Фролова Ксения. Курсовой проект по теоретической механике — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Ссылки по теме)
(Решение)
 
(не показаны 43 промежуточные версии этого же участника)
Строка 7: Строка 7:
 
* статические параметры: сила натяжения тетивы, величина рабочего хода<br>
 
* статические параметры: сила натяжения тетивы, величина рабочего хода<br>
 
* динамические параметры: скорость распрямления дуг, амплитуда и длительность колебаний в дуге<br>
 
* динамические параметры: скорость распрямления дуг, амплитуда и длительность колебаний в дуге<br>
В рамках данной курсовой работы необходимо составить модель лука. Интересующей нас величиной является дальность полета стрелы. Задачей является выведение и последующее рассмотрение зависимости этой дальности от вышеуказанных параметров конструкции лука.<br>
+
В рамках данной курсовой работы необходимо составить модель прямого лука (плечи которого в состоянии без тетивы представляют собой палку). Интересующей нас величиной является дальность полета стрелы. Задачей является выведение и последующее рассмотрение зависимости этой дальности от вышеуказанных параметров конструкции лука.<br>
 
'''Конкретизация:'''<br>
 
'''Конкретизация:'''<br>
 
Стоит рассмотреть две модификации лука: в первом случае можно принять тетиву за нерастяжимую нить, а плечи за плоские пружины изгиба или же за стрержни, поместив пружину между ними; во втором случае стоит учитывать растяжимость тетивы. Далее необходимо рассчитать дальность полета стрелы.<br>
 
Стоит рассмотреть две модификации лука: в первом случае можно принять тетиву за нерастяжимую нить, а плечи за плоские пружины изгиба или же за стрержни, поместив пружину между ними; во втором случае стоит учитывать растяжимость тетивы. Далее необходимо рассчитать дальность полета стрелы.<br>
Строка 20: Строка 20:
 
Потенциальная энергия деформируемых плеч преобразуется не только в кинетическую энергию полета стрелы, но также и в ''кинетическую энергию тетивы, кинетическую энергию плеч, отдачу стрелку, колебания дуги, преодоление силы трения стрелы о "полочку".''<br>
 
Потенциальная энергия деформируемых плеч преобразуется не только в кинетическую энергию полета стрелы, но также и в ''кинетическую энергию тетивы, кинетическую энергию плеч, отдачу стрелку, колебания дуги, преодоление силы трения стрелы о "полочку".''<br>
 
Так, необходимо ввести в рассмотрение КПД лука:<br>
 
Так, необходимо ввести в рассмотрение КПД лука:<br>
<math>\eta = \frac{T}{U}</math>*100%<br>
+
<math>\eta = \frac{T}{U}*100</math>%<br>
 
Кинетическая энергия снаряда T:<br>
 
Кинетическая энергия снаряда T:<br>
 
<math>T = \frac{mv_0^2}{2} </math><br>
 
<math>T = \frac{mv_0^2}{2} </math><br>
 
Рассмотрим зависимость <math>\eta \sim m</math>:<br>
 
Рассмотрим зависимость <math>\eta \sim m</math>:<br>
 
- если m очень мало, то выстрел "как бы холостой" <math>\Rightarrow \eta</math> мало;<br>
 
- если m очень мало, то выстрел "как бы холостой" <math>\Rightarrow \eta</math> мало;<br>
- если m слишком велико, то уменьшается ускорение, сообщаемое стреле, увеличивается отдача лука, увеличивается сила трения <math>\Rightarrow T \searrow \Rightarrow \eta \searrow</math><br>
+
- если m слишком велико, то уменьшается ускорение, сообщаемое стреле, увеличивается отдача лука, увеличивается сила трения <math>\Rightarrow \quad T \searrow \quad \Rightarrow \quad \eta \searrow</math><br>
 
Таким образом, нужно искать баланс. Опыты показывают, что КПД составляет 30% - 85%<br>
 
Таким образом, нужно искать баланс. Опыты показывают, что КПД составляет 30% - 85%<br>
 
Начальная скорость стрелы обратно пропорциональна времени, а время, в течение которого накапливается потенциальная энергия для последующего перехода в кинетическую зависит от величины рабочего хода (или же просто от смещения тетивы, если лук натягивается не до "упора"), а также от массы стрелы. В современных луках начальная скорость составляет 40 - 80 м/с.<br>
 
Начальная скорость стрелы обратно пропорциональна времени, а время, в течение которого накапливается потенциальная энергия для последующего перехода в кинетическую зависит от величины рабочего хода (или же просто от смещения тетивы, если лук натягивается не до "упора"), а также от массы стрелы. В современных луках начальная скорость составляет 40 - 80 м/с.<br>
 
'''Мощность лука'''<br>
 
'''Мощность лука'''<br>
<math>P = \frac{U}{t}</math>, <math>P \sim \frac{1}{t}, \frac{1}{m}</math><br>
+
<math>P \ =\ \frac{U}{t} \quad P \sim \frac{1}{t},\quad \frac{1}{m}</math><br>
Так, для того, чтобы <math>P \searrow</math>, необходимо, чтобы <math>t \searrow, m \searrow</math><br>
+
Так, для того, чтобы <math>P \searrow</math>, необходимо, чтобы <math>t \searrow,\quad m \searrow</math><br>
Для того, чтобы <math>v_0 \nwarrow </math>, необходимо, чтобы <math>t \searrow \Rightarrow l \searrow, m \searrow</math>, но при этом масса стрелы не должна быть слишком мала. Опыты показывают, что ее величина должна составлять 15 - 40 г<br>
+
Для того, чтобы <math>v_0 \nearrow </math>, необходимо, чтобы <math>t \searrow \quad \Rightarrow \quad l \searrow,\quad  m \searrow</math>, но при этом масса стрелы не должна быть слишком мала. Опыты показывают, что ее величина должна составлять 15 - 40 г<br>
 
'''Баллистика'''<br>
 
'''Баллистика'''<br>
 
Наглядное сравнение стрельбы из огнестрельного оружия и стрельбы из лука. Дело в том, что в огнестрельном оружии не учитывается баллистика, в отличие от лука и арбалета.<br>
 
