Редактирование: Мещерский 48.26
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Задача 48.26 из сборника задач Мещерского:''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом. | '''Задача 48.26 из сборника задач Мещерского:''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом. | ||
| − | + | ||
==Формулировка задачи== | ==Формулировка задачи== | ||
Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы m, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз Е массы m. К оси блока С прикреплен прикреплен груз К массы <math>{m_1}</math>. Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен f. При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь. | Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы m, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз Е массы m. К оси блока С прикреплен прикреплен груз К массы <math>{m_1}</math>. Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен f. При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь. | ||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
S - независимые обобщенные координаты | S - независимые обобщенные координаты | ||
| − | В данной задаче в качестве обобщенных координат примем расстояния <math>S_1</math> и <math>S_2</math> | + | В данной задаче в качестве обобщенных координат примем расстояния <math>S_1</math> и <math>S_2</math> |
| − | : | + | |
| + | |||
| + | Представим: | ||
| + | |||
С учётом выбранных направлений перемещений: <math>S = \frac{S_1 + S_2}{2}</math>. Следовательно, <math>{\dot S} = \frac{\dot S_1 + \dot S_2}{2}; \Delta S = \frac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{2}</math> | С учётом выбранных направлений перемещений: <math>S = \frac{S_1 + S_2}{2}</math>. Следовательно, <math>{\dot S} = \frac{\dot S_1 + \dot S_2}{2}; \Delta S = \frac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{2}</math> | ||
: | : | ||
| Строка 19: | Строка 22: | ||
: | : | ||
<math>T = \frac{1}{2}m\dot S_1^{2} + \frac{1}{2}m_1\dot S^{2} + \frac{1}{2}m\dot S_2^{2} = \frac{1}{2}(m(\dot S_1^{2} + \dot S_2^{2}) + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2)^{2})</math>. | <math>T = \frac{1}{2}m\dot S_1^{2} + \frac{1}{2}m_1\dot S^{2} + \frac{1}{2}m\dot S_2^{2} = \frac{1}{2}(m(\dot S_1^{2} + \dot S_2^{2}) + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2)^{2})</math>. | ||
| − | |||
| − | |||
: | : | ||
| − | <math>\frac{\partial T}{\partial\dot S_1} = m\dot S_1 + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2); | + | <math>\frac{\partial T}{\partial\dot S_1} = m\dot S_1 + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2); \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_1}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_1 + \frac{m_1}{4}\ddot S_2; \frac{\partial T}{\partial S_1} = 0;</math> |
| − | \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_1}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_1 + \frac{m_1}{4}\ddot S_2; | ||
| − | \frac{\partial T}{\partial S_1} = 0;</math> | ||
: | : | ||
| − | <math>\frac{\partial T}{\partial\dot S_2} = m\dot S_2 + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2); | + | <math>\frac{\partial T}{\partial\dot S_2} = m\dot S_2 + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2); \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_2}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_2 + \frac{m_1}{4}\ddot S_1; \frac{\partial T}{\partial S_1} = 0;</math> |
| − | |||
| − | |||
: | : | ||
Найдем сумму работ, действующих на систему: | Найдем сумму работ, действующих на систему: | ||
| Строка 35: | Строка 32: | ||
: | : | ||
Отсюда находим обобщённые силы: | Отсюда находим обобщённые силы: | ||
| − | + | <math>Q_1 = g(\frac{m_1}{2} - fm)\Delta S_1); Q_2 = g(\frac{m_1}{2}-m)\Delta S_2</math> | |
| − | <math>Q_1 = g(\frac{m_1}{2} - fm)\Delta S_1; | ||
| − | |||
| − | |||
: | : | ||
Подставляем найденные величины в уравнения Лагранжа: | Подставляем найденные величины в уравнения Лагранжа: | ||
: | : | ||
| − | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_1}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_1 + \frac{m_1}{4}\ddot S_2 = g(\frac{m_1}{2} - fm)\Delta S_1</math> | + | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_1}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_1 + \frac{m_1}{4}\ddot S_2 = g(\frac{m_1}{2} - fm)\Delta S_1)</math> |
| − | |||
<math> \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_2}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_2 + \frac{m_1}{4}\ddot S_1 = g(\frac{m_1}{2}-m)\Delta S_2</math> | <math> \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_2}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_2 + \frac{m_1}{4}\ddot S_1 = g(\frac{m_1}{2}-m)\Delta S_2</math> | ||
| − | |||
Сложим уравнения: | Сложим уравнения: | ||
: | : | ||
| − | <math>(m + \frac{m_1}{2})\ddot S_1 + (m + \frac{m_1}{2})\ddot S_2 = g(m_1 - fm - m).</math> | + | <math>(m + \frac{m_1}{2})\ddot S_1 + (m + \frac{m_1}{2})\ddot S_2 = g(m_1 - fm - m).</math> И так как <math>{\dot S} = \frac{\dot S_1 + \dot S_2}{2}</math>, то |
| − | + | <math>\ddot S = \frac{1}{2}*\frac{g(m_1 - m(1+f)}{m + \frac{m_1}{2} = g\frac{m_1 - m(1+f)}{2m + m_1}.</math> Это ускорение груза К. Чтобы он опускался вниз, ускорение должно быть отрицательным или <math>m_1 > m(1+f)</math> | |
| − | И так как <math>{\ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
