Мещерский 48.36 — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Решение задачи)
(→‎Формулировка задачи)
 
(не показано 17 промежуточных версий 3 участников)
Строка 2: Строка 2:
  
 
==Формулировка задачи==
 
==Формулировка задачи==
−
При наезде тележки {A} на упругий упор <math>{B}</math> начинаются колебания подвешенного на стержне груза <math>{D}</math>. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если <math>{m_1}</math> - масса тележки, <math>{m_2}</math> - масса груза, <math>{l}</math> длина стержня, <math>{c}</math> - коэффициент жёсткости пружины упора <math>{B}</math>. Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси <math>{x}</math> взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора <math>{B}</math>. Массой стержня пренебречь.
+
При наезде тележки <math>{A}</math> на упругий упор <math>{B}</math> начинаются колебания подвешенного на стержне груза <math>{D}</math>. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если <math>{m_1}</math> - масса тележки, <math>{m_2}</math> - масса груза, <math>{l}</math> длина стержня, <math>{c}</math> - коэффициент жёсткости пружины упора <math>{B}</math>. Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси <math>{x}</math> взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора <math>{B}</math>. Массой стержня пренебречь.
 
Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель <math>\dot\varphi^2</math>, считать <math>c=0</math>, <math>\sin\varphi\approx\varphi</math>, <math>\cos\varphi\approx1</math>.
 
Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель <math>\dot\varphi^2</math>, считать <math>c=0</math>, <math>\sin\varphi\approx\varphi</math>, <math>\cos\varphi\approx1</math>.
  
Строка 8: Строка 8:
 
Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода
 
Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода
 
:
 
:
−
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{partial E_k}{partial q_i} = Q_i<math/>, где
+
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial E_k}{\partial q_i} = Q_i</math>, где
−
<math>{E_k}<math/> - кинетическая энергия системы,
+
:
−
<math>{q_i}<math/> - обобщённые координаты,
+
<math>{E_k}</math> - кинетическая энергия системы,
−
<math>{Q_i}<math/> - обобщённые силы.
+
:
 +
<math>{q_i}</math> - обобщённые координаты,
 +
:
 +
<math>{Q_i}</math> - обобщённые силы.
  
 
Начнём с определения кинетической энергии:
 
Начнём с определения кинетической энергии:
 
:
 
:
−
<math>{E_k} = {E_\text{kA}} + {E_\text{kD}}<math/> (здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно).
+
<math>{E_\text{k}} = {E_\text{kA}} + {E_\text{kD}}</math> (здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно).
 
:
 
:
 
<math>{E_\text{kA}} = \frac{m_1v^2}{2} = \frac{m_1\dot x^2}{2} \left(1\right)</math>
 
<math>{E_\text{kA}} = \frac{m_1v^2}{2} = \frac{m_1\dot x^2}{2} \left(1\right)</math>
 
:
 
:
 
<math>{E_\text{kD}} = \frac{m_2\dot x^2}{2} + \frac{m_2l^2\dot\varphi^2}{2} + m_2l\dot x\dot\varphi\cos\varphi \left(2\right)</math>
 
<math>{E_\text{kD}} = \frac{m_2\dot x^2}{2} + \frac{m_2l^2\dot\varphi^2}{2} + m_2l\dot x\dot\varphi\cos\varphi \left(2\right)</math>
 +
 +
Из (1) и (2) имеем:
 +
:
 +
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot x}\right) = \frac{d}{dt}\left(\left(m_1 + m_2\right)\dot x + m_2l\dot\varphi\cos\varphi\right) = \left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi \left(3\right)</math>
 +
:
 +
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot\varphi}\right) = m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(4\right)</math>
 +
:
 +
<math>\frac{\partial E_k}{\partial\varphi} = - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(5\right)</math>
 +
 +
 +
2. Найдём потенциальную энергию системы:
 +
:
 +
<math>{E_\text{p}} = {E_\text{pA}} + {E_\text{pD}}</math>
 +
:
 +
<math>{E_\text{pA}} = \frac{cx^2}{2}</math>
 +
:
 +
<math>{E_\text{pD}} = m_2gl\left(1 - \cos\varphi\right)</math>
 +
 +
Из последних трёх равенств получим
 +
:
 +
<math> - \frac{\partial E_p}{\partial x} = - cx  \left(6\right)</math>
 +
:
 +
<math> - \frac{\partial E_p}{\partial\varphi} = - m_2gl\sin\varphi \left(7\right)</math>
 +
 +
3. Имея в виду, что
 +
:
 +
<math> - \frac{\partial E_p}{\partial q_i} = Q_i</math>
 +
и
 +
:
 +
<math>\frac{\partial E_k}{\partial x} = 0</math>,
 +
 +
подставим равенства (3) - (7) в уравнения Лагранжа 2-го рода:
 +
:
 +
<math>\left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi = - cx (8)</math>
 +
:
 +
<math>m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi = - m_2gl\sin\varphi \left(9\right)</math>
 +
 +
'''(8), (9) и есть искомые уравнения движения.'''
 +
 +
4. Теперь найдём период колебаний груза T. В условиях малых колебаний дифференциальные уравнения движения примут следующий вид:
 
