переход потенциальной энергии деформируемого тела в кинетическую энергию полета снаряда. Реализация происходит посредством сравнительно медленного оттягивания тетивы, в течение которого накапливается потенциальная энергия упругости плеч лука, последующего спуска тетивы, когда плечи, разгибаясь, преобразуют накопленную энергию в кинетическую энергию полета стрелы, а также непосредственно полета стрелы, происходящего за счет полученной кинетической энергии.
Преобразование потенциальной энергии деформируемого тела в кинетическую энергию полета стрелы
Одним из основных боевых качеств лука является его силовая характеристика - зависимость силы натяжения, прикладываемой к тетиве, от смещения тетивы из положения равновесия. Изображая данную зависимость на графике, мы получаем динамическую кривую.
Пусть силовая характеристика известна (эту зависимость нетрудно получить экспериментальным путем, оттягивая тетиву на горизонтально покоящемся луке с помощью гирек разных масс). Тогда мы можем вычислить потенциальную энергию, накапливаемую за счет оттягивания тетивы путем взятия интеграла:
[math]\int^l_0F(s)ds[/math], где [math]l[/math] является величиной рабочего хода (максимальной величиной смещения тетивы)
Потенциальная энергия деформируемых плеч преобразуется не только в кинетическую энергию полета стрелы, но также и в кинетическую энергию тетивы, кинетическую энергию плеч, отдачу стрелку, колебания дуги, преодоление силы трения стрелы о "полочку".
Так, необходимо ввести в рассмотрение КПД лука:
[math]\eta = \frac{T}{U}*100[/math]%
Кинетическая энергия снаряда T:
[math]T = \frac{mv_0^2}{2} [/math]
Рассмотрим зависимость [math]\eta \sim m[/math]:
- если m очень мало, то выстрел "как бы холостой" [math]\Rightarrow \eta[/math] мало;
- если m слишком велико, то уменьшается ускорение, сообщаемое стреле, увеличивается отдача лука, увеличивается сила трения [math]\Rightarrow \quad T \searrow \quad \Rightarrow \quad \eta \searrow[/math]
Таким образом, нужно искать баланс. Опыты показывают, что КПД составляет 30% - 85%
Начальная скорость стрелы обратно пропорциональна времени, а время, в течение которого накапливается потенциальная энергия для последующего перехода в кинетическую зависит от величины рабочего хода (или же просто от смещения тетивы, если лук натягивается не до "упора"), а также от массы стрелы. В современных луках начальная скорость составляет 40 - 80 м/с.
Мощность лука
[math]P \ =\ \frac{U}{t} \quad P \sim \frac{1}{t},\quad \frac{1}{m}[/math]
Так, для того, чтобы [math]P \searrow[/math], необходимо, чтобы [math]t \searrow,\quad m \searrow[/math]
Для того, чтобы [math]v_0 \nearrow [/math], необходимо, чтобы [math]t \searrow \quad \Rightarrow \quad l \searrow,\quad m \searrow[/math], но при этом масса стрелы не должна быть слишком мала. Опыты показывают, что ее величина должна составлять 15 - 40 г
Баллистика
Наглядное сравнение стрельбы из огнестрельного оружия и стрельбы из лука. Дело в том, что в огнестрельном оружии не учитывается баллистика, в отличие от лука и арбалета.
Рассмотрим прямой выстрел(начальная скорость направлена параллельно земле):
Пусть известны следующие величины: [math]v_0 = 800\quad [/math] м/с - скорость пули, [math]v_1 = 80 \quad [/math] м/с - скорость стрелы, расстояние s = 200 м
Время полета пули:[math]t =\frac{200}{800} = \frac{1}{4}\quad [/math] с, время полета стрелы: [math]t = \frac{200}{80} = \frac{5}{2}\quad [/math] с
[math]h = \frac{gt^2}{2} [/math], высота, на которую пуля окажется ниже мишени, составит [math]h = \frac{10}{32} = 0.3125\quad [/math] м
Таким образом, если брать в расчет высоту снайпера, то пуля не "войдет в землю" и, в зависимости от масштабов мишени, может попасть в нее.
Высота же, на которую стрела окажется ниже мишени составит: [math]h = \frac{250}{82} = 31.25\quad [/math] м, откуда сразу же видно, что, учитывая высоту стрелка, пуля войдет в землю и не достигнет мишени.
Факторы стрельбы

• дальность стрельбы (450 м - рекорд для спортивных луков);
  
