Статистические характеристики дискретных сред — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Литература)
Строка 147: Строка 147:
  
 
== Литература ==
 
== Литература ==
 +
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%B1%D0%B1%D1%81,_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%B7%D0%B0%D0%B9%D1%8F_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%B0%D1%80%D0%B4 Гиббс Дж.В.] '''Основные принципы статистической механики''' ''(излагаемые со специальным применением к рациональному обоснованию термодинамики)''. М.-Л.: ОГИЗ, 1946. (Скачать djvu: [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Gibbs1946ru.djvu 2.5 Mb], [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/physics/statphys.htm страница для скачивания]).
 +
: [http://en.wikipedia.org/wiki/Josiah_Willard_Gibbs#Scientific_recognition Gibbs, Josiah Willard] (1902). '''Elementary Principles in Statistical Mechanics''', ''developed with especial reference to the rational foundation of thermodynamics.'' New York: Charles Scribner's Sons. (Download djvu: 19.35 Mb, [http://bookfi.org/book/499416 download page]).
  
 
*Борн М. «Непрерывность, детерминизм, реальность» в книге «Размышления и воспоминания физика». М.: Мир, 1977. стр.162-187. (Скачать djvu: [http://padabum.com/x.php?id=28958 2.38 Mb], [http://padabum.com/d.php?id=28958 страница для скачивания]).
 
*Борн М. «Непрерывность, детерминизм, реальность» в книге «Размышления и воспоминания физика». М.: Мир, 1977. стр.162-187. (Скачать djvu: [http://padabum.com/x.php?id=28958 2.38 Mb], [http://padabum.com/d.php?id=28958 страница для скачивания]).
Строка 153: Строка 156:
  
 
* Лукач Е. Характеристические функции. Пер. с анг. 1979. М.: Наука. 424 с. [http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=24313#FF1 Оглавление]   
 
* Лукач Е. Характеристические функции. Пер. с анг. 1979. М.: Наука. 424 с. [http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=24313#FF1 Оглавление]   
:Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Downlod djvu: 3.9 Mb, [http://lib.org.by/info/M_Mathematics/MV_Probability/Lukacs%20E.%20Characteristic%20functions%20%282ed.,%20Griffin,%201970%29%28KA%29%28600dpi%29%28T%29%28360s%29_MV_.djvu download page]).
+
:Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Download djvu: 3.9 Mb, [http://lib.org.by/info/M_Mathematics/MV_Probability/Lukacs%20E.%20Characteristic%20functions%20%282ed.,%20Griffin,%201970%29%28KA%29%28600dpi%29%28T%29%28360s%29_MV_.djvu download page]).
 
:— A negative result (Theorem 7.3.5): '''The [https://en.wikipedia.org/wiki/Cumulant#cite_ref-3 cumulant] generating function cannot be a finite-order polynomial of degree greater than 2.''' <toggledisplay status=hide showtext="Clarification &gt;&gt;" hidetext="Clarification &lt;&lt;" linkstyle="font-size:default"> (Given the results for the cumulants of the [https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution normal distribution], it might be hoped to find families of distributions for which κ<sub>''m''</sub>&nbsp;=&nbsp;κ<sub>''m''+1</sub>&nbsp;=&nbsp;...&nbsp;=&nbsp;0 for some ''m''&nbsp;>&nbsp;3, with the lower-order cumulants (orders 3 to ''m''&nbsp;&minus;&nbsp;1) being non-zero. From the theorem it follows that there are no such distributions. In other words: '''the normal distribution is the only distribution with a finite number (two) of non-zero cumulants'''.)</toggledisplay>  <toggledisplay status=hide showtext="Origin &gt;&gt;" hidetext="Origin &lt;&lt;" linkstyle="font-size:default"> Данное утверждение является следствием теоремы, впервые доказанной [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87,_%D0%AE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Юзефом Марцинкевичем], польским математиком, погибшим во время Второй мировой войны: Marcinkiewicz, J. (1938). Sur une propriete de la loi de Gauss. Math. Zeitschr., 44, 612-618 ([http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=PPN266833020_0044&DMDID=DMDLOG_0058&LOGID=LOG_0058&PHYSID=PHYS_0616 read online], download pdf: 397 Kb [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=14&PPN=PPN266833020_0044&DMDID=DMDLOG_0059&LOGID=LOG_0059&PHYSID=PHYS_0618&L=0 download page]). Reprinted in J. Marcinkiewicz, Collected Papers. Panstwowe wydawnictwo Naukowe Warszawa, 1964. [http://zbmath.org/?q=an:0124.24103 Abstract.] </toggledisplay>
 
