Виртуальная лаборатория >
Фазовые переходы МД
Переход от кристаллической структуры к газу. В направлении абсцисс используются периодические ГУ, в направлении оси ординат один ряд частиц фиксирован, с другой стороны несколько рядов частиц (3-5) нагреваются посредством термостата Берендсена (регулируемые параметры). Частицы взаимодействуют посредством потенциала. Уравнения движения интегрируются методом Leapfrog. Система забывает об улетевших частицах.
Написать графический интерфейс, позволяющий наблюдать движение частиц. Предусмотреть возможность отключаемого отображения: температуры (цветом), скорости (светом и отрезком), связей между частицами (отрезком). Реализовать возможность выбора частицы мышкой и вывода подробной информации (номер, скорость, сила).
Список Группы:
Основные элементы расчетной части: Запуск расчета, создание образца с треугольной решеткой, задание начальных условий, определение связей, интегрирование уравнений движения методом Leapfrog, расчет сил парным потенциалом. Удаление улетевших частиц.
Список Группы:
Расчет сил потенциалом Бреннера второго поколения, создание решетки графена, расчет связей, термостат Берендсена.
Список Группы:
Расчет сил потенциалом погруженного атома для Железа. Задание периодических граничных условий.
Список Группы:
Решение задачи[править]
Открывать лучше в Mozile FireFox, либо настраивать аппаратное ускорение самому (если программа не открывается)
Потенциал Бреннера второго поколения[править]
Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи
в виде
[math]
E_b = \sum_i \sum_{j (\gt i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right].
[/math]
Силу, действующую на частицу с номером I можно рассчитать как минус градиент энергии (производная по радиус-вектору частицы i)
[math]
\vec{F}_i = - \sum \limits_{j \neq i} \left[ \frac{\partial V^R(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i}-\frac{\partial b_{ij}}{\partial \vec{r}_i}V^A(r_{ij})-b_{ij}\frac{\partial V^A(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \right],
[/math]
Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:
[math]
\frac{\partial V^R(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \left( 1+\frac{Q}{r} \right) A e^{-ar_{ij}}+f^c(r_{ij}) Q \frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}^3}Ae^{-ar_{ij}}+f^c(r_{ij}) \left( 1+\frac{Q}{r} \right) A a e^{-ar_{ij}}\frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}}.
[/math]
[math]
V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r},
[/math]
где
[math]
f^c (r) = \left\{
\begin{array}{l}
1, \\
\left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\
0, \\
\end{array} \right.
\begin{array}{l}
r \lt D_{\min}, \\
D_{\min} \lt r \lt D_{\max}, \\
r \gt D_{\max},
\end{array}
[/math]
[math]
\frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \left\{
\begin{array}{l}
\vec{0}, \ \ \ \ r_{ij} \lt D_{min} \\
\sin{\left( \pi \frac{(r_{ij}-D_{min})}{(D_{max} - D_{min})} \right)} \cdot \frac{\pi \vec{r}_{ij}}{(D_{min}- D_{max})r_{ij}}, \ \ \ \ \mbox{при} D_{min} \lt r_{ij} \lt D_{max} \\
\vec{0}, \ \ \ \ r_{ij} \gt D_{max}
\end{array} \right.
[/math]
[math]
\frac{\partial V^A(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \cdot \sum \limits_{n=1,3} B_n e^{-\beta_nr_{ij}} + f^c(r_{ij}) \cdot \sum \limits_{n=1,3}B_n \beta_n e^{-\beta_nr_{ij}}\frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}}.
[/math]
Параметры имеют вид:
[math]
\begin{array}{l}
B_1 = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1 = 4.720 452 3127 \,\mbox{Å}^{-1},\; Q = 0.313 460 296
0833 \,\mbox{Å},\\
B_2 = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{Å}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170
\,\mbox{eV},\\
B_3 = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3 = 1.382 691 2506 \,Å^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595
\,\mbox{Å}^{-1},\\
D_{\min} = 1.7 \,\mbox{Å},\; D_{\max} = 2.0 \,\mbox{Å}.
