Задача №48.36 из сборника задач Мещерского. Требуется смоделировать систему, состоящую из тележки и прикреплённого к ней стержня с грузом с помощью языка программирования JavaScript.
Формулировка задачи
При наезде тележки {A} на упругий упор [math]{B}[/math] начинаются колебания подвешенного на стержне груза [math]{D}[/math]. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если [math]{m_1}[/math] - масса тележки, [math]{m_2}[/math] - масса груза, [math]{l}[/math] длина стержня, [math]{c}[/math] - коэффициент жёсткости пружины упора [math]{B}[/math]. Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси [math]{x}[/math] взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора [math]{B}[/math]. Массой стержня пренебречь.
Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель [math]\dot\varphi^2[/math], считать [math]c=0[/math], [math]\sin\varphi\approx\varphi[/math], [math]\cos\varphi\approx1[/math].
Решение задачи
Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода
[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{partial E_k}{partial q_i} = Q_i\lt math/\gt , где
\lt math\gt {E_k}\lt math/\gt - кинетическая энергия системы,
\lt math\gt {q_i}\lt math/\gt - обобщённые координаты,
\lt math\gt {Q_i}\lt math/\gt - обобщённые силы.
Начнём с определения кинетической энергии:
:
\lt math\gt {E_k} = {E_\text{kA}} + {E_\text{kD}}\lt math/\gt (здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно).
:
\lt math\gt {E_\text{kA}} = \frac{m_1v^2}{2} = \frac{m_1\dot x^2}{2} \left(1\right)[/math]
[math]{E_\text{kD}} = \frac{m_2\dot x^2}{2} + \frac{m_2l^2\dot\varphi^2}{2} + m_2l\dot x\dot\varphi\cos\varphi \left(2\right)[/math]
[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot x}\right) = {d}{dt}\left(\left(m_1 + m_2\right)\dot x + m_2l\dot\varphi\cos\varphi\right) = \left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi\sin\varphi \left(3\right)[/math]