:— A negative result (Theorem 7.3.5): '''The [https://en.wikipedia.org/wiki/Cumulant#cite_ref-3 cumulant] generating function cannot be a finite-order polynomial of degree greater than 2.''' <toggledisplay status=hide showtext="Clarification &gt;&gt;" hidetext="Clarification &lt;&lt;" linkstyle="font-size:default"> (Given the results for the cumulants of the [https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution normal distribution], it might be hoped to find families of distributions for which κ<sub>''m''</sub>&nbsp;=&nbsp;κ<sub>''m''+1</sub>&nbsp;=&nbsp;...&nbsp;=&nbsp;0 for some ''m''&nbsp;>&nbsp;3, with the lower-order cumulants (orders 3 to ''m''&nbsp;&minus;&nbsp;1) being non-zero. From the theorem it follows that there are no such distributions. In other words: '''the normal distribution is the only distribution with a finite number (two) of non-zero cumulants'''.)</toggledisplay>  <toggledisplay status=hide showtext="Origin &gt;&gt;" hidetext="Origin &lt;&lt;" linkstyle="font-size:default"> Данное утверждение является следствием теоремы, впервые доказанной [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%80%D1%86%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87,_%D0%AE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Юзефом Марцинкевичем], польским математиком, погибшим во время Второй мировой войны: Marcinkiewicz, J. (1938). Sur une propriete de la loi de Gauss. Math. Zeitschr., 44, 612-618 ([http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=PPN266833020_0044&DMDID=DMDLOG_0058&LOGID=LOG_0058&PHYSID=PHYS_0616 read online], download pdf: 397 Kb [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=14&PPN=PPN266833020_0044&DMDID=DMDLOG_0059&LOGID=LOG_0059&PHYSID=PHYS_0618&L=0 download page]). Reprinted in J. Marcinkiewicz, Collected Papers. Panstwowe wydawnictwo Naukowe Warszawa, 1964. [http://zbmath.org/?q=an:0124.24103 Abstract.] </toggledisplay>
  

Версия 21:19, 6 декабря 2013

Страница находится в разработке

Обозначения и терминология

Обозначение Русское название English name
[math]X[/math] Случайная величина Random variable
[math]X(t)[/math] Случайный процесс Stochastic process
[math]X_1, X_2, \dots, X_N[/math] Случайный вектор [1] Multivariate random variable (random vector)
[math]F(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x )[/math] Функция распределения Cumulative distribution function
[math]f(x) = F'(x)[/math] Плотность распределения Probability density function (distribution density)
[math]\left\lt X\right\gt = \int_{-\infty}^\infty x f(x)dx[/math] Математическое ожидание Expected value (mathematical expectation)
[math]\varphi(s) = \left\lt e^{isX}\right\gt = \int_{-\infty}^\infty e^{isx} f(x)dx[/math] Характеристическая функция Characteristic function
[math]M(s) = \left\lt e^{sX}\right\gt = \int_{-\infty}^\infty e^{sx} f(x)dx[/math] Производящая функция моментов Moment-generating function
[math]\nu_n = \left\lt X^n\right\gt = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)dx = \left.\frac{d^n}{ds^n} M(s)\right|_{s=0}[/math] Начальный момент [2] Raw moment [3]
[math]\mu_n = \left\lt (X-\nu_1)^n\right\gt = \int_{-\infty}^\infty (x-\nu_1)^n f(x)dx[/math] Центральный момент [4] Central moment [5]
[math]\eta_n = \frac{\mu_n}{\sigma^n} = \lambda_{n/2}[/math] Нормированный момент Standardized moment
[math]\kappa_n = \left.\frac{d^n}{ds^n}\ln M(s)\right|_{s=0} = (-i)^n\left.\frac{d^n}{ds^n}\ln \varphi(s)\right|_{s=0}[/math] Полуинвариант (кумулянт) Cumulant
[math]\sigma^2 = \mu_2 = \kappa_2 [/math] Дисперсия Variance
[math]\sigma = \sqrt{\mu_2}[/math] Среднеквадратическое отклонение Standard deviation
[math]\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}[/math] Коэффициент асимметрии Skewness
[math]\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \lambda_2 - 3[/math] Коэффициент эксцесса Kurtosis (excess kurtosis)
[math]\eta_4 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} = \lambda_2[/math] 4-й нормированный момент [6] Historical kurtosis [7]
[math]f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\nu)^2}{2\sigma^2} }[/math] Плотность нормального распределения Normal distribution density

