Диффузионные процессы в одномерном кристалле

Проект "Термокристалл" > Диффузионные процессы в одномерном кристалле

---

Разработчик: А.М. Кривцов

Частично использована программа Динамика одномерного кристалла, разработчик Д.В. Цветков

Исследуемая модель

Идеальная одномерная цепочка, состоящая из одинаковых частиц (материальных точек), взаимодействующих посредством линейных парных сил (линейные пружины), при этом учитывается взаимодействие только между ближайшими соседями. Цепочка содержит [math]N[/math] частиц, используются периодические граничные условия. Начальные условия: скорости распределены равномерно в заданном интервале, перемещения равны нулю. Начальная скорость центра масс устанавливается равной нулю. Интегрирование осуществляется методом центральных разностей.

Обозначения

Уравнения динамики цепочки имеют вид

[math] \ddot u_n = \omega_0^2\left(u_{n-1} - 2u_n + u_{n+1}\right), [/math]

где [math]u[/math] — перемещение частицы; [math]n[/math] — номер частицы; [math]\omega_0 = \sqrt{C/m}[/math] — парциальная частота (частота колебаний массы [math]m[/math] на пружине жесткости [math]C[/math]); точками обозначена вторая производная по времени. Периодические граничные условия задаются формулой: [math] u_{n+N} = u_n, [/math] где [math]N[/math] — число независимых частиц в цепочке. Начальные перемещения частиц равны нулю, начальные скорости представляют собой случайную величину, равномерно распределенную в интервале: [math]|\dot u_n| \le v_{\rm max}.[/math]

Для описания стохастических процессов в цепочке вычисляются корреляции перемещений

[math] \xi_k = \frac1N\sum_{n=1}^N u_n u_{n+k}, [/math]

где корреляция с индексом [math]0[/math] представляет собой дисперсию перемещений:

[math] \xi_0 = \frac1N\sum_{n=1}^N u_n^2. [/math]

Расчетные параметры

• Число независимых частиц: [math]N = 1000.[/math]
• Шаг интегрирования: [math]\tau = 0.02\,T_0,[/math] где [math]T_0=2\pi/\omega_0[/math] — парциальный период.

Пояснения

Графические окна (неравенства указывают пределы отображения переменных):

• The chain (синий график): перемещения частиц [math]u[/math] как функция их координаты [math]x;[/math]

[math]0\le x \le L, \qquad |u| \,\le\, 0.5 \,a_0\,\sqrt N;[/math]

• Dispersion (серый график): дисперсия перемещений частиц [math]\xi_0[/math] как функция времени [math]t;[/math]

[math]0\le t \le 3T, \qquad 0\le \xi_0 \le 0.1 \,a_0^2\,N;[/math]

• Correlations (красный график): зависимость корреляций перемещений [math]\xi[/math] от расстояния между частицами [math]x;[/math]

[math]0\le x \le L, \qquad 0\le \xi \le 0.05 \,a_0^2\,N.[/math]

Здесь использованы обозначения: [math]L[/math] — длина цепочки; [math]a_0 = v_{\rm max}/\omega_0[/math] — масштаб длины; [math]T = N/(2\omega_0)[/math] — период изменения дисперсии (равен половине периода первой формы длинноволновых колебаний цепочки). Координаты частиц и длина цепочки могут быть вычислены по формулам: [math]x = a n[/math], [math]L = a N[/math], где [math]a[/math] — среднее расстояние между частицами.

После достижения максимального отображаемого времени начинается новый эксперимент: система перезапускается с новым случайным распределением скоростей (начальная дисперсия скоростей остается неизменной).

Статистические данные по дисперсии (выводятся под графиком дисперсии):

• average — среднее значение дисперсии (по всем проведенным экспериментам),
• min max — минимальное значение максимума дисперсии,
• ave max — среднее значение максимума дисперсии,
• max max — максимальное значение максимума дисперсии.

Переход к бесконечному кристаллу

Системы с большим числом частиц при временах, достаточно малых, чтобы конечность цепочки не успела проявиться, рассматриваются на странице

• Корреляции перемещений в одномерном кристалле, малые времена
• Дисперсия перемещений в одномерном кристалле