\end{array}
[/math]
Множитель [math]b_{ij}[/math] равен [math]b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2[/math]
а, соответственно его производная
[math]
\frac{\partial b_{ij}}{\partial \vec{r}_i} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial B_{ij}}{\vec{r}_i}+ \frac{\partial B_{ji}}{\partial \vec{r}_i} \right)
[/math], где
[math]
B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk}))
\right]^{-1/2},
[/math]
А производная[math]B_{ij}[/math] считается по следующей формуле
[math]
\frac{\partial B_{ij}}{\partial \vec{r}_i} = \sum \limits_{k \neq i,j} \left[ \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \cdot G(\cos{(\theta_{ijk})}) + f^c(r_{ik}) \cdot \frac{\partial G(\cos{(\theta_{ijk})})}{\partial \vec{r}_i} \right] .
[/math]
[math]
\frac{\partial G(\cos{\theta_{ijk}})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial G(\cos{\theta_{ijk}})}{\partial \cos{\theta_{ijk}}} \cdot \frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_i}.
[/math]
где [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы
[math]i,j[/math] и [math]i,k[/math]. Функция [math]G(\cos\theta)[/math] строится как полином через значения функции и ее
производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза ([math]\theta =
\arccos(-1/3)[/math]) и графена ([math]\theta = 2 \pi / 3[/math]):
| [math]\theta(rad)[/math]
|
[math]G(\cos \theta)[/math]
|
[math]dG(\cos \theta) / d\cos \theta[/math]
|
[math]d^2 G(\cos \theta) / d\cos \theta^2[/math]
|
| [math]0.6082\pi[/math]
|
[math]0.097 33[/math]
|
[math]0.400 00[/math]
|
[math]1.980 00[/math]
|
| [math]2\pi / 3[/math]
|
[math]0.052 80[/math]
|
[math]0.170 00[/math]
|
[math]0.370 00[/math]
|
Производные от косинуса по радиус-векторам i-ой и j-ой частицы высчитываются так (где i – вершина угла):
[math]
\frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\vec{r}_{ij} \times \left( \vec{r}_{ij} \times \vec{r}_{ik} \right)}{r_{ij}^3 r_{ik}} + \frac{\vec{r}_{ik} \times \left( \vec{r}_{ik} \times \vec{r}_{ij} \right)}{r_{ik}^3 r_{ij}},\ \ \ \ \mbox{i —- вершина}
[/math]
[math]
\frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_j} = \frac{\vec{r}_{ij} \times \left( \vec{r}_{ik} \times \vec{r}_{ij} \right)}{r_{ij}^3 r_{ik}}.
[/math]
Потенциал погруженного атома[править]
Модель погружённого атома (англ. embedded atom model, EAM) используется для приближенного описания энергии взаимодействия между двумя атомами. Полная энергия системы состоит из двух слагаемых – энергии парного взаимодействия атомов и энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами.
Для расчета энергии парного взаимодействия используется следующая формула:
[math]
E(\vec{r}_1,...,\vec{r}_N)= \frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \left[ φ(r_{ij}) \right]
[/math]
где [math] φ(r_{ij}) [/math] −потенциал взаимодействия i−го и j−го атомов, находящихся на расстоянии [math] r_{ij} [/math].
Расчет энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами, идет по формуле
[math]
E = F \sum \limits_{i \neq j} \left[ ρ_{α}(r_{ij}) \right]
[/math]
где [math] r_{ij} [/math] — расстояние между i−м и j−м атомами, [math] ρ_{α} [/math] — вклад в плотность заряда электронов от j−го атома в месте расположения i−го атома и F — это функция «погружения», которая представляет энергию,необходимую для помещения i−го атома в электронное облако.
Таким образом, энергия i-го атома равна
[math]
E_{i} = F_{α} (\sum \limits_{i \neq j} \left[ ρ_{α}(r_{ij}) \right] + \frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \left[ φ(r_{ij}) \right]
[/math]
Для расчета силы от функции погружения используется дифференцирование по плотности:
[math]
F_{pogr} = − \frac{\partial F_{α}}{\partial ρ} (\sum \limits_{i} \left[ \frac{\partial ρ_{i}}{\partial r_{ij}} \frac{\partial r_{ij}}{\partial r_{i}} \right]
[/math]
Для расчета силы от парного потенциала используется дифференцирование по расстоянию:
[math]
F_{parn} = \frac{\partial Π}{\partial ρ} \frac{\partial ρ}{\partial R} \frac{\vec{R}}{\partial R}
[/math]
Общая сила равна сумме сил, действующих со стороны обоих потенциалов:
[math]
F = F_{pogr} + F_{parn}
[/math]
