Мещерский 48.36

Задача №48.36 из сборника задач Мещерского. Требуется смоделировать систему, состоящую из тележки и прикреплённого к ней стержня с грузом с помощью языка программирования JavaScript.

Формулировка задачи

При наезде тележки [math]{A}[/math] на упругий упор [math]{B}[/math] начинаются колебания подвешенного на стержне груза [math]{D}[/math]. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если [math]{m_1}[/math] - масса тележки, [math]{m_2}[/math] - масса груза, [math]{l}[/math] длина стержня, [math]{c}[/math] - коэффициент жёсткости пружины упора [math]{B}[/math]. Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси [math]{x}[/math] взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора [math]{B}[/math]. Массой стержня пренебречь. Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель [math]\dot\varphi^2[/math], считать [math]c=0[/math], [math]\sin\varphi\approx\varphi[/math], [math]\cos\varphi\approx1[/math].

Решение задачи

Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial E_k}{\partial q_i} = Q_i[/math], где

[math]{E_k}[/math] - кинетическая энергия системы,

[math]{q_i}[/math] - обобщённые координаты,

[math]{Q_i}[/math] - обобщённые силы.

Начнём с определения кинетической энергии:

[math]{E_\text{k}} = {E_\text{kA}} + {E_\text{kD}}[/math] (здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно).

[math]{E_\text{kA}} = \frac{m_1v^2}{2} = \frac{m_1\dot x^2}{2} \left(1\right)[/math]

[math]{E_\text{kD}} = \frac{m_2\dot x^2}{2} + \frac{m_2l^2\dot\varphi^2}{2} + m_2l\dot x\dot\varphi\cos\varphi \left(2\right)[/math]

Из (1) и (2) имеем:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot x}\right) = \frac{d}{dt}\left(\left(m_1 + m_2\right)\dot x + m_2l\dot\varphi\cos\varphi\right) = \left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi \left(3\right)[/math]

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot\varphi}\right) = m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(4\right)[/math]

[math]\frac{\partial E_k}{\partial\varphi} = - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(5\right)[/math]

2. Найдём потенциальную энергию системы:

[math]{E_\text{p}} = {E_\text{pA}} + {E_\text{pD}}[/math]

[math]{E_\text{pA}} = \frac{cx^2}{2}[/math]

[math]{E_\text{pD}} = m_2gl\left(1 - \cos\varphi\right)[/math]

Из последних трёх равенств получим

[math] - \frac{\partial E_p}{\partial x} = - cx \left(6\right)[/math]

[math] - \frac{\partial E_p}{\partial\varphi} = - m_2gl\sin\varphi \left(7\right)[/math]

3. Имея в виду, что

[math] - \frac{\partial E_p}{\partial q_i} = Q_i[/math] и

[math]\frac{\partial E_k}{\partial x} = 0[/math],

подставим равенства (3) - (7) в уравнения Лагранжа 2-го рода:

[math]\left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi = - cx (8)[/math]

[math]m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi = - m_2gl\sin\varphi \left(9\right)[/math]

(8), (9) и есть искомые уравнения движения.

4. Теперь найдём период колебаний груза T. В условиях малых колебаний дифференциальные уравнения движения примут следующий вид:

[math](m_1 + m_2)\ddot x + m_2l\ddot\varphi = 0[/math]

[math]\ddot x + l\ddot\varphi = - g\varphi[/math]

Путём несложных алгебраических образований отсюда можно получить такое дифференциальное уравнение:

[math]\ddot\varphi - \frac{g\left(m_1 + m_2\right)}{lm_1}\varphi = 0 \left(10\right)[/math]

(10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно,

[math]T = 2\pi\sqrt{\frac{lm_1}{g(m_1 + m_2)}}[/math]