• дальность поражения (60 - 80 м для поражения защищенного доспехами человека, 180 - 250 м для незащищенного человека)
  

Существует эффективная прицельная дальность стрельбы - дистанция, на которой возможно гарантированное попадание стрелы в реальную подвижную цель, не успевающую выйти из зоны поражения. Эта величина составляет примерно 30 - 40 м)
Поправки

• ветер;
  
• подвижная цель;
  

Наглядное представление:
Пусть скорость ветра [math]v_0 \approx 1[/math] м/с, скорость стрелы [math]v_1 \approx 80[/math] м/с, пусть скорость ветра перпендикулярна начальной скорости стрелы
Рассмотрим дистанцию в 40 м
[math]\tan\alpha = \frac{1}{80} = \frac{h}{40} \quad \Rightarrow\quad h = \frac{40}{80} = 0.5 [/math], где h - смещение

Решение

Рассмотрим следующую модификацию лука:плечи приняты за стрежни, между ними находится пружина, тетива рассматривается как нерастяжимая нить
От каких параметров зависит силовая характеристика лука?
[math]M \ =\ \gamma*\triangle\varphi[/math], где M - момент пружины, действующий на плечо лука, [math]\frac{\triangle\varphi}{2}[/math] - угол смещения плеча от начального положения при натяжении тетивы. В силу симметрии картины изгиба плеч лука в уравнение для момента входит величина угла изгиба плеча, умноженная на 2.
[math]T*h \ =\ M =\ \gamma*\triangle\varphi[/math], где T - сила упругости тетивы, h - плечо силы T.
[math]T \ =\ \gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}[/math]
[math]F \ =\ 2*T*\cos\beta \ =\ 2*\gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta[/math], F - сила, приложенная к тетиве и затем передающаяся стреле при спускании тетивы
Геометрия

• 

• Найдем [math]\angle\beta[/math], а точнее, [math]\cos\beta[/math]:
  

По обобщенной теореме косинусов и при последующем упрощении получается, что [math]\cos\beta \ =\ \frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{2\sqrt{l^2 - x_0^2}*(\triangle x + x_0)}[/math]

• Найдем h - плечо силы натяжения тетивы:
  

[math]h \ =\ (\triangle x + x_0)\sin\beta \quad \Rightarrow \quad h \ =\ \frac{\sqrt{4(l^2 - x_0^2)^2*(\triangle x + x_0)^2 - (\triangle x^2 + 2\triangle xx_0)^2}}{2\sqrt{l^2 - x_0^2}}[/math]

• Найдем [math]\triangle \varphi[/math]:
  

• 

[math]\varphi \ =\ \chi - \gamma \ =\ 2*(\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 - (l^2 - x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0)))[/math]

• Найдем [math]\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta[/math]:
  

[math]\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta \ =\ \frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{(\triangle x + x_0)\sqrt{4(l^2 - x_0^2)(\triangle x + x_0)^2 - (\triangle x + 2\triangle xx_0)^2}}*2\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 - (l^2 - x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0))[/math]
Нахождение силовой характеристики лука
[math]F = F(\triangle x) \ =\ \frac{\partial F}{\partial 0}(0)\triangle x+ \frac{1}{2}*\frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0)(\triangle x)^2 + \frac{1}{6}*\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0)(\triangle x)^3[/math]
Проведенные расчеты показали, что [math]\frac{\partial F}{\partial 0}(0) \ =\ 0 ;\quad \frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0) \ =\ 0[/math]
[math]\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0) \ =\ \frac{12\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}} [/math]
Таким образом, [math]F(\triangle x) \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3[/math]
Решение задачи на непосредственно нахождение дальности полета стрелы
Весь процесс стрельбы из лука можно разделить на два этапа: натяжение тетивы и полет выпущенной стрелы. Для нахождения интересующей нас дальности полета стрелы необходимо знать начальную скорость, с которой выпущена стрела. Для нахождения же этой скорости необходимо рассматривать процесс натяжения тетивы. Итак, рассмотрим два этапа.