Наглядное сравнение стрельбы из огнестрельного оружия и стрельбы из лука. Дело в том, что в огнестрельном оружии не учитывается баллистика, в отличие от лука и арбалета.<br>
 
Рассмотрим прямой выстрел(начальная скорость направлена параллельно земле):<br>
 
Рассмотрим прямой выстрел(начальная скорость направлена параллельно земле):<br>
Пусть известны следующие величины: <math>v_0 = 800</math>м/с - скорость пули, <math>v_1 = 80</math>м/с - скорость стрелы, расстояние s = 200 м<br>
+
Пусть известны следующие величины: <math>v_0 = 800\quad </math> м/с - скорость пули, <math>v_1 = 80 \quad </math> м/с - скорость стрелы, расстояние s = 200 м<br>
Время полета пули:<math>t = \frac{200}{800} = \frac{1}{4}</math> с, время полета стрелы: <math>t = \frac{200}{80} = \frac{5}{2}</math> с<br>
+
Время полета пули:<math>t =\frac{200}{800} = \frac{1}{4}\quad </math> с, время полета стрелы: <math>t = \frac{200}{80} = \frac{5}{2}\quad </math> с<br>
<math>h = \frac{gt^2}{2} </math>, высота, на которую пуля окажется ниже мишени, составит <math>h = \frac{10}{32} = 0.3125</math>м<br>
+
<math>h = \frac{gt^2}{2} </math>, высота, на которую пуля окажется ниже мишени, составит <math>h = \frac{10}{32} = 0.3125\quad </math> м<br>
 
Таким образом, если брать в расчет высоту снайпера, то пуля не "войдет в землю" и, в зависимости от масштабов мишени, может попасть в нее.<br>
 
Таким образом, если брать в расчет высоту снайпера, то пуля не "войдет в землю" и, в зависимости от масштабов мишени, может попасть в нее.<br>
Высота же, на которую стрела окажется ниже мишени составит: <math>h = \frac{250}{82} = 31.25</math>м, откуда сразу же видно, что, учитывая высоту стрелка, пуля войдет в землю и не достигнет мишени.<br>
+
Высота же, на которую стрела окажется ниже мишени составит: <math>h = \frac{250}{82} = 31.25\quad </math> м, откуда сразу же видно, что, учитывая высоту стрелка, пуля войдет в землю и не достигнет мишени.<br>
 
'''Факторы стрельбы'''
 
'''Факторы стрельбы'''
*дальность стрельбы (450 м. - рекорд для спортивных луков);<br>
+
*дальность стрельбы (450 м - рекорд для спортивных луков);<br>
*дальность поражения (60 - 80 м для поражения защищенного доспехами человека, 250 - 180 м для незащищенного человека)<br>
+
*дальность поражения (60 - 80 м для поражения защищенного доспехами человека, 180 - 250 м для незащищенного человека)<br>
 
Существует эффективная прицельная дальность стрельбы - дистанция, на которой возможно гарантированное попадание стрелы в реальную подвижную цель, не успевающую выйти из зоны поражения. Эта величина составляет примерно 30 - 40 м)<br>
 
Существует эффективная прицельная дальность стрельбы - дистанция, на которой возможно гарантированное попадание стрелы в реальную подвижную цель, не успевающую выйти из зоны поражения. Эта величина составляет примерно 30 - 40 м)<br>
 
'''Поправки'''<br>
 
'''Поправки'''<br>
Строка 50: Строка 50:
 
Пусть скорость ветра <math>v_0 \approx 1</math> м/с, скорость стрелы <math>v_1 \approx 80</math> м/с, пусть скорость ветра перпендикулярна начальной скорости стрелы<br>
 
Пусть скорость ветра <math>v_0 \approx 1</math> м/с, скорость стрелы <math>v_1 \approx 80</math> м/с, пусть скорость ветра перпендикулярна начальной скорости стрелы<br>
 
Рассмотрим дистанцию в 40 м<br>
 
Рассмотрим дистанцию в 40 м<br>
tg<math>\alpha = \frac{1}{80} = \frac{h}{40} \Rightarrow h = \frac{40}{80} = 0.5 </math>, где h - смещение<br>
+
<math>\tan\alpha = \frac{1}{80} = \frac{h}{40} \quad \Rightarrow\quad  h = \frac{40}{80} = 0.5 </math>, где h - смещение<br>
  
 
== Решение ==
 
== Решение ==
Рассмотрим следующую модификацию лука:плечи приняты за стрежни, между ними находится пружина, тетива рассматривается как нерастяжимая нить.<br>
+
'''Рассмотрим следующую модификацию лука:плечи приняты за стрежни, между ними находится пружина, тетива рассматривается как нерастяжимая нить'''<br>
 
'''От каких параметров зависит силовая характеристика лука?'''<br>
 
'''От каких параметров зависит силовая характеристика лука?'''<br>
<math>M = \gamma*\varphi\triangle</math><br>
+
<math>M \ =\gamma*\triangle\varphi</math>, где M - момент пружины, действующий на плечо лука, <math>\frac{\triangle\varphi}{2}</math> - угол смещения плеча от начального положения при натяжении тетивы. В силу симметрии картины изгиба плеч лука в уравнение для момента входит величина  угла изгиба плеча, умноженная на 2.<br>
<math>T*h = M = \gamma*\triangle\varphi</math><br>
+
<math>T*h \ =\ M =\gamma*\triangle\varphi</math>, где T - сила упругости тетивы, h - плечо силы T.<br>
<math>T = \gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}</math><br>
+
<math>T \ =\gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}</math><br>
<math>F = 2*T*\cos\beta</math> = 2*<math>\gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta</math><br>
+
<math>F \ =2*T*\cos\beta \ =\ 2*\gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta</math>, F - сила, приложенная к тетиве и затем передающаяся стреле при спускании тетивы<br>
 
'''Геометрия'''<br>
 
'''Геометрия'''<br>
*Найдем <math>\angle\beta</math>, а точнее <math>\cos\beta</math>:<br>
+
<gallery widths=150px heights=150px perrow = 1>
По обобщенной теореме косинусов и при последующем упрощении получается, что <math>\cos\beta = \frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{2\sqrt{l^2 - x_0^2}*(\triangle x + x_0)}</math><br>
+
Файл:Ang.1.bmp
 +
</gallery>
 +
 
