Решение задач механики сплошной среды для слоистых структур

МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: Марков Николай
Научный руководитель: А.М. Линьков

Введение

Исследование слоистых структур имеет важное значение для задач теории упругости, механики материалов, теории поля и механики грунтов. Например, учет слоистости горной породы может увеличить точность получаемых результатов при численном моделировании распространения трещины гидроразрыва (ГРП).

Существует два основных подхода к решению задач для слоистых структур. Оба подхода используют геометрическую особенность слоистой структуры: слои представляют собой систему типа цепочки. Первый подход основан на использовании метода матричного переноса и его модификаций. Суть данного метода заключается в переносе значений усилий и смещений (или их линейной комбинации), заданных на границе между слоями, на соседнюю границу. Основной недостаток данного подхода состоит в физической некорректности одновременного переноса значений смещений и усилий, что ведет к низкой обусловленности квадратных матриц, используемых для связи значений на соседних границах. С увеличением числа слоев в рассматриваемой структуре это приводит к неустойчивости решения и увеличению ошибки.

В своих работах Р.М.Раппапорт впервые сводит решение задачи для слоистой структуры к решению трехточечных разностных уравнений. Такой подход позволяет использовать детально изученную теорию разностных уравнений и эффективные численные методы их решения. Для получения связи усилий и смещений на границах слоев в работах Р.М.Раппапорт используется Фурье преобразование.

Подробное сравнение основных методов решения задач для слоистых структур представлено в работе А.М.Линькова и Н.А.Филиппова в которой показано, что наиболее эффективный метод решения состоит в сведении исходной задачи к решению трехточечных разностных уравнений. В качестве численного метода решения предлагается использовать устойчивый и эффективный метод прогонки. В отличие от метода матричного переноса, метод прогонки не теряет устойчивость при увеличении числа слоев.

Особый интерес представляет исследование слоистой среды, содержащей неоднородности. Решение такой задачи можно получить с использованием метода граничных элементов (МГЭ), или метода конечных элементов (МКЭ). Использование МКЭ приводит к ряду сложностей, таких как высокий порядок конечной алгебраической системы, учет точек сингулярностей и разрывов. Применение МКЭ приводит также к трудностям при рассмотрении очень тонких слоев, так как необходимое сгущение сетки приводит к заметному увеличению порядка конечной алгебраической системы.

Наиболее оптимальным методом решения линейных задач для слоистых структур с неоднородностями является метод граничных элементов, включающий в себя нахождение функции Грина для слоистой структуры без неоднородностей. Такой подход позволяет свести решение исходной задачи к решению интегральных уравнений с синугулярными и гиперсингулярными ядрами, заданных только на границах неоднородностей. В результате, порядок конечной алгебраической системы равен суммарному числу узлов на границах неоднородностей.

Цель данной работы состоит в эффективной численной реализации алгоритма решения задач для слоистых структур с неоднородностями, и исследовании его ключевых особенностей. Эффективность численного алгоритма достигается благодаря двум важнейшим факторам:

• Геометрическая особенность слоистой структуры позволяет применять эффективный метод прогонки для нахождения решения. Использование метода прогонки приводит к существенному уменьшению количества операций, необходимых для получения решения([math]O(n)[/math] вместо [math]O(n^3)[/math] для метода Гаусса.)

• Рассматриваемые уравнения линейные, а границы слоев плоские и параллельные. Эти два условия позволяют применять преобразование Фурье. В численной реализации использование быстрого преобразования Фурье приводит к уменьшению количества операций и времени расчета (вместо [math]O(n^2)[/math] проводится только [math]O(n\ln (n))[/math] операций).

Большой практический интерес также представляют:

• Точность численного нахождения функции Грина слоистой среды

• Особенности использования дискретного преобразования Фурье

• Исследование логарифмической особенности функции Грина

Постановка задачи

Рассмотрим систему, состоящую из [math]n[/math] слоев с плоскими параллельными границами. Каждый слой может иметь поры и трещины. Пронумеруем слои снизу вверх от [math]1[/math] до [math]n[/math], а их границы от [math]0[/math] до [math]n[/math]. Оси [math]x_2[/math] и [math]x_3[/math] декартовой системы координат направим вдоль границ слоев в горизонтальной плоскости, а ось [math]x_1[/math] -- перпендикулярно вверх по направлению нормали к границам слоев. Величины, относящиеся к [math]i[/math]-ому слою или контакту будем обозначать индексом [math]i[/math]. Индексом 't' ('b') будем обозначать значения на верхней (нижней) границе слоя. Тогда для смещений, испытывающих разрыв на [math]i[/math]-ой границе, [math]\Delta u^i = u^i_{t} - u^{i+1}_{b}[/math]. Для системы слоев справедливо уравнение:

[math] L^i u = 0 ~~~(i = 1,. . .,n) [/math]

где [math]L^i[/math] - линейный дифференциальный оператор для [math]i[/math]-ого слоя. В качестве [math]L[/math] может использоваться, например, оператор Ляме или оператор Лапласа. Условие равновесия на границах имеет вид:

[math] q^i_t = q^{i+1}_b = q^i ~~~(i = 1,. . .,n - 1) [/math]

где [math]q^i[/math] -- усилие на [math]i[/math]-ой границе в направлении оси [math]x_1[/math]. Если на границах некоторых пор или трещин заданы усилия [math]q^0[/math], то:

[math] q = q^{0} [/math]

Контактное взаимодействие на [math]i[/math]-ой границе определяется соотношением:

[math] -\Delta u^i = A_c^i q^i [/math]

где [math]A_c^i[/math] - заданная матрица контактного взаимодействия на границе между [math]i[/math] и [math]i+1[/math] слоем. В случае идеального контакта на [math]i[/math]-ой границе [math]A_c^i = 0[/math] и [math]\Delta u^i = 0[/math]. На границах пор и трещин задаются неоднородные граничные условия:

[math] -\Delta u = B_c q + \Delta u^0 [/math]

где [math]B_c[/math] и [math]\Delta u^0[/math] - заданная симметричная матрица и заданный вектор разрыва смещений на границе пор(трещин) и среды.