• Этап натяжения тетивы
  

По второму закону Ньютона [math]F\ =\ mw[/math]
С другой стороны, сила равна найденной величине: [math]F(\triangle x) \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}}*\triangle x^3[/math]
Отсюда можно найти ускорение, переданное стреле:
[math]w \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}[/math]
[math]\triangle x \ =\ \frac{1}{2}wt^2 + x_0 \quad \Rightarrow \quad w \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)[/math]
[math]v_0 \ =\ wt \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)*t[/math]
Выразим одну неизвестную величину через другую (ускорение через время). В луке величину квадрата начального смещения, а также куб этой величины можно cчитать малой в сравнении со степенями величины длины плеча лука.
[math]w \ =\ \frac{2lx_0\sqrt{m}}{t^3\sqrt{\gamma}}[/math]
Тогда [math]v_0 \ =\ \frac{2\sqrt{m}lx_0}{t^2\sqrt{\gamma}}[/math]
[math]t \ =\ \frac{lx_0\sqrt{m}}{\triangle x \sqrt{\gamma}}[/math]
Тогда [math]v_0 \ =\ \frac{2\sqrt{\gamma}\triangle x^2}{lx_0\sqrt{m}}[/math]

• Этап полета стрелы
  

[math]s \ =\ v_0\cos\alpha*t[/math]
Найдем время полета стрелы.
[math]g \ =\ \frac{v_0\sin\alpha}{t/2} \quad \Rightarrow \quad t \ =\ \frac{4\sqrt{\gamma}\triangle x^2\sin\alpha}{lx_0\sqrt{m}g}[/math]
[math]s \ =\ v_0\cos\alpha\frac{4\sqrt{\gamma}\triangle x^2\sin\alpha}{lx_0\sqrt{m}g} \ =\ \frac{4\gamma\triangle x^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}[/math]
Рассмотрим модификацию лука, когда тетива принимается за растяжимую нить
Если принимать тетиву за растяжимую нить, то при смещении тетивы и накоплении потенциальной энергии [math]\angle\beta[/math] будет отличен от вычисленного для нерастяжимой нити. Также изменится угол отклонения плеч от положения, рассматриваемого в качестве начального - когда тетива натянула на лук и не деформирована стрелком. В следствие изменения [math]\angle\beta[/math] изменится и плечо силы натяжения тетивы. Так, изменится вся величина силы.
Сила натяжения нити: [math]T \ =\ c*\triangle p \ =\ c*(p - p_0)[/math], где величина p - длина тетивы в натянутом состоянии, а [math]p_0[/math] - длина тетивы в положении, рассматриваемом в качестве начального
Для вычисления длины нити в промежуточный момент времени мы введем систему из трех уравнений. Первое уравнение заключается в обобщенной теореме Пифагора,второе уравнение получается из рассмотрения статического равновесия в середине тетивы (месте приложения силы, действующей на стрелу), а третье из рассмотрения положения статического равновесия системы тетива - плечо лука в некоторый момент времени.
Итак, [math]p^2 \ =\ (\triangle x + x_0)^2 + l^2 - 2*(\triangle x + x_0)l\cos(\chi - \frac{\triangle\varphi}{2})\quad[/math]
[math]M \ =\ Th \quad \Rightarrow \quad \gamma\triangle\varphi \ =\ c(p - \sqrt{l^2 - x_0^2})*h[/math]
Так, [math]p^2 \ =\ \frac{(\gamma\triangle\varphi)^2}{c^2} + (\triangle x + x_0) - l\cos(\chi - \frac{\triangle\varphi}{2})[/math]
[math]F \ \ = 2T\cos\beta \ =\ 2c(p - \sqrt{l^2 - x_0^2}\cos\beta)[/math], с другой стороны, [math]F \ =\ 2\gamma\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta[/math]
Так, получаем, что [math]c \ =\ \frac{\gamma\triangle\varphi}{h(p - \sqrt{l^2 - x_0^2}}[/math]
Решение системы получается весьма нетривиальным, а потому можно прибегнуть к упрощению полученного уравнения для величины угла смещения плеч. Упрощение происходит посредством отбрасывания малых величин.
Уравнение для силы, действующей на стрелу, выглядит следующим образом:[math]F \ =\ 4\gamma*\arccos(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l}*\sqrt{1 + \frac{l}{2(\triangle x + x_0)}})*\frac{\sqrt{4(\triangle x + x_0)^2 + l^2}}{l(\triangle x + x_0)})[/math]
Случай малых углов
Рассмотрим случай, когда смещение тетивы от положения равновесия мало, то есть [math]\angle\kappa[/math] и [math]\angle \xi[/math] малы.