 +
*Найдем <math>\angle\beta</math>, а точнее, <math>\cos\beta</math>:<br>
 +
По обобщенной теореме косинусов и при последующем упрощении получается, что <math>\cos\beta \ =\frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{2\sqrt{l^2 - x_0^2}*(\triangle x + x_0)}</math><br>
 
*Найдем h - плечо силы натяжения тетивы:<br>
 
*Найдем h - плечо силы натяжения тетивы:<br>
<math>h = (\triangle x + x_0)\sin\beta \Rightarrow h = \frac{\sqrt{4(l^2 - x_0^2)^2*(\triangle x + x_0)^2 - (\triangle x^2 + 2\triangle xx_0)^2}}{2\sqrt{l^2 - x_0^2}}</math><br>
+
<math>h \ =(\triangle x + x_0)\sin\beta \quad \Rightarrow \quad  h \ =\frac{\sqrt{4(l^2 - x_0^2)^2*(\triangle x + x_0)^2 - (\triangle x^2 + 2\triangle xx_0)^2}}{2\sqrt{l^2 - x_0^2}}</math><br>
 
*Найдем <math>\triangle \varphi</math>:<br>
 
*Найдем <math>\triangle \varphi</math>:<br>
<math>\varphi = \chi - \gamma = 2*(\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 - (l^2 - x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0)))</math><br>
+
<gallery widths=150px heights=150px perrow = 1>
 +
Файл:Ang2.PNG‎
 +
</gallery>
 +
<math>\varphi \ =\chi - \gamma \ =2*(\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 - (l^2 - x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0)))</math><br>
 
*Найдем <math>\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta</math>:<br>
 
*Найдем <math>\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta</math>:<br>
<math>\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta = \frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{(\triangle x + x_0)\sqrt{4(l^2 - x_0^2)(\triangle x + x_0)^2 - (\triangle x + 2\triangle xx_0)^2}}*2\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 - (l^2 - x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0))</math><br>
+
<math>\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta \ =\frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{(\triangle x + x_0)\sqrt{4(l^2 - x_0^2)(\triangle x + x_0)^2 - (\triangle x + 2\triangle xx_0)^2}}*2\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 - (l^2 - x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0))</math><br>
 
'''Нахождение силовой характеристики лука'''<br>
 
'''Нахождение силовой характеристики лука'''<br>
<math>F = F(\triangle x) = \frac{\partial F}{\partial 0}(0)\triangle x+ \frac{1}{2}*\frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0)(\triangle x)^2 + \frac{1}{6}*\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0)(\triangle x)^3</math><br>
+
<math>F = F(\triangle x) \ =\frac{\partial F}{\partial 0}(0)\triangle x+ \frac{1}{2}*\frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0)(\triangle x)^2 + \frac{1}{6}*\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0)(\triangle x)^3</math><br>
 
Проведенные расчеты показали, что  
 
Проведенные расчеты показали, что  
<math>\frac{\partial F}{\partial 0}(0) = 0 ;\frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0) = 0</math><br>
+
<math>\frac{\partial F}{\partial 0}(0) \ =0 ;\quad \frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0) \ =0</math><br>
<math>\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0) = \frac{12\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}} </math><br>
+
<math>\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0) \ =\frac{12\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}} </math><br>
Таким образом, <math>F(\triangle x) = \frac{1}{6}*\frac{12\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}</math><br>
+
Таким образом, <math>F(\triangle x) \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3</math><br>
 
'''Решение задачи на непосредственно нахождение дальности полета стрелы'''<br>
 
'''Решение задачи на непосредственно нахождение дальности полета стрелы'''<br>
 
''Весь процесс стрельбы из лука можно разделить на два этапа: натяжение тетивы и полет выпущенной стрелы. Для нахождения интересующей нас дальности полета стрелы необходимо знать начальную скорость, с которой выпущена стрела. Для нахождения же этой скорости необходимо рассматривать процесс натяжения тетивы. Итак, рассмотрим два этапа.''<br>
 
''Весь процесс стрельбы из лука можно разделить на два этапа: натяжение тетивы и полет выпущенной стрелы. Для нахождения интересующей нас дальности полета стрелы необходимо знать начальную скорость, с которой выпущена стрела. Для нахождения же этой скорости необходимо рассматривать процесс натяжения тетивы. Итак, рассмотрим два этапа.''<br>
 
*Этап натяжения тетивы<br>
 
*Этап натяжения тетивы<br>
По второму закону Ньютона <math>F = mw</math><br>
+
По второму закону Ньютона <math>F\ =mw</math><br>
С другой стороны сила равна найденной величине: <math>F(\triangle x) = \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}</math><br>
+
С другой стороны, сила равна найденной величине: <math>F(\triangle x) \ =\frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}}*\triangle x^3</math><br>
 
Отсюда можно найти ускорение, переданное стреле:<br>
 
Отсюда можно найти ускорение, переданное стреле:<br>
<math>w = \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}</math><br>
+
<math>w \ =\frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}</math><br>
<math>\triangle x = \frac{1}{2}wt^2 + x_0 \Rightarrow w = \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)</math><br>
+
<math>\triangle x \ =\frac{1}{2}wt^2 + x_0 \quad \Rightarrow \quad  w \ =\frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)</math><br>
<math>v_0 = wt = w = \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)*t</math><br>
+
<math>v_0 \ =wt \ =\frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)*t</math><br>
 
Выразим одну неизвестную величину через другую (ускорение через время). В луке величину квадрата начального смещения, а также куб этой величины можно cчитать малой в сравнении со степенями величины длины плеча лука.<br>
 
Выразим одну неизвестную величину через другую (ускорение через время). В луке величину квадрата начального смещения, а также куб этой величины можно cчитать малой в сравнении со степенями величины длины плеча лука.<br>
<math>w = \frac{2lx_0\sqrt{m}}{t^3\sqrt{\gamma}}</math><br>
+
<math>w \ =\frac{2lx_0\sqrt{m}}{t^3\sqrt{\gamma}}</math><br>
 
