Решение двумерного уравнения теплопроводности. Светличная Екатерина. 6 курс — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «==Цель== Реализовать численное решение одномерно уравнения теплопроводности. ==Постановк…»)
 
Строка 1: Строка 1:
 
==Цель==
 
==Цель==
−
Реализовать численное решение одномерно уравнения теплопроводности.
+
Реализовать численное решение двумерного уравнения теплопроводности.
 
==Постановка задачи==
 
==Постановка задачи==
−
Решается однородное уравнение теплопроводности на промежутке <math>\left[0\ldots L\right]</math>
+
Решается двумерное уравнение теплопроводности  
−
:<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} - a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2} = 0</math>
+
 
 +
<br>
 +
<math>\frac{\partial U}{\partial t} - a^2(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}) = 0</math><br>
 +
 
 
С граничными условиями  
 
С граничными условиями  
 
:<math> \begin{cases}
 
:<math> \begin{cases}
−
   T(0,t) = T_0 \\
+
   T(G,t) = 70\\
−
  T(L,t) = T_1
+
 
 
  \end{cases}</math>
 
  \end{cases}</math>
 
И начальным распределением температуры
 
И начальным распределением температуры
−
:<math>T(x,t) = T_s</math>
+
:<math>T(x,y,t) = 10 </math>
  
 
==Конечно-разностная схема==
 
==Конечно-разностная схема==
  
−
Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка.
+
Задача содержит производную по времени первого порядка и производные по пространственным координатам второго порядка.
−
Запишем исходное уравнение в виде
+
Запишем конечно-разностные аналоги слагаемых, входящих в уравнение
−
:<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math>
+
[[:File:formula11.png]]
−
 
 
−
Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math>
 
−
Построим явную конечно-разностную схему:
 
−
:<math>\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)</math>
 
−
Где, <math>T_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле.
 
  
 
==Компьютерная реализация==
 
==Компьютерная реализация==
−
Компьютерную реализацию программы можно найти в [[File:SAD_HeatConductivity.7z|архиве]]
+
Компьютерную реализацию программы можно найти в [[File:prill11.rar|архиве]]
  
 
==Результаты==
 
==Результаты==
Строка 32: Строка 30:
 
|-
 
|-
 
|1  
 
|1  
−
|184.2
+
|5.77525
 
|-
 
|-
−
|2
+
|4
−
|91.6
+
|1.97889
 
|-
 
|-
−
|5
+
|9
−
|39.4
+
|91.8818
 
|-
 
|-
−
|10
+
 
−
|19.2
 
−
|-
 
−
|20
 
−
|9.9
 
−
|-
 
−
|30
 
−
|8.1
 
−
|-
 
−
|40
 
−
|7.5
 
 
|}
 
|}
  
 
==Выводы==
 
==Выводы==
−
* Для малого числа узлов в сетке использовать многопроцессорные вычисления не выгодно: время работы программы увеличивается.
+
* При использовании более 4 процессов скорость расчета увеличивается из-за особенностей ПК.
−
* При увеличении числа процессоров относительный выигрыш во времени уменьшается.
+
* При увеличении числа процессоров скорость расчета уменьшается.

Версия 13:42, 19 января 2017

Цель

Реализовать численное решение двумерного уравнения теплопроводности.

Постановка задачи

Решается двумерное уравнение теплопроводности


[math]\frac{\partial U}{\partial t} - a^2(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}) = 0[/math]

С граничными условиями

[math] \begin{cases} T(G,t) = 70\\ \end{cases}[/math]

И начальным распределением температуры

[math]T(x,y,t) = 10 [/math]

Конечно-разностная схема

Задача содержит производную по времени первого порядка и производные по пространственным координатам второго порядка. Запишем конечно-разностные аналоги слагаемых, входящих в уравнение File:formula11.png

Компьютерная реализация

Компьютерную реализацию программы можно найти в Файл:Prill11.rar

Результаты

Количество процессов Время рассчета (сек)
1 5.77525
4 1.97889
9 91.8818

Выводы

  • При использовании более 4 процессов скорость расчета увеличивается из-за особенностей ПК.
  • При увеличении числа процессоров скорость расчета уменьшается.
Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Решение_двумерного_уравнения_теплопроводности._Светличная_Екатерина._6_курс&oldid=46013»