Редактирование: Математическая модель лука

'''БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА'''<br>
''Автор работы'': [[Фролова Ксения | К.П. Фролова]]<br>
''Руководитель'': [[Лобода Ольга Сергеевна | канд. физ.-мат. наук, доцент О.С. Лобода]]<br>
==Предисловие==
''Данная работа включает в себя результаты, полученные в [[Фролова Ксения. Курсовой проект по теоретической механике | курсовом проекте по теоретической механике]], а также является продолжением освещенной в нем темы моделирования конструкции лука.''

==Введение==
Лук является одним из первых механических устройств, созданных человеком. В наши дни такое оружие, как лук, все еще остается популярным. Современные спортивные луки используются в соревнованиях, в том числе, в Олимпийских играх. Большим спросом пользуются и классические охотничьи луки.<br>
Б.А. Виноградский в 2004 году проанализировал состояние и перспективы развития стрельбы из лука в мире по результатам XXVIII Олимпийских игр в Афинах. Резюмируя, он отметил, что развитие стрельбы из лука как вида спорта на международной арене можно оценить как стабильное, а также подчеркнул, что отмечается постепенный рост спортивного результата, ужесточение спортивной борьбы и повышение конкуренции. <br>
Краткий экскурс на тему основных понятий и принципов, касающихся темы стрельбы из лука, приведен в [[Фролова Ксения. Курсовой проект по теоретической механике | курсовом проекте по теоретической механике]].<br>
[[Файл:Block.png|200px|thumb|left|]]
<br>
<br>
В данной работе обратим внимание на принципиальное различие между классическим и блочным луком. Заключается оно в том, что в блочном луке плечи непосредственно изгибаются не тетивой, а тросами.<br>
При оттягивании тетивы она сматывается с блока большего радиуса и прокручивает его. На блок меньшего радиуса, вращающийся с ним синхронно, в это время наматывается силовой трос, соединенный с противоположным плечом. Таким образом, трос, наматываемый на верхний блок, сгибает нижнее плечо лука, а трос, наматываемый на нижний блок, сгибает верхнее плечо лука.<br>
Если с конструкции снять тросы и при этом оттягивать тетиву, то плечи не согнутся.
<br>
<br>
<br>
<br>
И.Ф. Заневский отметил «эволюцию» моделей, созданных рядом ученых. Так, С.Х. Хикман описал лук моделью, в которой плечи являются прямыми и недеформируемыми, между которыми располагаются идеальные шарниры с пружиной Архимеда, а концы которых соединены нерастяжимой тетивой. Б.В. Куи и Дж.А. Спаренберг в своей модели рассмотрели плечо лука в качестве упругой полосы. Среди российских работ в области создания математической модели лука можно подчеркнуть работу А.А. Лужина, который смоделировал плечи лука пластинами Кирхгофа – Лява, тетиву - нерастяжимой нитью, а стрелу – сосредоточенной массой. При этом задача решалась в линейной постановке для малых прогибов плеч. Разработка модели блочного лука представляет наибольший интерес в современном мире. Тем не менее, для того, чтобы перейти к ней, необходимо понимание характера процессов, происходящих в классических луках. Особое внимание уделяется азиатскому луку. Особенностью его конструкции являются негнущиеся концы плеч, называемые «ушами», благодаря которым усилие натяжения лука резко увеличивается в начале и гораздо более плавно - в конце. Модель такого лука описали в своей работе Б.В.Куи и Дж.А. Спаренберг и показали, что конструкция позволяет запасти больше энергии. Математическую модель блочного лука предложил Дж.Л. Парк.

==Постановка задачи==
Целью является описание механической конструкции лука с помощью математического аппарата. В рамках данной работы внимание уделяется двум моделям. В одном случае плечи лука рассматриваются как абсолютно жесткие стержни, в другом у них имеется характеристика на изгиб.<br>
Необходимо:<br>
* Найти зависимость силы натяжения лука от смещения тетивы, построить динамические кривые
* Найти зависимости энергии, накапливаемой в конструкции, от смещения тетивы 
* Найти зависимости начальной скорости стрелы от смещения тетивы 
* Провести сравнение полученных результатов с экспериментальными данными
Также в рамках работы нужно продемонстрировать эффективность применения системы эксцентричных блоков в конструкции лука. Для этого<br>
* Разобрать в теории принцип действия конструкции
* Построить зависимость усилия натяга от смещения тетивы на основании экспериментальных данных

