Редактирование: Мещерский 48.26

'''Задача 48.26 из сборника задач Мещерского:''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом.

==Формулировка задачи==
Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы m, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз Е массы m. К оси блока С прикреплен прикреплен груз К массы <math>{\partial m_1}</math>. Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен f. При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь.

==Решение задачи==
Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial S_i} = {\partial Q_i}  ,  (i = 1,2)</math> , где
 T - кинетическая энергия системы
 Q - обобщенные силы
 S - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенных координат примем расстояния <math>{\partial S_1}</math> и <math>{\partial S_2}</math>


Представим:

С учётом выбранных направлений перемещений: <math>S = \frac{\partial S_1+\partial S_2}{2}</math>. Следовательно, <math>{\partial\dot S} = \frac{\partial\dot S_1 + \partial\dot S_2}{2}</math>
Кинетическая энергия всей системы: <math>T = \frac{1}{2}mS_1^{2} + \frac{1}{2}m_1S^{2} + \frac{1}{2}mS_2^{2}</math>
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 '''Задача 48.26 из сборника задач Мещерского:''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом.
-[[File:48.26.png|thumb|right]]
 ==Формулировка задачи==
-Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы m, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз Е массы m. К оси блока С прикреплен прикреплен груз К массы <math>{m_1}</math>. Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен f. При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь.
+Однородная нить, к концу которой привязан груз А массы m, огибает неподвижный блок В, охватывает подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз Е массы m. К оси блока С прикреплен прикреплен груз К массы <math>{\partial m_1}</math>. Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную плоскость равен f. При каком условии груз К будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза К. Массами блоков и нити пренебречь.
 ==Решение задачи==
 Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:
-<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial S_i} = Q_i  ,  (i = 1,2)</math> , где
+<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial S_i} = {\partial Q_i}  ,  (i = 1,2)</math> , где
   T - кинетическая энергия системы
   Q - обобщенные силы
   S - независимые обобщенные координаты
-В данной задаче в качестве обобщенных координат примем расстояния <math>S_1</math> и <math>S_2</math>.
+В данной задаче в качестве обобщенных координат примем расстояния <math>{\partial S_1}</math> и <math>{\partial S_2}</math>
-:
-С учётом выбранных направлений перемещений: <math>S = \frac{S_1 + S_2}{2}</math>. Следовательно, <math>{\dot S} = \frac{\dot S_1 + \dot S_2}{2};   \Delta S = \frac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{2}</math>
-:
-Кинетическая энергия всей системы:
-:
-<math>T = \frac{1}{2}m\dot S_1^{2} + \frac{1}{2}m_1\dot S^{2} + \frac{1}{2}m\dot S_2^{2} = \frac{1}{2}(m(\dot S_1^{2} + \dot S_2^{2}) + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2)^{2})</math>.
-Вычислим частные производные:
-:
-<math>\frac{\partial T}{\partial\dot S_1} = m\dot S_1 + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2);
-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_1}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_1 + \frac{m_1}{4}\ddot S_2;
-\frac{\partial T}{\partial S_1} = 0;</math>
-:
-<math>\frac{\partial T}{\partial\dot S_2} = m\dot S_2 + \frac{m_1}{4}(\dot S_1 + \dot S_2);</math>
-<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_2}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_2 + \frac{m_1}{4}\ddot S_1;</math>
-<math>\frac{\partial T}{\partial S_1} = 0;</math>
-:
-Найдем сумму работ, действующих на систему:
-:
-<math>A = m_1g *\Delta S - mg*\Delta S_2 - F_т*\Delta S_1 = g(-fm\Delta S_1 - m\Delta S_2 + m_1\frac{\Delta S_1 + \Delta S_2}{2}) = g((\frac{m_1}{2} - fm)\Delta S_1) + (\frac{m_1}{2}-m)\Delta S_2</math>
-:
-Отсюда находим обобщённые силы:
-:
-<math>Q_1 = g(\frac{m_1}{2} - fm)\Delta S_1;</math>
-:
-<math>Q_2 = g(\frac{m_1}{2}-m)\Delta S_2.</math>
-:
-Подставляем найденные величины в уравнения Лагранжа:
-:
-<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_1}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_1 + \frac{m_1}{4}\ddot S_2 = g(\frac{m_1}{2} - fm)\Delta S_1</math>
-<math> \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot S_2}\right) = (m + \frac{m_1}{4})\ddot S_2 + \frac{m_1}{4}\ddot S_1 = g(\frac{m_1}{2}-m)\Delta S_2</math>
-:
-Сложим уравнения:
-:
-<math>(m + \frac{m_1}{2})\ddot S_1 + (m + \frac{m_1}{2})\ddot S_2 = g(m_1 - fm - m).</math>
-:
-И так как <math>{\ddot S} = \frac{\ddot S_1 + \ddot S_2}{2}</math>, то <math>\ddot S = \frac{1}{2}*\frac{g(m_1 - m(1+f)}{m + \frac{m_1}{2}} = g\frac{m_1 - m(1+f)}{2m + m_1}.</math> Это ускорение груза К. Чтобы он опускался вниз, ускорение должно быть отрицательным или <math>m_1 > m(1+f)</math>
-== Решение ==
+Представим:
-{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Dementjeva/48.26.html |width=800 |height=600 |border=0 }}
+С учётом выбранных направлений перемещений: <math>S = \frac{\partial S_1+\partial S_2}{2}</math>. Следовательно, <math>{\partial\dot S} = \frac{\partial\dot S_1 + \partial\dot S_2}{2}</math>
+Кинетическая энергия всей системы: <math>T = \frac{1}{2}mS_1^{2} + \frac{1}{2}m_1S^{2} + \frac{1}{2}mS_2^{2}</math>