Маятник с растяжимой нитью

Формулировка задачи

Задача 48.13 Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки массы m, подвешенной на нити, длина которой изменяется по закону l=l(t)

Решение

Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением Лагранжа 2-го рода

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = - \frac{\partial \Pi}{\partial q_i} [/math] , где

T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимые обобщенные координаты

В данной задаче в качестве обобщенной координаты возьмем угол отклонения нити от вертикали [math]q = \varphi [/math].

Выразим кинетическую и потенциальную энергии через обобщенную координату.

[math]x=l\sin(\varphi )[/math]

[math]y=l\cos(\varphi )[/math]

[math]\dot x= \dot l\sin(\varphi ) + l\cos(\varphi )\dot\varphi [/math]

[math]\dot y= \dot l\cos(\varphi ) - l\sin(\varphi )\dot\varphi [/math]

[math]V^{2}=\dot x^{2}+ \dot y^{2}[/math]

[math]T= \frac{1}{2}\ m\ V ^{2}[/math]

[math]T = \frac{1}{2}\ m\ (\dot l\ ^{2}+l^{2}\dot\varphi^{2})[/math]

[math]\Pi = - m \ g\ l \cos(\varphi )\ [/math]

Дифференцируя полученные выражения энергий и подставляя в уравнение Лагранжа результаты дифференцирования, получаем уравнение движения рассматриваемой системы:

[math]\ddot\varphi + 2\frac{\dot l}{l}\dot\varphi + \frac{g}{l} \sin(\varphi) = 0 [/math]

Визуализация процесса

Для моделирования колебаний данного маятника используется язык программирования JavaScript и следующие библиотеки:

• three.js

• dat.gui.js

• stats.js

• OrbitControls.js

Положим, что длина нити l увеличивается линейно с коэффициентом удлинения с. Это предположение используется при построении модели, то есть рассматриваем частный случай со следующим законом изменения длины нити:

• l(t)=l(0)+ct

Демонстрация модели

Текст программы на языке JavaScript:

Файл "Generalwork2.js"

  1 function init() 
  2 {
  3 	var stats=initStats();
  4 	var scene=new THREE.Scene();
  5 	var camera=new THREE.PerspectiveCamera(45,window.innerWidth/window.innerHeight,0.1,1000);
  6 	var renderer=new THREE.WebGLRenderer();
  7 	renderer.setClearColor(new THREE.Color(0xABB1E0,1.0));
  8 	renderer.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight);
  9 	renderer.shadowMapEnabled=true;
 10 
 11 	var planeGeometry=new THREE.PlaneGeometry(60,20,1,1);
 12 	var planeMaterial=new THREE.MeshLambertMaterial({color:0x0ffd5});
 13 	var plane=new THREE.Mesh(planeGeometry,planeMaterial);
 14 	plane.receiveShadow=true;
 15 	plane.rotation.x=-Math.PI/2;
 16 	plane.position.set(0,0,0);
 17 	scene.add(plane);
 18 
 19 	camera.position.set(0,5,50);
 20 	camera.lookAt(new THREE.Vector3(0,-10,0));
 21   
 22    OrbitControls= new THREE.OrbitControls(camera);
 23    OrbitControls.autoRotate = true;
 24    var clock = new THREE.Clock();
 25 
 26 	var ambientLight=new THREE.AmbientLight(0x0c0c0c);
 27 	scene.add(ambientLight);
 28 	var spotLight=new THREE.SpotLight(0xffffff);
 29 	spotLight.castShadow = true;
 30 	spotLight.position.set(-40,60,-10);
 31 	scene.add(spotLight);
 32 
 33 	document.getElementById("WebGL-output").appendChild(renderer.domElement);
 34 	
 35 	group=new THREE.Object3D();
 36 	function draw()
 37 	{
 38 		scene.remove(group)
 39 		L0=20;
 40 		c=controls.c;
 41 		L=L0+c*time;
 42 		group=new THREE.Object3D();
 43 		var cylinderGeometry=new THREE.CylinderGeometry(0.15,0.15,L);
 44 		var cylinderMaterial=new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x7777ff});
 45 		var cylinder=new THREE.Mesh(cylinderGeometry,cylinderMaterial);
 46 		var sphereGeometry=new THREE.SphereGeometry(1,20,20);
 47 		var sphereMaterial=new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x7777ff});
 48 		var sphere=new THREE.Mesh(sphereGeometry,sphereMaterial);
 49 		sphere.castShadow=true;
 50 		cylinder.position.set(0,-L/2,0);
 51 		sphere.position.set(0,-L,0);
 52 		group.add(cylinder);
 53 		group.add(sphere);
 54 		group.position.set(0,0,0);
 55 		scene.add(group);
 56 	}
 57 
 58 	var omega,phi,c,time,dt;
 59 	var controls = new function () 
 60 	{
 61 		this.c=0.1;
 62 		this.redraw=function()
 63 		{
 64 			dt=0.005;
 65 			time=0;
 66 			omega=0;
 67 			phi=Math.PI/3;
 68 			c=controls.c;
 69 			group.rotation.z=phi;
 70 		}
 71 		this.L=20+this.c*time;
 72 		
 73 	}
 74 	
 75 	var controls1=new function() 
 76 	{
 77 	this.L='0';
 78 	}
 79 	
 80 
 81 	var gui = new dat.GUI();
 82 	gui.add(controls,'c',0.01,0.2);
 83 	gui.add(controls1,'L').listen();
 84 	gui.add(controls,'redraw');
 85 
 86 	
 87 	controls.redraw();
 88 	render();
 89 	function render() 
 90 	{
 91 		stats.update();
 92 		time+=dt;
 93 		draw();
 94 		
 95 		omega=omega-((9.8*Math.sin(phi)+2*c*omega)/(L0+c*time))*dt;
 96 		phi+=omega;
 97 		controls1.L=L0+c*time;
 98 		group.rotation.z=phi;
 99       
100        var delta = clock.getDelta();
101        orbitControls.update(delta);
102       
103 		renderer.render(scene,camera);
104 		requestAnimationFrame(render);
105 
106 	}
107 	function initStats() 
108 	{
109 		var stats = new Stats();
110 		stats.setMode(0);
111 		stats.domElement.style.position = 'absolute';
112 		stats.domElement.style.left = '0px';
113 		stats.domElement.style.top = '0px';
114 		document.getElementById("Stats-output").appendChild(stats.domElement);
115 		return stats;
116 	}
117 }
118 window.onload = init;