==Модель лука с абсолютно жесткими стержнями==
[[Файл:M1.png‎|200px|thumb|left|]]
''В качестве недеформированного состояния лука принимается состояние, когда плечи представляют собой два прямых стержня, концы которых соединены тетивой, имеющей некое начальное смещение.Между плечами располагается спиральная пружина конечной жесткости, моделируемая телом – точкой (т.е. она занимает нулевой объем, но при этом имеет инерцию на вращение). Плечи лука расположены симметрично относительно оси, проходящей через точку, обозначающую пружину, и середину тетивы.''
Имеет место момент, создаваемый посредством пружины, описываемый формулой <br>
<math>M \ =\  c\varphi</math>, где где M – момент пружины, c – жесткость пружины,  <math>\varphi</math> - угол отклонения плеча лука.<br>
Поскольку конструкция лука находится в статическом равновесии в момент, когда тетива оттягивается, сила натяжения тетивы и сила натяжения лука, прикладываемая к середине тетивы, будут описываться формулами:<br>
<math>T = \frac{c\varphi}{h}</math>, где T - сила упругости тетивы, h - плечо силы T.<br>
<math>F \ =\  2T\cos\beta \ =\ 2\frac{c\varphi}{h}\cos\beta</math>, где F – сила натяжения лука,  <math>\beta</math> – угол, образуемый между оттягиваемой тетивой и плечом лука.<br>
Силу, прикладываемую к луку, необходимо выразить через геометрические параметры конструкции (длину плеча лука и базу (величину начального смещения тетивы)), через величину жесткости спиральной пружины, а также через смещение тетивы.<br>
Оказалось, что
<math>F = F( x) \ =\  \frac{\partial F}{\partial x}(0)x+ \frac{1}{2}*\frac{\partial^2F}{\partial x^2}(0)x^2 + \frac{1}{6}*\frac{\partial^3F}{\partial x^3}(0)x^3</math><br>
Проведенные расчеты показали, что 
<math>\frac{\partial F}{\partial 0}(0) \ =\  0 ;\quad \frac{\partial^2F}{\partial x^2}(0) \ =\  0</math><br>
<math>\frac{\partial^3F}{\partial x^3}(0) \ =\  \frac{12c(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}} </math><br>
Таким образом, <math>F( x) \ =\  \frac{2c(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}x^3</math><br>
Энергия лука:<br>
<math>U( x) \ =\  \frac{c(l^2 - 2x_0^2)}{2l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}x^4</math><br>
Начальная скорость стрелы:<br>
<math>v( x) \ =\  \frac{2\sqrt{c(l^2 - 2x_0^2)}}{lx_0\sqrt{m(l^2 - x_0^2)}}x^2</math><br>

==Модель лука с упругими стержнями==
[[Файл:M2.png‎‎|200px|thumb|left|]]
''Решается статическая задача в линейной постановке теории стержней. В недеформированном состоянии плечи лука представляют собой прямые стержни, находящиеся под некоторым углом к горизонту. В решаемой задаче плечи лука допустимо моделировать балками Бернулли – Эйлера, т.к. они достаточно хорошо описывают тонкие стержни. В данном случае считается, что внешние моменты отсутствуют, также можно пренебречь инерцией вращения. Кроме того, полагается, что жесткость балки Бернулли – Эйлера на поперечный сдвиг бесконечно велика, но при этом поперечная сила остается ограниченной, что приводит к тому факту, что вектор деформаций сдвига является нулевым. Распределенные нагрузки и моменты отсутствуют.''<br>
Уравнения равновесия стержней представлены системой<br>
<math>N' \ =\  0</math><br>
<math>M'+ \tau\times N\ =\  0</math><br>
где <math>N</math> – вектор силы в сечении плеча лука, <math>M</math> – вектор момента в сечении плеча лука, <math>\tau</math> - единичный вектор касательной к стержню в актуальной конфигурации.<br>
Вектор деформаций в случае линейной теории стержней:<br>
<math>\xi =u' + \tau\times\psi</math><br>
где <math>u</math> – вектор перемещений стержня, <math>\psi</math> - вектор поворота стержня.<br>
Учитывая, что в балке Бернулли – Эйлера деформации поперечного сдвига отсутствуют, получаем соотношение<br>
<math>u' =-\tau\times\psi</math><br>
Связь вектора деформации и момента в сечении:<br>
<math>f \ = \frac{1}{с_1}kk + \frac{1}{с_2}nn + \frac{1}{с_3}\tau\tau</math><br>
где <math>f</math> – вектор деформации, <math>c_1</math> , <math>c_2</math>  – жесткости на изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях <math>c_3</math>  – жесткость на кручение,<math>n</math> –вектор нормали к сечению стержня, <math>k</math> –вектор бинормали к сечению стержня.<br>
Связь вектора деформации и вектора поворота в линейной теории стержней:<br>
<math>f \ = \psi'</math><br>
Решая данную систему уравнений, можно найти выражение перемещения точек плеча в зависимости от прикладываемой к нему силы:<br>
<math>u \ = \frac{s^2}{2c_1}(l-\frac{s}{3})N_0</math><br>
Преобразовывая полученную зависимость к искомой зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы, получаем<br>
<math>x \ = \sqrt{p^2-(lsin\alpha-\frac{l^3}{6c_1}Fctg\alpha)^2}+lcos\alpha+\frac{l^3}{6c_1}F-x_0</math><br>
Начальная скорость стрелы:<br>
<math>v \ = \2\sqrt\frac{3c_1sin\alpha((x+x_0)sin\alpha+\sqrt{p^2-(l-(x+x_0)cos\alpha)^2})}{ml^3}x</math><br>