Главная задача состоит в нахождении напряжений и смещений в слоистой структуре с неоднородностями.

Метод решения

Метод решения поставленной задачи основан на геометрической особенности системы слоев с плоскими параллельными границами: слои являются системой типа цепочки. Таким образом, исходная задача сводится к решению методом прогонки системы разностных уравнений.

Исходную задачу легко свести к уравнениям, заданным только на поверхностях пор и трещин, если известна функция Грина [math]U(x,y)[/math] для слоистой структуры без неоднородностей, удовлетворяющая уравнению:

[math] L^i U(x,y) = -\delta (x-y) I ~~~(i = 1,. . .,n) [/math]

где [math]I[/math] -- единичная матрица; [math]\delta (x)[/math] -- дельта-функция Дирака. [math]l[/math]-ый столбец функции Грина есть вектор смещений, полученный в результате действия точечного источника, приложенного в точке [math]y[/math] в направлении [math]l[/math]. Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо найти функцию Грина для слоистой среды без неоднородностей.

Пример: круговое отверстие в слоистой структуре для оператора Лапласа

Рассмотрим слоистую структуру с параметрами:

• Полувысота слоев: [math]h_1 = h_3 = 2h_2[/math]
• Проводимость слоев: [math]\kappa_1 = 25 \kappa_2,~\kappa_3 = 2 \kappa_2[/math]
• Полудлина каждого слоя [math]A = 20h_2[/math]
• Радиус кругового отверстия [math]R = 0.5 h_2[/math]
• Количество узлов на контуре отверстия [math]N_s[/math] = 90
• Количество узлов на границе между слоями [math]N[/math] = 1024

Потенциал от кругового отверстия

Заключение

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

• Разработан максимально эффективный алгоритм решения задач для слоистых структур. Эффективность алгоритма достигается применением метода прогонки и быстрого преобразования Фурье.
• Для плоских слоистых структур исследована логарифмическая особенность функции Грина. Показано, что наличие логарифма добавляет к функции Грина константу, значение которой может быть получено численно.
• Показано, что использование дискретного преобразования Фурье добавляет к функции Грина константу, значение которой может быть получено аналитически.
• Для определения точности нахождения функции Грина представлены 3 тестовые задачи. На их примере показано, что точность нахождения функции Грина не зависит от числа слоев в рассматриваемой структуре, а зависит от изменяемых параметров. Это позволяет контролировать точность результатов.
• Применение функции Грина для решения краевой задачи показало сильное влияние границ слоев на конечный результат при увеличении размера кругового отверстия

Список использованной литературы

• Aleynikov S.M., Spatial Contact Problems in Geotechnics , Foundations of Engineering Mechanics, 2011.

• Brebbia C.A., Boundary Element Techniques in Computer-Aided Engineering, 1984

• Brebbia C.A., Tells J.C.F., Wrobel L.C., Boundary Element Techniques, Springer, 1984

• Crouch S.L., Starfield A.M., Boundary Element Method in Solid Mechanics, 1983

• Dobroskok A.A., Linkov A.M., Complex variable equations and the numerica solution of harmonic problems for piecewise-homogeneous media, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 73 (2009) 313-325

• Filippov N.A., Linkov A.M., Milova L.A., Zoubkov V.V., A Method to Calculate Stresses and Deformations in 3D Layered Strata, Advances in Rock Mechanics, 1998

• Linkov A.M., Filippov N.A., Difference Equations Approach to the Analysis of Layered Systems, Meccanica, 26:195-209

• Linkov A.M., Linkova A.A., Savitski A.A., An Effective Method for Multi-Layered Media with Cracks and Cavities, International Journal of Damage Mechanics, 1994.

• Linkov A.M. Boundary Integral Equations in Elasticity Theory, SOLID MECHANICS AND ITS APPLICATIONS, Vol.99, 2002

• Maier G., Novati G., On boundary element-transfer matrix analysis of layered elastic systems, 7th Intrnat. Conf. on Boundary Elements in Engineering, Como (Italy), pp. 1-28, 1985.

• Novati G., On the analysis of elastic layers by a Fourier series, Green's function approach, Atti Accad. Naz. Lincei, 293-304, 1987.

• Ruppoport R.M., To the question of finding the solution of axisymmetric and plane elasticity problems for multilayered media, Proc. Hydrotechnical Institute, Leningrad, 1963.

• Ruppoport R.M., To the question of finding the solution for displacements of three-dimensional elasticity problem for multilayered half-space, Proc. Hydrotechnical Institute, Leningrad, 1966.

• Вигдерович И.Е., Ламзюк В.Д., Приварников А.К., Об использовании метода функций податливости при решении граничных задач для многослойных оснований, 1979.

• Годунов С.К., Рябенький В.С., Разностные схемы: введение в теорию, Наука, 1977

• Никишин В.С., Шапиро Г.С., Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред, 1970.

• Оболашвили Е.И., Преобразование Фурье и его применения в теории упругости , Тбилиси, Мецниереба, 1979.

• Самарский А.А., Гулин А.В., Численные методы, Наука, Москва, 1989.

• Самарский А.А., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений, Наука, Москва, 1978.

• Шевляков Ю.А., Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред, 1977.