:
 
:
−
<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot x}\right) = {d}{dt}\left(\left(m_1 + m_2\right)\dot x + m_2l\dot\varphi\cos\varphi\right) = \left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi\sin\varphi \left(3\right)</math>
+
<math>(m_1 + m_2)\ddot x + m_2l\ddot\varphi = 0</math>
 +
:
 +
<math>\ddot x + l\ddot\varphi = - g\varphi</math>
 +
 
 +
Путём несложных алгебраических образований отсюда можно получить такое дифференциальное уравнение:
 +
:
 +
<math>\ddot\varphi - \frac{g\left(m_1 + m_2\right)}{lm_1}\varphi = 0 \left(10\right)</math>
 +
 
 +
(10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно,
 +
:
 +
<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{lm_1}{g(m_1 + m_2)}}</math>
 +
 
 +
==Реализация на языке JavaScript==
 +
 
 +
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Mikhailova_AO/48_36.html|width=940 |height=400 |border=0 }}

Текущая версия на 23:02, 23 декабря 2017

Задача №48.36 из сборника задач Мещерского. Требуется смоделировать систему, состоящую из тележки и прикреплённого к ней стержня с грузом с помощью языка программирования JavaScript.

Формулировка задачи[править]

При наезде тележки [math]{A}[/math] на упругий упор [math]{B}[/math] начинаются колебания подвешенного на стержне груза [math]{D}[/math]. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если [math]{m_1}[/math] - масса тележки, [math]{m_2}[/math] - масса груза, [math]{l}[/math] длина стержня, [math]{c}[/math] - коэффициент жёсткости пружины упора [math]{B}[/math]. Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси [math]{x}[/math] взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора [math]{B}[/math]. Массой стержня пренебречь. Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель [math]\dot\varphi^2[/math], считать [math]c=0[/math], [math]\sin\varphi\approx\varphi[/math], [math]\cos\varphi\approx1[/math].

Решение задачи[править]

Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial E_k}{\partial q_i} = Q_i[/math], где

[math]{E_k}[/math] - кинетическая энергия системы,

[math]{q_i}[/math] - обобщённые координаты,

[math]{Q_i}[/math] - обобщённые силы.

Начнём с определения кинетической энергии:

[math]{E_\text{k}} = {E_\text{kA}} + {E_\text{kD}}[/math] (здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно).

[math]{E_\text{kA}} = \frac{m_1v^2}{2} = \frac{m_1\dot x^2}{2} \left(1\right)[/math]

[math]{E_\text{kD}} = \frac{m_2\dot x^2}{2} + \frac{m_2l^2\dot\varphi^2}{2} + m_2l\dot x\dot\varphi\cos\varphi \left(2\right)[/math]

Из (1) и (2) имеем:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot x}\right) = \frac{d}{dt}\left(\left(m_1 + m_2\right)\dot x + m_2l\dot\varphi\cos\varphi\right) = \left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi \left(3\right)[/math]

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot\varphi}\right) = m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(4\right)[/math]

[math]\frac{\partial E_k}{\partial\varphi} = - m_2l\dot x\dot\varphi\sin\varphi \left(5\right)[/math]


2. Найдём потенциальную энергию системы:

[math]{E_\text{p}} = {E_\text{pA}} + {E_\text{pD}}[/math]

[math]{E_\text{pA}} = \frac{cx^2}{2}[/math]

[math]{E_\text{pD}} = m_2gl\left(1 - \cos\varphi\right)[/math]

Из последних трёх равенств получим

[math] - \frac{\partial E_p}{\partial x} = - cx \left(6\right)[/math]

[math] - \frac{\partial E_p}{\partial\varphi} = - m_2gl\sin\varphi \left(7\right)[/math]

3. Имея в виду, что

[math] - \frac{\partial E_p}{\partial q_i} = Q_i[/math] и

[math]\frac{\partial E_k}{\partial x} = 0[/math],

подставим равенства (3) - (7) в уравнения Лагранжа 2-го рода:

[math]\left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi^2\sin\varphi = - cx (8)[/math]

[math]m_2l^2\ddot\varphi + m_2l\ddot x\cos\varphi = - m_2gl\sin\varphi \left(9\right)[/math]

(8), (9) и есть искомые уравнения движения.

4. Теперь найдём период колебаний груза T. В условиях малых колебаний дифференциальные уравнения движения примут следующий вид:

[math](m_1 + m_2)\ddot x + m_2l\ddot\varphi = 0[/math]

[math]\ddot x + l\ddot\varphi = - g\varphi[/math]

Путём несложных алгебраических образований отсюда можно получить такое дифференциальное уравнение:

[math]\ddot\varphi - \frac{g\left(m_1 + m_2\right)}{lm_1}\varphi = 0 \left(10\right)[/math]

(10) - уравнение гармонических колебаний. Следовательно,

[math]T = 2\pi\sqrt{\frac{lm_1}{g(m_1 + m_2)}}[/math]

Реализация на языке JavaScript[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Мещерский_48.36&oldid=49522»