==Эффективность применения системы блоков==
[[Файл:Block_1.png‎‎|200px|thumb|left|]]
Для определения искомой зависимости точку B можно считать неподвижной. Плечо силы натяжения троса равно по модулю радиусу меньшего блока. Тогда, продлевая плечо BC на расстояние, равное плечу AB, можно получить рычаг, в котором будет выполнено соотношение:<br>
<math>F\ = \frac{BC}{AB}T</math><br>
Если блоки эксцентричные, то плечо BC будет увеличиваться при оттягивании тетивы, AB оставаться постоянной, при этом значение косинуса угла будет всегда меньше единицы, следовательно,будет уменьшаться ощущаемое стрелком усилие. <br>
Тем не мене, круглые блоки тоже достаточно эффективны в применении, т.к. из-за того, что плечо BC всегда больше AB на протяжении оттягивания тетивы, оказывается, что сила, сгибающая плечо лука больше силы, прикладываемой к тетиве, что позволяет делать конструкции более мощными.

==Эксперименты==
* Эксперимент с классическим луком
[[Файл:Bow.jpg|200px|thumb|left|]]
<br><br>Эксперимент проводился с прямым симметричным луком. Материал плеч – стеклотекстолит.<br>
Ход выполнения эксперимента заключался в следующем: рукоять лука фиксировалась, затем к середине тетивы крепился груз известной массы, после чего с помощью рулетки измерялось значение смещения тетивы от положения, когда она не деформирована. Таким образом, снималась зависимость массы подвешиваемого груза от смещения тетивы, которая для дальнейших расчетов преобразовывалась в зависимость силы натяжения лука от указанного перемещения. <br><br><br><br><br>
* Эксперимент с блочным луком
[[Файл:Yastreb.jpg|200px|thumb|left|]]
<br><br>Эксперимент проводился с блочным луком «Ястреб». Лук имеет стандартные эксцентричные блоки, карбоновые плечи и рукоять из алюминий - магниевого сплава.<br>
Ход эксперимента такой же, как и в случае с классическим луком.<br><br><br><br><br><br>