Тогда  
 
Тогда  
<math>v_0 = \frac{2\sqrt{m}lx_0}{t^2\sqrt{\gamma}}</math><br>
+
<math>v_0 \ =\frac{2\sqrt{m}lx_0}{t^2\sqrt{\gamma}}</math><br>
<math>t = \frac{lx_0\sqrt{m}}{(\triangle x - x_0)\sqrt{\gamma}}</math><br>
+
<math>t \ =\frac{lx_0\sqrt{m}}{\triangle x \sqrt{\gamma}}</math><br>
 
Тогда
 
Тогда
<math>v_0 = \frac{2\sqrt{\gamma}(\triangle x- x_0)^2}{lx_0\sqrt{m}}</math><br>
+
<math>v_0 \ =\frac{2\sqrt{\gamma}\triangle x^2}{lx_0\sqrt{m}}</math><br>
 
*Этап полета стрелы<br>
 
*Этап полета стрелы<br>
<math>s = v_0\cos\alpha*t</math><br>
+
<math>s \ =v_0\cos\alpha*t</math><br>
 
Найдем время полета стрелы.<br>
 
Найдем время полета стрелы.<br>
<math>g = \frac{v_0\sin\alpha}{t/2} \Rightarrow t = \frac{4sqrt{\gamma}(\triangle x- x_0)^2\sin\alpha}{lx_0sqrt{m}g}</math><br>
+
<math>g \ =\frac{v_0\sin\alpha}{t/2} \quad \Rightarrow \quad t \ =\frac{4\sqrt{\gamma}\triangle x^2\sin\alpha}{lx_0\sqrt{m}g}</math><br>
<math>s = v_0\cos\alpha\frac{4sqrt{\gamma}(\triangle x- x_0)^2\sin\alpha}{lx_0sqrt{m}g} = \frac{4\gamma(\triangle x- x_0)^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}</math><br>
+
<math>s \ =v_0\cos\alpha\frac{4\sqrt{\gamma}\triangle x^2\sin\alpha}{lx_0\sqrt{m}g} \ =\  \frac{4\gamma\triangle x^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}</math><br>
 +
'''Рассмотрим модификацию лука, когда тетива принимается за растяжимую нить'''<br>
 +
Если принимать тетиву за растяжимую нить, то при смещении тетивы и накоплении потенциальной энергии <math>\angle\beta</math> будет отличен от вычисленного для нерастяжимой нити. Также изменится угол отклонения плеч от положения, рассматриваемого в качестве начального - когда тетива натянула на лук и не деформирована стрелком. В следствие изменения <math>\angle\beta</math> изменится и плечо силы натяжения тетивы. Так, изменится вся величина силы.<br>
 +
Сила натяжения нити: <math>T \ =\  c*\triangle p \ =\  c*(p - p_0)</math>, где величина p - длина тетивы в натянутом состоянии, а <math>p_0</math> - длина тетивы в положении, рассматриваемом в качестве начального<br>
 +
Для вычисления длины нити в промежуточный момент времени мы введем систему из трех уравнений. Первое уравнение заключается в обобщенной теореме Пифагора,второе уравнение получается из рассмотрения статического равновесия в середине тетивы (месте приложения силы, действующей на стрелу), а третье из рассмотрения положения статического равновесия системы тетива - плечо лука в некоторый момент времени.<br>
 +
Итак, <math>p^2 \ =\  (\triangle x + x_0)^2 + l^2 - 2*(\triangle x + x_0)l\cos(\chi - \frac{\triangle\varphi}{2})\quad</math><br>
 +
<math>M \ =\  Th \quad \Rightarrow \quad \gamma\triangle\varphi \ =\  c(p - \sqrt{l^2 - x_0^2})*h</math><br>
 +
Так, <math>p^2 \ =\  \frac{(\gamma\triangle\varphi)^2}{c^2} + (\triangle x + x_0) - l\cos(\chi - \frac{\triangle\varphi}{2})</math><br>
 +
<math>F \ \ = 2T\cos\beta \ =\  2c(p - \sqrt{l^2 - x_0^2}\cos\beta)</math>, с другой стороны, <math>F \ =\  2\gamma\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta</math><br>
 +
Так, получаем, что <math>c \ =\  \frac{\gamma\triangle\varphi}{h(p - \sqrt{l^2 - x_0^2}}</math><br>
 +
Решение системы получается весьма нетривиальным, а потому можно прибегнуть к упрощению полученного уравнения для величины угла смещения плеч. Упрощение происходит посредством отбрасывания малых величин.<br>
 +
Уравнение для силы, действующей на стрелу, выглядит следующим образом:<math>F \ =\  4\gamma*\arccos(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l}*\sqrt{1 + \frac{l}{2(\triangle x + x_0)}})*\frac{\sqrt{4(\triangle x + x_0)^2 + l^2}}{l(\triangle x + x_0)})</math><br>
 +
'''Случай малых углов'''<br>
 +
Рассмотрим случай, когда смещение тетивы от положения равновесия мало, то есть <math>\angle\kappa</math> и <math>\angle \xi</math> малы.<br>
 +
 
 +
<gallery widths=150px heights=150px perrow = 1>
 +
Файл:Ang_new.bmp‎
 +
</gallery>
 +
 
 +
Выразим величину <math>\triangle x</math> через малые углы.<br>
 +
<math>\triangle x + x_0 \ =\ p\sin\kappa + l\sin\xi</math><br>
 +
Выразим малые углы через известные:<br>
 +
<math>\angle\kappa \ =\ \frac{\pi}{2} - \beta</math><br>
 +
<math>\angle\xi \ =\ \frac{\pi}{2} - \arcsin(\frac{p}{l}\sin\beta)</math><br>
 +
Итак, <math>\triangle x \ =\ \frac{\pi}{2}(l - p) - x_0</math><br>
 +
Сила, прикладываемая к середине тетивы, в таком случае выражается следующим образом:<br>
 +
<math>F \ =\  \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}*(\frac{\pi}{2}(l - \sqrt{l^2 - x_0^2})- x_0)^3</math><br>
 +
Дальность же полета окажется равной:<br>
 +
<math>s \ =\frac{4\gamma\triangle x^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}\ =\ \frac{4\gamma(\frac{\pi}{2}(l - \sqrt{l^2 - x_0^2}) - x_0)^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}</math><br>
 +
 
