Редактирование: Фазовые переходы МД

[[Виртуальная лаборатория]] > [[Фазовые переходы МД]] <HR>

=Задача=

Переход от кристаллической структуры к газу. В направлении абсцисс используются периодические ГУ, в направлении оси ординат один ряд частиц фиксирован, с другой стороны несколько рядов частиц (3-5) нагреваются посредством [https://en.wikipedia.org/wiki/Berendsen_thermostat термостата Берендсена] (регулируемые параметры). Частицы взаимодействуют посредством потенциала. Уравнения движения интегрируются методом [https://en.wikipedia.org/wiki/Leapfrog_integration Leapfrog]. Система забывает об улетевших частицах.

==Задача I==

Написать графический интерфейс, позволяющий наблюдать движение частиц. Предусмотреть возможность отключаемого отображения: температуры (цветом), скорости (светом и отрезком), связей между частицами (отрезком). Реализовать возможность выбора частицы мышкой и вывода подробной информации (номер, скорость, сила).
Список Группы:
* [[Нарядчиков Александр]]
* [[Лебедев Станислав]]
* [[Демченко Артем]]
* [[Киселев Лев]]

==Задача II==

Основные элементы расчетной части: Запуск расчета, создание образца с треугольной решеткой, задание начальных условий, определение связей, интегрирование уравнений движения методом [https://en.wikipedia.org/wiki/Leapfrog_integration Leapfrog], расчет сил парным потенциалом. Удаление улетевших частиц.

Список Группы:
* [[Абрамов Игорь]]
* [[Ляжков Сергей]]
* [[Сенников Иван]]
* [[Степаняц Степан]]
* [[Лосева Татьяна]]

==Задача III==

Расчет сил потенциалом [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера#Потенциал Бреннера второго поколения|Бреннера второго поколения]], создание решетки графена, расчет связей, [https://en.wikipedia.org/wiki/Berendsen_thermostat термостат Берендсена].

Список Группы:
* [[Давыдова Алена]]
* [[Бальцер Анастасия]]
* [[Васильева Анастасия]]
* [[Иванова Яна]]
* [[Лобанов Илья]]

==Задача IV==

Расчет сил потенциалом [https://en.wikipedia.org/wiki/Embedded_atom_model погруженного атома] для [http://www.ctcms.nist.gov/potentials/Fe.html Железа]. Задание периодических граничных условий.

Список Группы:
*[[Рубинова Раиса ]]
*[[Андреева Полина]]
*[[Белоусова Екатерина]]
*[[Тимошенко Валентина]]
*[[Уманский Александр]]

==Решение задачи==
Открывать лучше в Mozile FireFox, либо настраивать аппаратное ускорение самому (если программа не открывается)
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Lebedev/Phase_Transition_MD_2017/Main.html |width=1300 |height=750 |border=0 }}

== Потенциал Бреннера второго поколения ==

Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи
в виде

<math>
    E_b = \sum_i \sum_{j (> i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right].
</math><br />

Силу, действующую на частицу с номером I можно рассчитать как минус градиент энергии (производная по радиус-вектору частицы i)

<math>
\vec{F}_i = - \sum \limits_{j \neq i} \left[ \frac{\partial V^R(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i}-\frac{\partial b_{ij}}{\partial \vec{r}_i}V^A(r_{ij})-b_{ij}\frac{\partial V^A(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \right], 
</math> 

Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:

<math>
\frac{\partial V^R(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \left( 1+\frac{Q}{r} \right) A e^{-ar_{ij}}+f^c(r_{ij}) Q \frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}^3}Ae^{-ar_{ij}}+f^c(r_{ij}) \left( 1+\frac{Q}{r} \right) A a e^{-ar_{ij}}\frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}}. 
</math> 

<math>
    V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r},
</math>

где

<math>
    f^c (r) = \left\{
    \begin{array}{l}
        1,  \\
        \left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\
        0, \\
    \end{array} \right.
    \begin{array}{l}
        r < D_{\min}, \\
        D_{\min} < r < D_{\max}, \\
        r > D_{\max},
    \end{array}
</math>

<math>
\frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \left\{ 
\begin{array}{l} 
\vec{0}, \ \ \ \ r_{ij} < D_{min} \\ 
\sin{\left( \pi \frac{(r_{ij}-D_{min})}{(D_{max} - D_{min})} \right)} \cdot \frac{\pi \vec{r}_{ij}}{(D_{min}- D_{max})r_{ij}}, \ \ \ \ \mbox{при} D_{min} < r_{ij} < D_{max} \\ 
\vec{0}, \ \ \ \ r_{ij} > D_{max} 
\end{array} \right. 
</math>
 
<math>
\frac{\partial V^A(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \cdot \sum \limits_{n=1,3} B_n e^{-\beta_nr_{ij}} + f^c(r_{ij}) \cdot \sum \limits_{n=1,3}B_n \beta_n e^{-\beta_nr_{ij}}\frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}}. 
</math>



Параметры имеют вид:

