| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 29: |
Строка 29: |
| | | | |
| | *Исследование логарифмической особенности функции Грина | | *Исследование логарифмической особенности функции Грина |
| − |
| |
| − | ==Постановка задачи==
| |
| − | Рассмотрим систему, состоящую из <math>n</math> слоев с плоскими параллельными границами. Каждый слой может иметь поры и трещины. Пронумеруем слои снизу вверх от <math>1</math> до <math>n</math>, а их границы от <math>0</math> до <math>n</math>. Оси <math>x_2</math> и <math>x_3</math> декартовой системы координат направим вдоль границ слоев в горизонтальной плоскости, а ось <math>x_1</math> -- перпендикулярно вверх по направлению нормали к границам слоев. Величины, относящиеся к <math>i</math>-ому слою или контакту будем обозначать индексом <math>i</math>. Индексом 't' ('b') будем обозначать значения на верхней (нижней) границе слоя. Тогда для смещений, испытывающих разрыв на <math>i</math>-ой границе, <math>\Delta u^i = u^i_{t} - u^{i+1}_{b}</math>.
| |
| − | Для системы слоев справедливо уравнение:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | L^i u = 0 ~~~(i = 1,. . .,n)
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | где <math>L^i</math> - линейный дифференциальный оператор для <math>i</math>-ого слоя. В качестве <math>L</math> может использоваться, например, оператор Ляме или оператор Лапласа.
| |
| − | Условие равновесия на границах имеет вид:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | q^i_t = q^{i+1}_b = q^i ~~~(i = 1,. . .,n - 1)
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | где <math>q^i</math> -- усилие на <math>i</math>-ой границе в направлении оси <math>x_1</math>.
| |
| − | Если на границах некоторых пор или трещин заданы усилия <math>q^0</math>, то:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | q = q^{0}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Контактное взаимодействие на <math>i</math>-ой границе определяется соотношением:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | -\Delta u^i = A_c^i q^i
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | где <math>A_c^i</math> - заданная матрица контактного взаимодействия на границе между <math>i</math> и <math>i+1</math> слоем. В случае идеального контакта на <math>i</math>-ой границе <math>A_c^i = 0</math> и <math>\Delta u^i = 0</math>.
| |
| − | На границах пор и трещин задаются неоднородные граничные условия:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | -\Delta u = B_c q + \Delta u^0
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | где <math>B_c</math> и <math>\Delta u^0</math> - заданная симметричная матрица и заданный вектор разрыва смещений на границе пор(трещин) и среды.
| |
| − |
| |
| − | Главная задача состоит в нахождении напряжений и смещений в слоистой структуре с неоднородностями.
| |
| − | ==Метод решения==
| |
| − | Метод решения поставленной задачи основан на геометрической особенности системы слоев с плоскими параллельными границами: слои являются системой типа цепочки. Таким образом, исходная задача сводится к решению методом прогонки системы разностных уравнений.
| |
| − |
| |
| − | Исходную задачу легко свести к уравнениям, заданным только на поверхностях пор и трещин, если известна функция Грина <math>U(x,y)</math> для слоистой структуры без неоднородностей, удовлетворяющая уравнению:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | L^i U(x,y) = -\delta (x-y) I ~~~(i = 1,. . .,n)
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | где <math>I</math> -- единичная матрица; <math>\delta (x)</math> -- дельта-функция Дирака. <math>l</math>-ый столбец функции Грина есть вектор смещений, полученный в результате действия точечного источника, приложенного в точке <math>y</math> в направлении <math>l</math>.
| |
| − | Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо найти функцию Грина для слоистой среды без неоднородностей.
| |
| − |
| |
| − | ==Пример: круговое отверстие в слоистой структуре для оператора Лапласа==
| |
| − | Рассмотрим слоистую структуру с параметрами:
| |
| − | * Полувысота слоев: <math>h_1 = h_3 = 2h_2</math>
| |
| − | * Проводимость слоев: <math>\kappa_1 = 25 \kappa_2,~\kappa_3 = 2 \kappa_2</math>
| |
| − | * Полудлина каждого слоя <math>A = 20h_2</math>
| |
| − | * Радиус кругового отверстия <math>R = 0.5 h_2</math>
| |
| − | * Количество узлов на контуре отверстия <math>N_s</math> = 90
| |
| − | * Количество узлов на границе между слоями <math>N</math> = 1024
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:3lay 05R solution.png|1600px|thumb|center|Потенциал от кругового отверстия]]
| |
| − |
| |
| − | ==Заключение==
| |
| − | Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:
| |
| − |
| |
| − | * Разработан максимально эффективный алгоритм решения задач для слоистых структур. Эффективность алгоритма достигается применением метода прогонки и быстрого преобразования Фурье.
| |
| − | * Для плоских слоистых структур исследована логарифмическая особенность функции Грина. Показано, что наличие логарифма добавляет к функции Грина константу, значение которой может быть получено численно.
| |
| − | * Показано, что использование дискретного преобразования Фурье добавляет к функции Грина константу, значение которой может быть получено аналитически.
| |
| − | * Для определения точности нахождения функции Грина представлены 3 тестовые задачи. На их примере показано, что точность нахождения функции Грина не зависит от числа слоев в рассматриваемой структуре, а зависит от изменяемых параметров. Это позволяет контролировать точность результатов.
| |
| − | * Применение функции Грина для решения краевой задачи показало сильное влияние границ слоев на конечный результат при увеличении размера кругового отверстия
| |
| | | | |
| | ==Список использованной литературы== | | ==Список использованной литературы== |