 +
'''Небольшое исследование зависимостей в полученной модели'''<br>
 +
<math>P \ =\ \frac{U}{t}</math><br>
 +
Интегрирование полученного выражения для силы натяжения тетивы по смещению даст следующее выражение для мощности:<br>
 +
<math>P \ =\ v_0*\frac{F}{4}</math><br>
 +
Поскольку <math>U \ =\ \frac{F*\triangle x}{4}</math>, получаем, что<br>
 +
<math>v_0 \ =\ \frac{\triangle x}{t}</math><br>
 +
<math>m \ =\ \eta *\frac{2U}{v_0^2}</math><br>
 +
<math>m \ =\ \eta*\frac{F*\triangle x}{2*v_0^2}</math><br>
 +
<math>m \ = \eta*\frac{F*t^2}{2*\triangle x}</math><br>
 +
 
 +
'''Нахождение изгибающего момента в сечении плеча лука'''<br>
 +
<math>M \ =\ EI(K - K_0)</math><br>
 +
<math>K \ =\ \frac{y^{\prime\prime}}{\sqrt{((1 + (y^\prime)^2)^3)}}</math><br>
 +
<math>K \ =\ \frac{1}{r} \ =\ ms</math><br>
 +
<math>y^\prime \ =\ \sqrt{\frac{m^2*(\frac{s^2 + 2c_1}{2})^2}{1 - m^2*(\frac{s^2 + 2c_1}{2})^2 }}</math><br>
  
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
Одним из основных вопросов, влияющих на вычисления, было выявление характера зависимости прикладываемой к тетиве силы от смещения тетивы. Из ранее приведенного опыта можно наглядно увидеть динамическую кривую (изображение данной характеристики на графике) лука, имеющегося в наличии, а также из проделанной работы по классификации различных модификаций обсуждаемого метательного оружия можно выделить для рассмотрения динамические кривые прямого лука, рекурсивного лука и современного блочного лука. Вычисления в рамках данной курсовой работы велись для наиболее простой модели лука. Полученная зависимость оказалось отнюдь нелинейной. Оказалось, что прикладываемая к тетиве сила зависит от куба величины смещения тетивы, от квадрата величины длины плеча лука, от квадрата величины начального смещения тетивы, обозначающего положение равновесия лука, от жесткости материала, из которого сделаны плечи лука.<br>
+
Одним из основных вопросов, влияющих на вычисления, было выявление характера зависимости прикладываемой к тетиве силы от смещения тетивы. Из ранее проведенного опыта (''Искусство стрельбы из лука. Фролова Ксения.(скачать презентацию: ppt,[[Медиа:Prsl.ppt‎‎| 1.09 MB]])'') можно наглядно увидеть динамическую кривую (изображение данной характеристики на графике) простого прямого лука (ролевого с текстолитовыми плечами), имеющегося в наличии, а также из проделанной работы по классификации различных модификаций обсуждаемого метательного оружия можно выделить для рассмотрения динамические кривые опять же прямого прямого лука, рекурсивного лука и современного блочного лука. Вычисления в рамках данной курсовой работы велись для наиболее простой модели лука - прямого лука, плечи которого в состоянии без тетивы представляют собой прямую палку. Полученная зависимость оказалось отнюдь нелинейной. Оказалось, что прикладываемая к тетиве сила зависит от куба величины смещения тетивы, от квадрата величины длины плеча лука, от квадрата величины начального смещения тетивы (когда тетива одета на лук, к которому не прикладывается сила), от жесткости материала, из которого сделаны плечи лука.<br>
 +
Также в качестве исследования нужно было рассмотреть тетиву как нерастяжимую нить и как растяжимую, выяснив, что более влияет на полет стрелы при спуске - сила упругости плеч или же тетивы лука. Полученные результаты показали, что величина силы, действующей на стрелу при спуске различна для этих случаев. В следствие этого можно сделать вывод, что пренебрегать удлинением нити не следует.<br>
 +
Используя полученную модель лука, мы четко видим поведение стрелы в предельных случаях. При стрельбе из лука в горизонтальном направлении мы получаем нулевую дальность, равно, как и при вертикальной стрельбе. Реально же дальность полета снаряда зависит от высоты человека (расстояния от земли до уровня середины тетивы, в месте которой прикладывается сила). Также из полученной модели видно, что при малых углах (малом оттягивании тетивы от положения равновесия), дальность полета - малая величина. При обращении же величины смещения тетивы в ноль, дальность полета оказывается также равной нулю, то есть, полета стрелы не будет.<br>
  
 
== Ссылки по теме ==
 
== Ссылки по теме ==
Искусство стрельбы из лука. Фролова Ксения.(скачать презентацию: ppt,[[Медиа:Prsl.ppt‎‎| 1.09 MB]])
+
*Искусство стрельбы из лука. Фролова Ксения.(скачать презентацию: ppt,[[Медиа:Prsl.ppt‎‎| 1.09 MB]])
 +
*[http://www.dial-engineering.ru/0ftp/files/Energy&mass-2.pdf Энергия метательного снаряда]
 +
*[http://engineerd.narod.ru/ Луки и стрелы, современные и древние]
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Текущая версия на 20:06, 7 декабря 2012

Тема проекта[править]

Моделирование стрельбы из лука
Модель лука

Постановка задачи[править]

Существуют статические и динамические параметры конструкции лука.

  • статические параметры: сила натяжения тетивы, величина рабочего хода
  • динамические параметры: скорость распрямления дуг, амплитуда и длительность колебаний в дуге

В рамках данной курсовой работы необходимо составить модель прямого лука (плечи которого в состоянии без тетивы представляют собой палку). Интересующей нас величиной является дальность полета стрелы. Задачей является выведение и последующее рассмотрение зависимости этой дальности от вышеуказанных параметров конструкции лука.
Конкретизация:
Стоит рассмотреть две модификации лука: в первом случае можно принять тетиву за нерастяжимую нить, а плечи за плоские пружины изгиба или же за стрержни, поместив пружину между ними; во втором случае стоит учитывать растяжимость тетивы. Далее необходимо рассчитать дальность полета стрелы.

