Редактирование: Сравнение методов интегрирования уравнений динамики цепочки
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=Постановка задачи= | =Постановка задачи= | ||
− | Рассматривается | + | Рассматривается цепочка элементов, состоящая из одинаковых масс m. Термин одномерная цепочка означает в дальнейшем совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц P0, P1, ... Pn, ..., PN–1. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки, а также параллельных направлению цепочки внешних сил. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения un относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n). |
− | |||
=Решение= | =Решение= | ||
+ | Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево. | ||
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | ||
− | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. | + | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде: |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения. | |
− | В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости | ||
=Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта= | =Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта= | ||
Строка 32: | Строка 16: | ||
Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы. | Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы. | ||
− | |||
=Численное решение= | =Численное решение= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | [[File: | + | [[File:верл.jpg|center]] |
+ | Численное решение для 100 частиц методом Верле | ||
− | Численное решение методом | + | [[File:эйл.jpg|center]] |
+ | Численное решение для 100 частиц методом Эйлера | ||
− | + | [[File:Рк.jpg|center]] | |
− | + | Численное решение для 100 частиц методом Рунге-Кутта 4 порядка | |
+ | [[File:uD5csQmC_F4.jpg|center]] | ||
+ | [[File:UD5csQmC F4|thumb]] |