Статистические характеристики дискретных сред

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Кафедра ТМ > Научный справочник > Механика > МДС > Статистические характеристики ДС


Deriving macroscopic phenomenological laws of irreversible thermodynamics from simple microscopic models is one of the tasks of non-equilibrium statistical mechanics. Lepri, Livi & Politi - Physics Reports, 2003, (arXiv).

Обозначения и терминология[править]

Обозначение Русское название English name
$ X $ Случайная величина Random variable
$ X(t) $ Случайный процесс Stochastic process
$ X_1, X_2, \dots, X_N $ Случайный вектор [1] Multivariate random variable (random vector)
$ F(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x ) $ Функция распределения Cumulative distribution function
$ f(x) = F'(x) $ Плотность распределения Probability density function (distribution density)
$ \left<X\right> = \int_{-\infty}^\infty x f(x)dx $ Математическое ожидание Expected value (mathematical expectation)
$ \varphi(s) = \left<e^{isX}\right> = \int_{-\infty}^\infty e^{isx} f(x)dx $ Характеристическая функция Characteristic function
$ M(s) = \left<e^{sX}\right> = \int_{-\infty}^\infty e^{sx} f(x)dx $ Производящая функция моментов Moment-generating function
$ \nu_n = \left<X^n\right> = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)dx = \left.\frac{d^n}{ds^n} M(s)\right|_{s=0} $ Начальный момент [2] Raw moment [3]
$ \mu_n = \left<(X-\nu_1)^n\right> = \int_{-\infty}^\infty (x-\nu_1)^n f(x)dx $ Центральный момент [4] Central moment [5]
$ \eta_n = \frac{\mu_n}{\sigma^n} = \lambda_{n/2} $ Нормированный момент Standardized moment
$ \kappa_n = \left.\frac{d^n}{ds^n}\ln M(s)\right|_{s=0} = (-i)^n\left.\frac{d^n}{ds^n}\ln \varphi(s)\right|_{s=0} $ Полуинвариант (кумулянт) Cumulant
$ \sigma^2 = \mu_2 = \kappa_2 $ Дисперсия Variance
$ \sigma = \sqrt{\mu_2} $ Среднеквадратическое отклонение Standard deviation
$ \gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}} $ Коэффициент асимметрии Skewness
$ \gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \lambda_2 - 3 $ Коэффициент эксцесса Kurtosis (excess kurtosis)
$ \eta_4 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} = \lambda_2 $ 4-й нормированный момент [6] Historical kurtosis [7]
$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\nu)^2}{2\sigma^2} } $ Плотность нормального распределения Normal distribution density

Полезные формулы[править]

  • Распределение случайной величины $ Y $, являющейся функцией случайной величины $ X $
$ F_y\bigl(y\bigr) = F_x\bigl(x(y)\bigr) ,\qquad f_y\bigl(y\bigr) = f_x\bigl(x(y)\bigr)\,x'(y). $
$ \lambda_n = \eta_{2n} = \frac{\mu_{2n}}{\sigma^{2n}} = (2n-1)!!\qquad ( $нечетные моменты равны нулю$ ) $.
$ \gamma_2\left(\sum_{n=1}^N X_n\right) = \frac{\sum_{n=1}^N\sigma^4(X_n)\,\gamma_2(X_n)}{\left(\sum_{n=1}^N\sigma^2(X_n)\right)^2} = \frac1{N^2}\sum_{n=1}^N\gamma_2(X_n) = \frac1{N}\gamma_2(X_n), $
где второе равенство выполняется для случайных величин с равной дисперсией, а третье равенство — для равнораспределенных случайных величин.

Научные разделы, связанные со статистическим описанием дискретных сред[править]

Разное[править]

Литература[править]

  • Hoover W.G. Computational Statistical Mechanics. Series "Studies in Modern Thermodynamics". Elsevier Science Publisher, Amsterdam, 1991, 324 pp. (Download pdf: 23 Mb, download page)
  • Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики (излагаемые со специальным применением к рациональному обоснованию термодинамики). М.-Л.: ОГИЗ, 1946. (Скачать djvu: 2.5 Mb, страница загрузки).
Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in Statistical Mechanics, developed with especial reference to the rational foundation of thermodynamics. New York: Charles Scribner's Sons. (Download djvu: 19 Mb, download page).
  • Борн М. «Непрерывность, детерминизм, реальность» в книге «Размышления и воспоминания физика». М.: Мир, 1977. стр.162-187. (Скачать djvu: 2.4 Mb, страница загрузки).
Born M. «Continuity, determinism and reality», Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, Matematisk-fysiske Meddelelser, Bind 30, Nr.2, (1955) 1-26.
— Впервые рассмотрена (согласно [9]) классическая статистическая механика одной частицы (1955 г.)
  • Лукач Е. Характеристические функции. Пер. с анг. 1979. М.: Наука. 424 с. Оглавление
Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Download djvu: 3.9 Mb, download page).
— A negative result (Theorem 7.3.5): The cumulant generating function cannot be a finite-order polynomial of degree greater than 2. <toggledisplay status=hide showtext="Clarification >>" hidetext="Clarification <<" linkstyle="font-size:default"> (Given the results for the cumulants of the normal distribution, it might be hoped to find families of distributions for which κm = κm+1 = ... = 0 for some m > 3, with the lower-order cumulants (orders 3 to m − 1) being non-zero. From the theorem it follows that there are no such distributions. In other words: the normal distribution is the only distribution with a finite number (two) of non-zero cumulants.)</toggledisplay> <toggledisplay status=hide showtext="Origin >>" hidetext="Origin <<" linkstyle="font-size:default"> Данное утверждение является следствием теоремы, впервые доказанной Юзефом Марцинкевичем, польским математиком, погибшим во время Второй мировой войны: Marcinkiewicz, J. (1938). Sur une propriete de la loi de Gauss. Math. Zeitschr., 44, 612-618 (read online, download pdf: 397 Kb download page). Reprinted in J. Marcinkiewicz, Collected Papers. Panstwowe wydawnictwo Naukowe Warszawa, 1964. Abstract. </toggledisplay>
  • Sergey S. Stepanov. Stochastic World. (Series: Mathematical Engineering). Springer, 2013, 339 p. Springerlink
Стохастический мир — русская версия в вики-формате.
— Простое введение в стохастические дифференциальные уравнения.

См. также[править]

Приложение к динамике цепочки[править]

Рассмотрим одномерную дискретную среду, сотоящую из $ N $ частиц. Обозначим $ u_n $ — некоторую характеристику частицы, например ее перемещение. Введем среднее значение характеристики как

$ \left<u_n\right> = \sum_{n=1}^Nu_n $

и среднее значение степени $ k $

$ \left<u_n^k\right> = \sum_{n=1}^Nu_n^k $.

Если интерпретировать $ u_n $ как случайную величину, то при достаточно большом $ N $ величину $ \left<u_n^k\right> $ можно называть $ k $-м моментом случайной величины.

Ссылки[править]

Терминология[править]

  • Начальным и центральным моментом случайной величины $ \displaystyle X $ называются, соответственно, величины
$ \nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right], \qquad \mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right] $
где $ \mathbb{E} $математическое ожидание случайной величины, $ k $ — степень момента.

Словарь[править]

</toggledisplay>

}}