Краткий экскурс[править]

Общий принцип
Причиной движения стрелы является переход потенциальной энергии деформируемого тела в кинетическую энергию полета снаряда. Реализация происходит посредством сравнительно медленного оттягивания тетивы, в течение которого накапливается потенциальная энергия упругости плеч лука, последующего спуска тетивы, когда плечи, разгибаясь, преобразуют накопленную энергию в кинетическую энергию полета стрелы, а также непосредственно полета стрелы, происходящего за счет полученной кинетической энергии.
Преобразование потенциальной энергии деформируемого тела в кинетическую энергию полета стрелы
Одним из основных боевых качеств лука является его силовая характеристика - зависимость силы натяжения, прикладываемой к тетиве, от смещения тетивы из положения равновесия. Изображая данную зависимость на графике, мы получаем динамическую кривую.
Пусть силовая характеристика известна (эту зависимость нетрудно получить экспериментальным путем, оттягивая тетиву на горизонтально покоящемся луке с помощью гирек разных масс). Тогда мы можем вычислить потенциальную энергию, накапливаемую за счет оттягивания тетивы путем взятия интеграла:
[math]\int^l_0F(s)ds[/math], где [math]l[/math] является величиной рабочего хода (максимальной величиной смещения тетивы)
Потенциальная энергия деформируемых плеч преобразуется не только в кинетическую энергию полета стрелы, но также и в кинетическую энергию тетивы, кинетическую энергию плеч, отдачу стрелку, колебания дуги, преодоление силы трения стрелы о "полочку".
Так, необходимо ввести в рассмотрение КПД лука:
[math]\eta = \frac{T}{U}*100[/math]%
Кинетическая энергия снаряда T:
[math]T = \frac{mv_0^2}{2} [/math]
Рассмотрим зависимость [math]\eta \sim m[/math]:
- если m очень мало, то выстрел "как бы холостой" [math]\Rightarrow \eta[/math] мало;
- если m слишком велико, то уменьшается ускорение, сообщаемое стреле, увеличивается отдача лука, увеличивается сила трения [math]\Rightarrow \quad T \searrow \quad \Rightarrow \quad \eta \searrow[/math]
Таким образом, нужно искать баланс. Опыты показывают, что КПД составляет 30% - 85%
Начальная скорость стрелы обратно пропорциональна времени, а время, в течение которого накапливается потенциальная энергия для последующего перехода в кинетическую зависит от величины рабочего хода (или же просто от смещения тетивы, если лук натягивается не до "упора"), а также от массы стрелы. В современных луках начальная скорость составляет 40 - 80 м/с.
Мощность лука
[math]P \ =\ \frac{U}{t} \quad P \sim \frac{1}{t},\quad \frac{1}{m}[/math]
Так, для того, чтобы [math]P \searrow[/math], необходимо, чтобы [math]t \searrow,\quad m \searrow[/math]
Для того, чтобы [math]v_0 \nearrow [/math], необходимо, чтобы [math]t \searrow \quad \Rightarrow \quad l \searrow,\quad m \searrow[/math], но при этом масса стрелы не должна быть слишком мала. Опыты показывают, что ее величина должна составлять 15 - 40 г
Баллистика
Наглядное сравнение стрельбы из огнестрельного оружия и стрельбы из лука. Дело в том, что в огнестрельном оружии не учитывается баллистика, в отличие от лука и арбалета.
Рассмотрим прямой выстрел(начальная скорость направлена параллельно земле):
Пусть известны следующие величины: [math]v_0 = 800\quad [/math] м/с - скорость пули, [math]v_1 = 80 \quad [/math] м/с - скорость стрелы, расстояние s = 200 м
Время полета пули:[math]t =\frac{200}{800} = \frac{1}{4}\quad [/math] с, время полета стрелы: [math]t = \frac{200}{80} = \frac{5}{2}\quad [/math] с
[math]h = \frac{gt^2}{2} [/math], высота, на которую пуля окажется ниже мишени, составит [math]h = \frac{10}{32} = 0.3125\quad [/math] м
Таким образом, если брать в расчет высоту снайпера, то пуля не "войдет в землю" и, в зависимости от масштабов мишени, может попасть в нее.
Высота же, на которую стрела окажется ниже мишени составит: [math]h = \frac{250}{82} = 31.25\quad [/math] м, откуда сразу же видно, что, учитывая высоту стрелка, пуля войдет в землю и не достигнет мишени.
Факторы стрельбы

  • дальность стрельбы (450 м - рекорд для спортивных луков);
  • дальность поражения (60 - 80 м для поражения защищенного доспехами человека, 180 - 250 м для незащищенного человека)

Существует эффективная прицельная дальность стрельбы - дистанция, на которой возможно гарантированное попадание стрелы в реальную подвижную цель, не успевающую выйти из зоны поражения. Эта величина составляет примерно 30 - 40 м)
Поправки

  • ветер;
  • подвижная цель;

Наглядное представление:
Пусть скорость ветра [math]v_0 \approx 1[/math] м/с, скорость стрелы [math]v_1 \approx 80[/math] м/с, пусть скорость ветра перпендикулярна начальной скорости стрелы
Рассмотрим дистанцию в 40 м
[math]\tan\alpha = \frac{1}{80} = \frac{h}{40} \quad \Rightarrow\quad h = \frac{40}{80} = 0.5 [/math], где h - смещение

Решение[править]