• 

Выразим величину [math]\triangle x[/math] через малые углы.
[math]\triangle x + x_0 \ =\ p\sin\kappa + l\sin\xi[/math]
Выразим малые углы через известные:
[math]\angle\kappa \ =\ \frac{\pi}{2} - \beta[/math]
[math]\angle\xi \ =\ \frac{\pi}{2} - \arcsin(\frac{p}{l}\sin\beta)[/math]
Итак, [math]\triangle x \ =\ \frac{\pi}{2}(l - p) - x_0[/math]
Сила, прикладываемая к середине тетивы, в таком случае выражается следующим образом:
[math]F \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}*(\frac{\pi}{2}(l - \sqrt{l^2 - x_0^2})- x_0)^3[/math]
Дальность же полета окажется равной:
[math]s \ =\ \frac{4\gamma\triangle x^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}\ =\ \frac{4\gamma(\frac{\pi}{2}(l - \sqrt{l^2 - x_0^2}) - x_0)^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}[/math]

Небольшое исследование зависимостей в полученной модели
[math]P \ =\ \frac{U}{t}[/math]
Интегрирование полученного выражения для силы натяжения тетивы по смещению даст следующее выражение для мощности:
[math]P \ =\ v_0*\frac{F}{4}[/math]
Поскольку [math]U \ =\ \frac{F*\triangle x}{4}[/math], получаем, что
[math]v_0 \ =\ \frac{\triangle x}{t}[/math]
[math]m \ =\ \eta *\frac{2U}{v_0^2}[/math]
[math]m \ =\ \eta*\frac{F*\triangle x}{2*v_0^2}[/math]
[math]m \ = \eta*\frac{F*t^2}{2*\triangle x}[/math]

Нахождение изгибающего момента в сечении плеча лука
[math]M \ =\ EI(K - K_0)[/math]
[math]K \ =\ \frac{y^{\prime\prime}}{\sqrt{((1 + (y^\prime)^2)^3)}}[/math]
[math]K \ =\ \frac{1}{r} \ =\ ms[/math]
[math]y^\prime \ =\ \sqrt{\frac{m^2*(\frac{s^2 + 2c_1}{2})^2}{1 - m^2*(\frac{s^2 + 2c_1}{2})^2 }}[/math]

Обсуждение результатов и выводы

Одним из основных вопросов, влияющих на вычисления, было выявление характера зависимости прикладываемой к тетиве силы от смещения тетивы. Из ранее проведенного опыта (Искусство стрельбы из лука. Фролова Ксения.(скачать презентацию: ppt, 1.09 MB)) можно наглядно увидеть динамическую кривую (изображение данной характеристики на графике) простого прямого лука (ролевого с текстолитовыми плечами), имеющегося в наличии, а также из проделанной работы по классификации различных модификаций обсуждаемого метательного оружия можно выделить для рассмотрения динамические кривые опять же прямого прямого лука, рекурсивного лука и современного блочного лука. Вычисления в рамках данной курсовой работы велись для наиболее простой модели лука - прямого лука, плечи которого в состоянии без тетивы представляют собой прямую палку. Полученная зависимость оказалось отнюдь нелинейной. Оказалось, что прикладываемая к тетиве сила зависит от куба величины смещения тетивы, от квадрата величины длины плеча лука, от квадрата величины начального смещения тетивы (когда тетива одета на лук, к которому не прикладывается сила), от жесткости материала, из которого сделаны плечи лука.
Также в качестве исследования нужно было рассмотреть тетиву как нерастяжимую нить и как растяжимую, выяснив, что более влияет на полет стрелы при спуске - сила упругости плеч или же тетивы лука. Полученные результаты показали, что величина силы, действующей на стрелу при спуске различна для этих случаев. В следствие этого можно сделать вывод, что пренебрегать удлинением нити не следует.
Используя полученную модель лука, мы четко видим поведение стрелы в предельных случаях. При стрельбе из лука в горизонтальном направлении мы получаем нулевую дальность, равно, как и при вертикальной стрельбе. Реально же дальность полета снаряда зависит от высоты человека (расстояния от земли до уровня середины тетивы, в месте которой прикладывается сила). Также из полученной модели видно, что при малых углах (малом оттягивании тетивы от положения равновесия), дальность полета - малая величина. При обращении же величины смещения тетивы в ноль, дальность полета оказывается также равной нулю, то есть, полета стрелы не будет.

Ссылки по теме

• Искусство стрельбы из лука. Фролова Ксения.(скачать презентацию: ppt, 1.09 MB)
• Энергия метательного снаряда
• Луки и стрелы, современные и древние

См. также

• Справочная информация
• Список курсовых проектов
• Кафедра "Теоретическая механика"
• Фролова Ксения