<math>
    \begin{array}{l}
    B_1  = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1  = 4.720 452 3127 \,\mbox{Å}^{-1},\; Q = 0.313 460 296
    0833 \,\mbox{Å},\\
    B_2  = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{Å}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170
    \,\mbox{eV},\\
    B_3  = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3  = 1.382 691 2506 \,Å^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595
    \,\mbox{Å}^{-1},\\
     D_{\min}  = 1.7 \,\mbox{Å},\; D_{\max}  = 2.0 \,\mbox{Å}.
   \end{array}
</math>

Множитель <math>b_{ij}</math> равен <math>b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2</math>

а, соответственно его производная
<math>
\frac{\partial b_{ij}}{\partial \vec{r}_i} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial B_{ij}}{\vec{r}_i}+ \frac{\partial B_{ji}}{\partial \vec{r}_i} \right) 
</math>, где

<math>
    B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk}))
    \right]^{-1/2},
</math>

А производная<math>B_{ij}</math> считается по следующей формуле

<math>
\frac{\partial B_{ij}}{\partial \vec{r}_i} = \sum \limits_{k \neq i,j} \left[ \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \cdot G(\cos{(\theta_{ijk})}) + f^c(r_{ik}) \cdot \frac{\partial G(\cos{(\theta_{ijk})})}{\partial \vec{r}_i} \right] . 
</math> 

<math>
\frac{\partial G(\cos{\theta_{ijk}})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial G(\cos{\theta_{ijk}})}{\partial \cos{\theta_{ijk}}} \cdot \frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_i}. 
</math> 

где <math>\theta_{ijk}</math> – угол между связями, соединяющими атомы
<math>i,j</math> и <math>i,k</math>. Функция <math>G(\cos\theta)</math> строится как полином через значения функции и ее
производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза (<math>\theta =
\arccos(-1/3)</math>) и графена (<math>\theta = 2 \pi / 3</math>):

{| class="wikitable"
|  <math>\theta(rad)</math>
|  <math>G(\cos \theta)</math>
|  <math>dG(\cos \theta) / d\cos \theta</math>
|  <math>d^2 G(\cos \theta) / d\cos \theta^2</math>
|-
|  <math>0.6082\pi</math>
|  <math>0.097 33</math>
|  <math>0.400 00</math>
|  <math>1.980 00</math>
|-
|  <math>2\pi / 3</math>
|  <math>0.052 80</math>
|  <math>0.170 00</math>
|  <math>0.370 00</math>
|}

Производные от косинуса по радиус-векторам i-ой и j-ой частицы  высчитываются так (где i – вершина угла):

<math>
\frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\vec{r}_{ij} \times \left( \vec{r}_{ij} \times \vec{r}_{ik} \right)}{r_{ij}^3 r_{ik}} + \frac{\vec{r}_{ik} \times \left( \vec{r}_{ik} \times \vec{r}_{ij} \right)}{r_{ik}^3 r_{ij}},\ \ \ \ \mbox{i —- вершина} 
</math> 

<math>
\frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_j} = \frac{\vec{r}_{ij} \times \left( \vec{r}_{ik} \times \vec{r}_{ij} \right)}{r_{ij}^3 r_{ik}}. 
</math>

==Потенциал погруженного атома==
Модель погружённого атома (англ. embedded atom model, EAM) используется для приближенного описания энергии взаимодействия между двумя атомами. Полная энергия системы состоит из двух слагаемых – энергии парного взаимодействия атомов и энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами. 

Для расчета энергии парного взаимодействия используется следующая формула: 
<math>
E(\vec{r}_1,...,\vec{r}_N)= \frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \left[ φ(r_{ij}) \right] 
</math>

где <math> φ(r_{ij}) </math> −потенциал взаимодействия i−го и j−го атомов, находящихся на расстоянии <math> r_{ij} </math>.

Расчет энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами, идет по формуле
<math>
E = F \sum \limits_{i \neq j} \left[ ρ_{α}(r_{ij}) \right]    
</math>

где <math> r_{ij} </math> — расстояние между i−м и j−м атомами, </math> ρ_{α} </math>  — вклад в плотность заряда электронов от j−го атома в месте расположения i−го атома и F — это функция«погружения», которая представляет энергию,необходимую для помещения i−го атома в электронное облако. 

Таким образом, энергия i-го атома равна 
<math>
E_{i} = F_{α} (\sum \limits_{i \neq j} \left[ ρ_{α}(r_{ij}) \right]  + \frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \left[ φ(r_{ij}) \right] 
</math>

Для расчета силы от функции погружения используется дифференцирование по плотности: 
<math>
F_{pogr} = − frac{partial \F_{α}}{partial \ρ} (\sum \limits_{i} \left[ \frac{partial \ρ_{i}}{partial \r_{ij}} \frac{partial \r_{ij}}{partial \r_{i}}  \right]   
</math>

Для расчета силы от парного потенциала используется дифференцирование по расстоянию: 
<math>
F_{parn} = − \frac{partial \П}{partial \ρ} \frac{partial \ρ}{partial \R} \frac{\vec{R}}{partial \R}       ∂ρ/∂R R/∂R
</math>
 
Общая сила равна сумме сил, действующих со стороны обоих потенциалов: 
<math>
F = F_{pogr} + F_{parn}
</math>