Рассмотрим следующую модификацию лука:плечи приняты за стрежни, между ними находится пружина, тетива рассматривается как нерастяжимая нить
От каких параметров зависит силовая характеристика лука?
[math]M \ =\ \gamma*\triangle\varphi[/math], где M - момент пружины, действующий на плечо лука, [math]\frac{\triangle\varphi}{2}[/math] - угол смещения плеча от начального положения при натяжении тетивы. В силу симметрии картины изгиба плеч лука в уравнение для момента входит величина угла изгиба плеча, умноженная на 2.
[math]T*h \ =\ M =\ \gamma*\triangle\varphi[/math], где T - сила упругости тетивы, h - плечо силы T.
[math]T \ =\ \gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}[/math]
[math]F \ =\ 2*T*\cos\beta \ =\ 2*\gamma*\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta[/math], F - сила, приложенная к тетиве и затем передающаяся стреле при спускании тетивы
Геометрия

  • Найдем [math]\angle\beta[/math], а точнее, [math]\cos\beta[/math]:

По обобщенной теореме косинусов и при последующем упрощении получается, что [math]\cos\beta \ =\ \frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{2\sqrt{l^2 - x_0^2}*(\triangle x + x_0)}[/math]

  • Найдем h - плечо силы натяжения тетивы:

[math]h \ =\ (\triangle x + x_0)\sin\beta \quad \Rightarrow \quad h \ =\ \frac{\sqrt{4(l^2 - x_0^2)^2*(\triangle x + x_0)^2 - (\triangle x^2 + 2\triangle xx_0)^2}}{2\sqrt{l^2 - x_0^2}}[/math]

  • Найдем [math]\triangle \varphi[/math]:

[math]\varphi \ =\ \chi - \gamma \ =\ 2*(\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 - (l^2 - x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0)))[/math]

  • Найдем [math]\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta[/math]:

[math]\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta \ =\ \frac{\triangle x^2 + 2\triangle xx_0}{(\triangle x + x_0)\sqrt{4(l^2 - x_0^2)(\triangle x + x_0)^2 - (\triangle x + 2\triangle xx_0)^2}}*2\arcsin(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l^2}*(\sqrt{l^2 - (l^2 - x_0^2)\sin\beta^2}) -\sin\beta*x_0))[/math]
Нахождение силовой характеристики лука
[math]F = F(\triangle x) \ =\ \frac{\partial F}{\partial 0}(0)\triangle x+ \frac{1}{2}*\frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0)(\triangle x)^2 + \frac{1}{6}*\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0)(\triangle x)^3[/math]
Проведенные расчеты показали, что [math]\frac{\partial F}{\partial 0}(0) \ =\ 0 ;\quad \frac{\partial^2F}{\partial \triangle x^2}(0) \ =\ 0[/math]
[math]\frac{\partial^3F}{\partial \triangle x^3}(0) \ =\ \frac{12\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}} [/math]
Таким образом, [math]F(\triangle x) \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3[/math]
Решение задачи на непосредственно нахождение дальности полета стрелы
Весь процесс стрельбы из лука можно разделить на два этапа: натяжение тетивы и полет выпущенной стрелы. Для нахождения интересующей нас дальности полета стрелы необходимо знать начальную скорость, с которой выпущена стрела. Для нахождения же этой скорости необходимо рассматривать процесс натяжения тетивы. Итак, рассмотрим два этапа.

  • Этап натяжения тетивы

По второму закону Ньютона [math]F\ =\ mw[/math]
С другой стороны, сила равна найденной величине: [math]F(\triangle x) \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}}*\triangle x^3[/math]
Отсюда можно найти ускорение, переданное стреле:
[math]w \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}[/math]
[math]\triangle x \ =\ \frac{1}{2}wt^2 + x_0 \quad \Rightarrow \quad w \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)[/math]
[math]v_0 \ =\ wt \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{ml^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}*\triangle x^3}*(\frac{1}{8}w^3t^6 + x_0^3)*t[/math]
Выразим одну неизвестную величину через другую (ускорение через время). В луке величину квадрата начального смещения, а также куб этой величины можно cчитать малой в сравнении со степенями величины длины плеча лука.
[math]w \ =\ \frac{2lx_0\sqrt{m}}{t^3\sqrt{\gamma}}[/math]
Тогда [math]v_0 \ =\ \frac{2\sqrt{m}lx_0}{t^2\sqrt{\gamma}}[/math]
[math]t \ =\ \frac{lx_0\sqrt{m}}{\triangle x \sqrt{\gamma}}[/math]
Тогда [math]v_0 \ =\ \frac{2\sqrt{\gamma}\triangle x^2}{lx_0\sqrt{m}}[/math]

  • Этап полета стрелы

[math]s \ =\ v_0\cos\alpha*t[/math]
Найдем время полета стрелы.
[math]g \ =\ \frac{v_0\sin\alpha}{t/2} \quad \Rightarrow \quad t \ =\ \frac{4\sqrt{\gamma}\triangle x^2\sin\alpha}{lx_0\sqrt{m}g}[/math]
[math]s \ =\ v_0\cos\alpha\frac{4\sqrt{\gamma}\triangle x^2\sin\alpha}{lx_0\sqrt{m}g} \ =\ \frac{4\gamma\triangle x^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}[/math]
Рассмотрим модификацию лука, когда тетива принимается за растяжимую нить
Если принимать тетиву за растяжимую нить, то при смещении тетивы и накоплении потенциальной энергии [math]\angle\beta[/math] будет отличен от вычисленного для нерастяжимой нити. Также изменится угол отклонения плеч от положения, рассматриваемого в качестве начального - когда тетива натянула на лук и не деформирована стрелком. В следствие изменения [math]\angle\beta[/math] изменится и плечо силы натяжения тетивы. Так, изменится вся величина силы.
Сила натяжения нити: [math]T \ =\ c*\triangle p \ =\ c*(p - p_0)[/math], где величина p - длина тетивы в натянутом состоянии, а [math]p_0[/math] - длина тетивы в положении, рассматриваемом в качестве начального
Для вычисления длины нити в промежуточный момент времени мы введем систему из трех уравнений. Первое уравнение заключается в обобщенной теореме Пифагора,второе уравнение получается из рассмотрения статического равновесия в середине тетивы (месте приложения силы, действующей на стрелу), а третье из рассмотрения положения статического равновесия системы тетива - плечо лука в некоторый момент времени.
Итак, [math]p^2 \ =\ (\triangle x + x_0)^2 + l^2 - 2*(\triangle x + x_0)l\cos(\chi - \frac{\triangle\varphi}{2})\quad[/math]
[math]M \ =\ Th \quad \Rightarrow \quad \gamma\triangle\varphi \ =\ c(p - \sqrt{l^2 - x_0^2})*h[/math]
Так, [math]p^2 \ =\ \frac{(\gamma\triangle\varphi)^2}{c^2} + (\triangle x + x_0) - l\cos(\chi - \frac{\triangle\varphi}{2})[/math]
[math]F \ \ = 2T\cos\beta \ =\ 2c(p - \sqrt{l^2 - x_0^2}\cos\beta)[/math], с другой стороны, [math]F \ =\ 2\gamma\frac{\triangle\varphi}{h}*\cos\beta[/math]
Так, получаем, что [math]c \ =\ \frac{\gamma\triangle\varphi}{h(p - \sqrt{l^2 - x_0^2}}[/math]
Решение системы получается весьма нетривиальным, а потому можно прибегнуть к упрощению полученного уравнения для величины угла смещения плеч. Упрощение происходит посредством отбрасывания малых величин.
Уравнение для силы, действующей на стрелу, выглядит следующим образом:[math]F \ =\ 4\gamma*\arccos(\frac{\sqrt{l^2 - x_0^2}}{l}*\sqrt{1 + \frac{l}{2(\triangle x + x_0)}})*\frac{\sqrt{4(\triangle x + x_0)^2 + l^2}}{l(\triangle x + x_0)})[/math]
Случай малых углов
Рассмотрим случай, когда смещение тетивы от положения равновесия мало, то есть [math]\angle\kappa[/math] и [math]\angle \xi[/math] малы.

