Редактирование: Маятник с растяжимой нитью

== Формулировка задачи ==
Задача 48.13 
Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки массы m, подвешенной на нити, длина которой изменяется по закону l=l(t)

==Решение==
Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением Лагранжа 2-го рода



<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = - \frac{\partial \Pi}{\partial q_i} </math> , где
 T - кинетическая энергия системы
 П - потенциальная энергия системы
 q - независимые обобщенные координаты

 В данной задаче в качестве обобщенной координаты возьмем угол отклонения нити от вертикали <math>q = \varphi </math>.

Выразим кинетическую и потенциальную энергии через обобщенную координату.

<math>x=l\sin(\varphi )</math>

<math>y=l\cos(\varphi )</math>

<math>\dot x= \dot l\sin(\varphi ) + l\cos(\varphi )\dot\varphi </math>

<math>\dot y= \dot l\cos(\varphi ) - l\sin(\varphi )\dot\varphi </math>

<math>V^{2}=\dot x^{2}+ \dot y^{2}</math>

<math>T= \frac{1}{2}\ m\ V ^{2}</math>

<math>T = \frac{1}{2}\ m\ (\dot l\ ^{2}+l^{2}\dot\varphi^{2})</math>

<math>\Pi = - m \ g\ l \cos(\varphi )\ </math>

Дифференцируя полученные выражения энергий и подставляя в уравнение Лагранжа результаты дифференцирования, получаем уравнение движения рассматриваемой системы:

<math>\ddot\varphi + 2\frac{\dot l}{l}\dot\varphi + \frac{g}{l} \sin(\varphi) = 0 </math>

==Визуализация процесса==

Для моделирования колебаний данного маятника используется язык программирования JavaScript и следующие библиотеки:

*three.js

*dat.gui.js

*stats.js

*OrbitControls.js
 
Положим, что длина нити l увеличивается линейно с коэффициентом удлинения с. Это предположение используется при построении модели, то есть рассматриваем частный случай  со следующим законом изменения длины нити:

*l(t)=l(0)+ct

==Демонстрация модели==

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Palchikovskaya_NA/Generalwork2.html |width=600 |height=450}}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
Файл '''"Generalwork2.js"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">


function init() 
{
	var stats=initStats();
	var scene=new THREE.Scene();
	var camera=new THREE.PerspectiveCamera(45,window.innerWidth/window.innerHeight,0.1,1000);
	var renderer=new THREE.WebGLRenderer();
	renderer.setClearColor(new THREE.Color(0xADD8E6,1.0));
	renderer.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight);
	renderer.shadowMapEnabled=true;

	var planeGeometry=new THREE.PlaneGeometry(60,20,1,1);
	var planeMaterial=new THREE.MeshLambertMaterial({color:0x0ffd4});
	var plane=new THREE.Mesh(planeGeometry,planeMaterial);
	plane.receiveShadow=true;
	plane.rotation.x=-Math.PI/2;
	plane.position.set(0,0,0);
	scene.add(plane);

	camera.position.set(0,5,50);
	camera.lookAt(new THREE.Vector3(0,-10,0));

	var ambientLight=new THREE.AmbientLight(0x0c0c0c);
	scene.add(ambientLight);
	var spotLight=new THREE.SpotLight(0xffffff);
	spotLight.castShadow = true;
	spotLight.position.set(-40,60,-10);
	scene.add(spotLight);

	document.getElementById("WebGL-output").appendChild(renderer.domElement);
	
	group=new THREE.Object3D();
	function draw()
	{
		scene.remove(group)
		L0=20;
		c=controls.c;
		L=L0+c*time;
		group=new THREE.Object3D();
		var cylinderGeometry=new THREE.CylinderGeometry(0.15,0.15,L);
		var cylinderMaterial=new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x7777ff});
		var cylinder=new THREE.Mesh(cylinderGeometry,cylinderMaterial);
		var sphereGeometry=new THREE.SphereGeometry(1,20,20);
		var sphereMaterial=new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x7777ff});
		var sphere=new THREE.Mesh(sphereGeometry,sphereMaterial);
		sphere.castShadow=true;
		cylinder.position.set(0,-L/2,0);
		sphere.position.set(0,-L,0);
		group.add(cylinder);
		group.add(sphere);
		group.position.set(0,0,0);
		scene.add(group);
	}

	var omega,phi,c,time,dt;
	var controls = new function () 
	{
		this.c=0.1;
		this.redraw=function()
		{
			dt=0.005;
			time=0;
			omega=0;
			phi=Math.PI/3;
			c=controls.c;
			group.rotation.z=phi;
		}
		this.L=20+this.c*time;
		
	}
	
	var controls1=new function() 
	{
	this.L='0';
	}
	

	var gui = new dat.GUI();
	gui.add(controls,'c',0.01,0.2);
	gui.add(controls1,'L').listen();
	gui.add(controls,'redraw');

	
	controls.redraw();
	render();
	function render() 
	{
		stats.update();
		time+=dt;
		draw();
		
		omega=omega-((9.8*Math.sin(phi)+2*c*omega)/(L0+c*time))*dt;
		phi+=omega;
		controls1.L=L0+c*time;
		group.rotation.z=phi;
		renderer.render(scene,camera);
		requestAnimationFrame(render);
	}
	function initStats() 
	{
		var stats = new Stats();
		stats.setMode(0);
		stats.domElement.style.position = 'absolute';
		stats.domElement.style.left = '0px';
		stats.domElement.style.top = '0px';
		document.getElementById("Stats-output").appendChild(stats.domElement);
		return stats;
	}
}
window.onload = init;
</syntaxhighlight>
</div>