Полезные формулы

  • Распределение случайной величины [math]Y[/math], являющейся функцией случайной величины [math]X[/math]
[math] F_y\bigl(y\bigr) = F_x\bigl(x(y)\bigr) ,\qquad f_y\bigl(y\bigr) = f_x\bigl(x(y)\bigr)\,x'(y). [/math]
[math]\lambda_n = \eta_{2n} = \frac{\mu_{2n}}{\sigma^{2n}} = (2n-1)!!\qquad ([/math]нечетные моменты равны нулю[math])[/math].
[math] \gamma_2\left(\sum_{n=1}^N X_n\right) = \frac{\sum_{n=1}^N\sigma^4(X_n)\,\gamma_2(X_n)}{\left(\sum_{n=1}^N\sigma^2(X_n)\right)^2} = \frac1{N^2}\sum_{n=1}^N\gamma_2(X_n) = \frac1{N}\gamma_2(X_n), [/math]
где второе равенство выполняется для случайных величин с равной дисперсией, а третье равенство — для равнораспределенных случайных величин.

Научные разделы, связанные со статистическим описанием дискретных сред

Разное

Литература

  • Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики (излагаемые со специальным применением к рациональному обоснованию термодинамики). М.-Л.: ОГИЗ, 1946. (Скачать djvu: 2.5 Mb, страница для скачивания).
Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in Statistical Mechanics, developed with especial reference to the rational foundation of thermodynamics. New York: Charles Scribner's Sons. (Download djvu: 19.35 Mb, download page).
  • Борн М. «Непрерывность, детерминизм, реальность» в книге «Размышления и воспоминания физика». М.: Мир, 1977. стр.162-187. (Скачать djvu: 2.38 Mb, страница для скачивания).
Born M. «Continuity, determinism and reality», Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, Matematisk-fysiske Meddelelser, Bind 30, Nr.2, (1955) 1-26.
— Впервые рассмотрена (согласно [9]) классическая статистическая механика одной частицы (1955 г.)
  • Лукач Е. Характеристические функции. Пер. с анг. 1979. М.: Наука. 424 с. Оглавление
Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Download djvu: 3.9 Mb, download page).
— A negative result (Theorem 7.3.5): The cumulant generating function cannot be a finite-order polynomial of degree greater than 2. <toggledisplay status=hide showtext="Clarification >>" hidetext="Clarification <<" linkstyle="font-size:default"> (Given the results for the cumulants of the normal distribution, it might be hoped to find families of distributions for which κm = κm+1 = ... = 0 for some m > 3, with the lower-order cumulants (orders 3 to m − 1) being non-zero. From the theorem it follows that there are no such distributions. In other words: the normal distribution is the only distribution with a finite number (two) of non-zero cumulants.)</toggledisplay> <toggledisplay status=hide showtext="Origin >>" hidetext="Origin <<" linkstyle="font-size:default"> Данное утверждение является следствием теоремы, впервые доказанной Юзефом Марцинкевичем, польским математиком, погибшим во время Второй мировой войны: Marcinkiewicz, J. (1938). Sur une propriete de la loi de Gauss. Math. Zeitschr., 44, 612-618 (read online, download pdf: 397 Kb download page). Reprinted in J. Marcinkiewicz, Collected Papers. Panstwowe wydawnictwo Naukowe Warszawa, 1964. Abstract. </toggledisplay>


{{#ifgroup:sysop|

<toggledisplay status=hide showtext="Архив >>" hidetext="Архив <<" linkstyle="font-size:default">

Приложение к динамике цепочки

Рассмотрим одномерную дискретную среду, сотоящую из [math]N[/math] частиц. Обозначим [math]u_n[/math] — некоторую характеристику частицы, например ее перемещение. Введем среднее значение характеристики как

[math]\left\lt u_n\right\gt = \sum_{n=1}^Nu_n[/math]

и среднее значение степени [math]k[/math]

[math]\left\lt u_n^k\right\gt = \sum_{n=1}^Nu_n^k[/math].

Если интерпретировать [math]u_n[/math] как случайную величину, то при достаточно большом [math]N[/math] величину [math]\left\lt u_n^k\right\gt [/math] можно называть [math]k[/math]-м моментом случайной величины.

Ссылки

Терминология

  • Начальным и центральным моментом случайной величины [math]\displaystyle X[/math] называются, соответственно, величины
[math]\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right], \qquad \mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right][/math]
где [math]\mathbb{E}[/math]математическое ожидание случайной величины, [math]k[/math] — степень момента.

Словарь

</toggledisplay>

}}