Выразим величину [math]\triangle x[/math] через малые углы.
[math]\triangle x + x_0 \ =\ p\sin\kappa + l\sin\xi[/math]
Выразим малые углы через известные:
[math]\angle\kappa \ =\ \frac{\pi}{2} - \beta[/math]
[math]\angle\xi \ =\ \frac{\pi}{2} - \arcsin(\frac{p}{l}\sin\beta)[/math]
Итак, [math]\triangle x \ =\ \frac{\pi}{2}(l - p) - x_0[/math]
Сила, прикладываемая к середине тетивы, в таком случае выражается следующим образом:
[math]F \ =\ \frac{2\gamma(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}*(\frac{\pi}{2}(l - \sqrt{l^2 - x_0^2})- x_0)^3[/math]
Дальность же полета окажется равной:
[math]s \ =\ \frac{4\gamma\triangle x^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}\ =\ \frac{4\gamma(\frac{\pi}{2}(l - \sqrt{l^2 - x_0^2}) - x_0)^4\sin2\alpha}{l^2x_0^2mg}[/math]

Небольшое исследование зависимостей в полученной модели
[math]P \ =\ \frac{U}{t}[/math]
Интегрирование полученного выражения для силы натяжения тетивы по смещению даст следующее выражение для мощности:
[math]P \ =\ v_0*\frac{F}{4}[/math]
Поскольку [math]U \ =\ \frac{F*\triangle x}{4}[/math], получаем, что
[math]v_0 \ =\ \frac{\triangle x}{t}[/math]
[math]m \ =\ \eta *\frac{2U}{v_0^2}[/math]
[math]m \ =\ \eta*\frac{F*\triangle x}{2*v_0^2}[/math]
[math]m \ = \eta*\frac{F*t^2}{2*\triangle x}[/math]

Нахождение изгибающего момента в сечении плеча лука
[math]M \ =\ EI(K - K_0)[/math]
[math]K \ =\ \frac{y^{\prime\prime}}{\sqrt{((1 + (y^\prime)^2)^3)}}[/math]
[math]K \ =\ \frac{1}{r} \ =\ ms[/math]
[math]y^\prime \ =\ \sqrt{\frac{m^2*(\frac{s^2 + 2c_1}{2})^2}{1 - m^2*(\frac{s^2 + 2c_1}{2})^2 }}[/math]

Обсуждение результатов и выводы[править]

Одним из основных вопросов, влияющих на вычисления, было выявление характера зависимости прикладываемой к тетиве силы от смещения тетивы. Из ранее проведенного опыта (Искусство стрельбы из лука. Фролова Ксения.(скачать презентацию: ppt, 1.09 MB)) можно наглядно увидеть динамическую кривую (изображение данной характеристики на графике) простого прямого лука (ролевого с текстолитовыми плечами), имеющегося в наличии, а также из проделанной работы по классификации различных модификаций обсуждаемого метательного оружия можно выделить для рассмотрения динамические кривые опять же прямого прямого лука, рекурсивного лука и современного блочного лука. Вычисления в рамках данной курсовой работы велись для наиболее простой модели лука - прямого лука, плечи которого в состоянии без тетивы представляют собой прямую палку. Полученная зависимость оказалось отнюдь нелинейной. Оказалось, что прикладываемая к тетиве сила зависит от куба величины смещения тетивы, от квадрата величины длины плеча лука, от квадрата величины начального смещения тетивы (когда тетива одета на лук, к которому не прикладывается сила), от жесткости материала, из которого сделаны плечи лука.
Также в качестве исследования нужно было рассмотреть тетиву как нерастяжимую нить и как растяжимую, выяснив, что более влияет на полет стрелы при спуске - сила упругости плеч или же тетивы лука. Полученные результаты показали, что величина силы, действующей на стрелу при спуске различна для этих случаев. В следствие этого можно сделать вывод, что пренебрегать удлинением нити не следует.
Используя полученную модель лука, мы четко видим поведение стрелы в предельных случаях. При стрельбе из лука в горизонтальном направлении мы получаем нулевую дальность, равно, как и при вертикальной стрельбе. Реально же дальность полета снаряда зависит от высоты человека (расстояния от земли до уровня середины тетивы, в месте которой прикладывается сила). Также из полученной модели видно, что при малых углах (малом оттягивании тетивы от положения равновесия), дальность полета - малая величина. При обращении же величины смещения тетивы в ноль, дальность полета оказывается также равной нулю, то есть, полета стрелы не будет.

Ссылки по теме[править]

См. также[править]