Редактирование: Тепловые колебания в одномерном кристалле
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 24: | Строка 24: | ||
Принимались периодические граничные условия: | Принимались периодические граничные условия: | ||
− | <math> {u_{k+N} =u_k, ~~~ N>>1 } ~~~~~ (2) </math> | + | <math> {u_{k+N} =u_k, ~ ~~ N>>1 } ~~~~~ (2) </math> |
где <math> N</math> – число независимых частиц. | где <math> N</math> – число независимых частиц. | ||
Строка 41: | Строка 41: | ||
<math> K=m\left \langle {\dot u_k^2} \right \rangle ~~~~~ (4) </math> | <math> K=m\left \langle {\dot u_k^2} \right \rangle ~~~~~ (4) </math> | ||
− | Для анализа зависимости кинетической энергии от параметра α были проведены численные эксперименты для одномерного кристалла с нелинейным взаимодействием частиц (1) с начальными условиями (3) и граничными условиями (2). Здесь и далее кинетическая энергия была обезразмерена по начальной заданной кинетической энергии, а время расчётов – по отношению к периоду колебаний частицы вблизи положения равновесия. | + | Для анализа зависимости кинетической энергии от параметра α были проведены численные эксперименты для одномерного кристалла с нелинейным взаимодействием частиц (1) с начальными условиями (3) и граничными условиями (2). Здесь и далее кинетическая энергия была обезразмерена по начальной заданной кинетической энергии, а время расчётов – по отношению к периоду колебаний частицы вблизи положения равновесия . |
На рис. 1 представлены результаты численного моделирования задачи об определении кинетической температуры одномерного кристалла с нелинейным взаимодействием. | На рис. 1 представлены результаты численного моделирования задачи об определении кинетической температуры одномерного кристалла с нелинейным взаимодействием. | ||
Строка 50: | Строка 50: | ||
Анализируя результаты, представленные на рис. 1 можно сделать вывод о том, что скорость затухания колебаний увеличивается при увеличении нелинейности, а период колебаний – уменьшается. Нелинейность во взаимодействии частиц одномерной цепочки позволяет кинетической энергии кристалла релаксировать быстрее, вследствие чего вся система приходит в состояние термодинамического равновесия. | Анализируя результаты, представленные на рис. 1 можно сделать вывод о том, что скорость затухания колебаний увеличивается при увеличении нелинейности, а период колебаний – уменьшается. Нелинейность во взаимодействии частиц одномерной цепочки позволяет кинетической энергии кристалла релаксировать быстрее, вследствие чего вся система приходит в состояние термодинамического равновесия. | ||
− | Для линейного взаимодействия между частицами в работе [10] было получено, что колебания кинетической энергии затухают со скоростью <math> \sqrt{t} </math>. Для случая нелинейного взаимодействия частиц одномерного кристалла, скорость затухания колебаний кинетической энергии и зависимость этого закона затухания от нелинейности неизвестна. В связи с этим, необходимо исследовать закон затухания кинетической энергии в зависимости от параметра нелинейности. | + | Для линейного взаимодействия между частицами в работе [10] было получено, что колебания кинетической энергии затухают со скоростью <math> \sqrt{t} </math>. Для случая нелинейного взаимодействия частиц одномерного кристалла, скорость затухания колебаний кинетической энергии и зависимость этого закона затухания от нелинейности неизвестна. В связи с этим, необходимо исследовать закон затухания кинетической энергии в зависимости от параметра нелинейности. |
Вид затухающей функции определён в классе функций: | Вид затухающей функции определён в классе функций: | ||
Строка 58: | Строка 58: | ||
где <math> a,b </math> – неизвестные параметры, варьируя которые, можно получить функцию, график которой наиболее точно ложится на график затухания кинетической энергии. Среднее значение кинетической энергии при определении закона затухания не учитывается. | где <math> a,b </math> – неизвестные параметры, варьируя которые, можно получить функцию, график которой наиболее точно ложится на график затухания кинетической энергии. Среднее значение кинетической энергии при определении закона затухания не учитывается. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Колебания кинетической температуры== | ==Колебания кинетической температуры== | ||
+ | Данный раздел посвящен исследованию колебаний амплитуды синусоидального профиля кинетической температуры одномерного кристалла и их зависимости от величины введенной нелинейности взаимодействия частиц. | ||
Как показано ранее, увеличение нелинейности взаимодействия частиц приводит к увеличению скорости затухания кинетической энергии в одномерном кристалле. Высокочастотные колебания наблюдают и при задании начального синусоидального распределения температуры по кристаллу. Синусоидальное распределение температуры можно представить как случай неравномерного нагрева материала по его длине. В этом случае инициализируется колебательный процесс, связанный со стремлением кинетической температуры равномерно распределиться по кристаллу. При этом колебания амплитуды профиля заданной температуры со временем будут затухать. | Как показано ранее, увеличение нелинейности взаимодействия частиц приводит к увеличению скорости затухания кинетической энергии в одномерном кристалле. Высокочастотные колебания наблюдают и при задании начального синусоидального распределения температуры по кристаллу. Синусоидальное распределение температуры можно представить как случай неравномерного нагрева материала по его длине. В этом случае инициализируется колебательный процесс, связанный со стремлением кинетической температуры равномерно распределиться по кристаллу. При этом колебания амплитуды профиля заданной температуры со временем будут затухать. | ||
