Редактирование: Сравнение методов интегрирования уравнений динамики цепочки

=Постановка задачи=
Рассматривается цепочка элементов, состоящая из одинаковых масс m. Термин одномерная цепочка означает в дальнейшем совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц P0, P1, ... Pn, ..., PN–1. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки, а также параллельных направлению цепочки внешних сил. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения un относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n).

=Решение=
Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.

Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели.
Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде:

В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.

=Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта=
Метод Эйлера - простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Наиболее часто используется и реализован в различных математических пакетах классический метод Рунге — Кутты, имеющий четвёртый порядок точности. При выполнении расчётов с повышенной точностью всё чаще применяются методы пятого и шестого порядков точности. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями.

Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы.

=Численное решение=

[[File:123456ддд.png|center]]
Численное решение для 100 частиц методом Верле

[[File:Эйлерр.png|center]]

Численное решение для 100 частиц методом Эйлера

[[File:Рунге.jpg|center]]

Численное решение для 100 частиц методом Рунге-Кутта 4 порядка
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Сравнение методов интегрирования уравнений динамики цепочки''' <HR>
-'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
-'''Исполнитель:''' [[Иванова Яна]]
-'''Группа:''' 43604/1
-'''Семестр:''' осень 2018
 =Постановка задачи=
-Рассматривается одномерная цепочка элементов, состоящая из частиц с одинаковыми массами m. Термин "одномерная цепочка" означает совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц.. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n). Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево. Каждый  атом  смещается  только  вдоль  цепочки,  что  следует  из  требования
+Рассматривается цепочка элементов, состоящая из одинаковых масс m. Термин одномерная цепочка означает в дальнейшем совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц P0, P1, ... Pn, ..., PN–1. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки, а также параллельных направлению цепочки внешних сил. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения un относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n).
-одномерности модели. Такие смещения характерны для продольной волны.
 =Решение=
+Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
 Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели.
-Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов.
+Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде:
-Уравнение движения имеет вид:
-::<math>
-{m}\ddot{\bf U}_{i} = {С}({\bf U}_{i-1}-2{\bf U}_{i} + {\bf U}_{i+1}),
-</math>
-где С - жёсткость одной пружинки, m - масса одной частицы, <math> {\bf U}_{i} </math> - перемещение частицы, a - расстояние между двумя соседними частицами в начальный момент времени.
-Период одного колебания:<math> {T}_{o} = 2{\pi}\sqrt\frac {m}{C} </math>
+В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.
-В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости рандомным образом. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Полная энергия системы складывается из потенциальной энергии взаимодействия частиц и их кинетической энергии в каждый момент времени. В циклах для потенциальной и кинетической энергий рассчитываются эти значения. Далее производится нормировка, энергии складываются и строится график зависимости.
 =Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта=
@@ Строка 33: / Строка 17: @@
 Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы.
+=Численное решение=
-=Численное решение=
-Построим графики зависимости безразмерной энергии от безразмерного времени для 100000 частиц с шагом по времени dt = 0.01 и 5000 шагов интегрирования. По оси абсцисс откладывается время, отнесенное к периоду, по оси ординат - энергия, отнесенное к начальной энергии системы.
 [[File:123456ддд.png|center]]
-Численное решение методом Верле
+Численное решение для 100 частиц методом Верле
 [[File:Эйлерр.png|center]]
-Численное решение методом Эйлера
+Численное решение для 100 частиц методом Эйлера
-[[File:РунгК.jpg|center]]
-Численное решение методом Рунге-Кутта 4 порядка
+[[File:Рунге.jpg|center]]
-=Результаты=
+Численное решение для 100 частиц методом Рунге-Кутта 4 порядка
-Метод Верле является симплектическим, то есть сохраняющим энергию с течением времени. Это можно проследить из графика, безразмерная энергия колеблется в пределах единицы. Методы Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка энергию не сохраняют, что заметно из возрастания графиков.