− | Для исследования распределения кинетической температуры в нелинейном одномерном кристалле (1) с периодическими граничными условиями (2), рассмотрены следующие начальные условия: | + | Для исследования распределения кинетической температуры в нелинейном одномерном кристалле (1) с периодическими граничными условиями (2), рассмотрены следующие начальные условия: |
− | |||
− | |||
− | где <math> n </math> – номер частицы, <math> a </math> – расстояние между ними, | + | где <math> n </math> – номер частицы, <math> a </math> – расстояние между ними, – случайная величина с равномерным распределением, а <math> σ(х) </math> - начальные распределения скоростей частиц в цепочке. Величину <math> σ(х) </math> определим так, чтобы получить начальное распределение температуры по синусоидальному закону: |
− | <math> | + | где <math> A </math> и <math> \kappa </math> – константы, <math> \kappa=2\pi / N </math>, <math> σ(х) </math> – значение средней кинетической температуры в одномерном кристалле. |
− | + | Определен способ вычисления колебаний амплитуды синусоидальной температуры. Исследована амплитуда колебаний кинетической температуры через разложение кинетической температуры одномерной цепочки в ряд Фурье. Для этого вычислен первый коэффициент при разложении кинетической температуры по синусу: | |
− | |||
− | + | ==Сравнение зависимостей параметров двух законов затухания от нелинейности== | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | В | + | * В двух рассмотренных задачах были определены законы затухания колебаний кинетической энергии и амплитуды кинетической температуры в одномерном нелинейном кристалле. Закон затухания для обеих величин определялся в виде степенных функций. Определены два параметра для каждого из законов затухания и установлены их зависимости от введенной нелинейности. |
− | |||
− | + | * Из представленных результатов можно сделать вывод о том, что зависимость параметра a в законе затухания для колебания кинетической энергии и амплитуды кинетической температуры имеют схожий вид. Результаты, представленные на рис. 6, показывают, что показатели степени (b) в законе затухания в двух рассмотренных задачах имеют схожий вид зависимости от параметра нелинейности, однако значения параметров отличаются друг от друга на 20%. Коэффициент а, для двух рассмотренных величин имеет нелинейную зависимость от параметра α, при этом значения коэффициентов двух законов затухания отличаются на 30%. Таким образом, установлено различие в законах затухания при рассмотрении нелинейного взаимодействия | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Заключение== | ==Заключение== | ||
− | |||
* В работе исследован одномерный кристалл с нелинейным взаимодействием частиц (кубическая нелинейность в выражении для взаимодействия силы). Для проведения исследования введен безразмерный параметр <math> \alpha </math>, характеризующий отношение влияния линейного и нелинейного взаимодействия между частицами одномерного кристалла. Рассмотрены две постановки начальных условий: равномерное задание температуры и синусоидальный профиль температуры в одномерном кристалле. | * В работе исследован одномерный кристалл с нелинейным взаимодействием частиц (кубическая нелинейность в выражении для взаимодействия силы). Для проведения исследования введен безразмерный параметр <math> \alpha </math>, характеризующий отношение влияния линейного и нелинейного взаимодействия между частицами одномерного кристалла. Рассмотрены две постановки начальных условий: равномерное задание температуры и синусоидальный профиль температуры в одномерном кристалле. | ||
* Для первой постановки задачи исследована кинетическая энергия кристалла и ее зависимость от параметра нелинейности <math> \alpha </math>. Получено, что зависимость кинетической энергии одномерного кристалла от времени носит колебательный характер и с увеличением нелинейности скорость затухания колебаний увеличивается. Предложена аппроксимация закона затухания кинетической энергии кристалла для различного значения параметра нелинейности α. Введённая аппроксимация дает хорошее соответствие для малой нелинейности, при большой нелинейности наблюдается расхождение графика колебаний энергии и закона затухания. | * Для первой постановки задачи исследована кинетическая энергия кристалла и ее зависимость от параметра нелинейности <math> \alpha </math>. Получено, что зависимость кинетической энергии одномерного кристалла от времени носит колебательный характер и с увеличением нелинейности скорость затухания колебаний увеличивается. Предложена аппроксимация закона затухания кинетической энергии кристалла для различного значения параметра нелинейности α. Введённая аппроксимация дает хорошее соответствие для малой нелинейности, при большой нелинейности наблюдается расхождение графика колебаний энергии и закона затухания. | ||
Строка 143: | Строка 101: | ||
# Кривцов А.М. Колебания энергий в одномерном кристалле ДАН. 2014, том 458, № 3, с. 279–281. | # Кривцов А.М. Колебания энергий в одномерном кристалле ДАН. 2014, том 458, № 3, с. 279–281. | ||
# Andrei A. Gusev, Sergey A. Lurie, Wave-relaxation duality of heat propagation in Fermi–Pasta–Ulam chains // Mod. Phys. Lett. B August 2012, Vol. 26, No. 22 | # Andrei A. Gusev, Sergey A. Lurie, Wave-relaxation duality of heat propagation in Fermi–Pasta–Ulam chains // Mod. Phys. Lett. B August 2012, Vol. 26, No. 22 | ||
− | |||
− |