==Результаты==
Для сравнения динамических кривых, построенных для двух моделей, описывающих лук, а также для определения расхождения их с динамической кривой, построенной по экспериментальным данным, учитывалось, что такие параметры лука, как длина плеча, а также начальное смещение тетивы в обеих моделях равны соответствующим параметрам реальной конструкции. Также было принято, что совпадают значения максимальной величины силы натяжения лука. <br>
Величина жесткости спиральной пружины в модели лука с абсолютно жесткими плечами определялась, исходя из соображений о том, что модель должна как можно точнее описывать реальную конструкцию.С этой целью использовался метод наименьших квадратов. Оказалось, что <math> c = 23.169</math> Нм .<br>
Жесткость лука, описываемого моделью с упругими плечами, выражалась через значения модуля Юнга и момент инерции поперечного сечения плеча лука: <math>c  = EI</math>. При этом для сравнения с экспериментом необходимо принять, что жесткость, используемая в модели, соответствует реальной жесткости плеча лука. Для этого необходимо равенство соответствующих модулей Юнга, а также моментов инерции поперечного сечения плеча лука. Момент инерции определяется следующей формулой:<br>
<math>I \ =\ \frac{bh^3}{12}</math>, где где <math>b</math> и <math>h</math> – ширина и высота поперечного сечения соответственно.<br>
В реальной конструкции плечо лука имеет переменную ширину и постоянную высоту сечения. Экспериментально снятые значения зависимости ширины сечения от координаты вдоль плеча аппроксимировались линейной функцией, описываемой следующей формулой: <math>b = 0.0316s + 0.01</math>. В результате осреднения момента инерции по достаточно большому количеству точек оказалось, что <math> c_1 = 24.852</math><br>
[[Файл:F(x).bmp]]
[[Файл:E.bmp]]
[[Файл:V.bmp‎|left]]
<br><br>Построены динамические кривые, иллюстрирующие зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы для обеих моделей, а также для экспериментальной конструкции.Из графиков видно, что кривая, построенная для модели лука, в котором стержни рассматриваются как балки Бернулли – Эйлера, проходит ближе к экспериментальной, нежели динамическая кривая, характеризующая лук с абсолютно жесткими плечами. Также визуально можно оценить, что площадь под графиком, построенным для модели с упругими плечами, больше, чем площадь под графиком, описывающим другую модель. Следствием этого является тот факт, что работа и, соответственно, мощность лука с упругими плечами превышает соответствующий показатель лука с абсолютно жесткими стержнями. <br>
Для качественной и количественной оценки мощностей луков, описываемых обеими моделями, рассматриваемыми в данной работе, построены графики зависимости энергии, накапливаемой в конструкции лука, от величины смещения тетивы. Из графиков видно, что действительно мощность лука с упругими плечами превышает мощность лука с абсолютно жесткими стержнями и точнее описывает данную характеристику при сравнении с экспериментальными данными.<br>
Помимо динамической кривой лука, а также его мощности, интерес представляет такая характеристика конструкции, как начальная скорость, придаваемая стреле. Видно, что зависимость начальной скорости стрелы от смещения тетивы для модели с упругими плечами точнее описывает соответствующую зависимость, построенную по экспериментальным данным, чем в случае модели с абсолютно жесткими плечами.<br>
[[Файл:Bl.bmp‎|left]]
<br><br><br>
По экспериментальным данным для исследуемого блочного лука построена зависимость усилия натяжения лука, от смещения тетивы. Видно, что у графика имеется пик в точке, где сила натяжения лука является максимальной и составляет 20 кгс. После прохождения пика усилие, ощущаемое стрелком, падает, но при этом накопленная в деформируемых плечах луках мощность никуда не исчезает.

==Заключение==
'''В работе рассмотрены '''
* Модель лука с абсолютно жесткими плечами и пружиной между ними
* Модель лука с плечами, моделируемыми балками Бернулли – Эйлера, задача решена в линейном приближении
* Принцип работы блочного лука
'''Оказалось, что'''
* Мощность лука с абсолютно жесткими плечами меньше мощности лука с упругими плечами
* Модель лука с упругими стержнями описывает реальный лук точнее, а также является эффективнее
* Блоки позволяют удерживать в натяжении более мощные луки
<br>

==Список использованных источников==
*Б.А. Виноградский. Анализ состояния и перспективы развития стрельбы из лука в мире с учетом результатов 28 Олимпийских игр в Афинах // Наука в олимпийском спорте – 2005 - № 2 - с. 60 – 68.
*I.F. Zaniewski. Modeling of the archery bow and arrow vibrations // Shock and Vibration – 2009 - №3 - p. 307 – 317.
*С. Кондратьев. Термины в стрельбе из лука [электронный ресурс] // Стрельба из лука: [сайт] – 2011 – URL: http://www.archery-sila.ru/
*Э. Макьюэн, А. Миллер, А. Бергман. Конструкция и изготовление древних луков. // В мире науки – 1991 - № 8 - с. 38–75.
*В.Н. Казанцев. Пособие для начинающих лучников [электронный ресурс] // Стрельба из лука: [сайт ] – 2009 – URL: http://www.archery-sila.ru/
*И.Ф. Заневский. Компьютерная модель внутренней баллистики стрелы лука // Сборник научных трудов "Вестник НТУ "ХПИ": Информатика и моделирование – 2011 - №36 - c. 78 – 86.
*C.N. Hickman. Dynamics of a bow and arrow // Journal of Applied Physics – 1937 - V. 8 - p. 404-409. 
*B.W. Kooi, J.A. Sparenberg. On the static deformation of a bow // Journal of Engineering Mathematics – 1980 - V. 14, № 1 - p. 27-45. 
*А.А. Лужин. Моделирование выстрела из лука: дис. на соискание ученой степени к.ф.-м.н. – Москва, 2008 - 103 с. 
*T.M. Hamilton. Native American Bow. Columbia: Published by Missouri Archeological Society, 1982 – 148 p.
*J.L. Park. The behaviour of an arrow shot from a compound archery bow // Proc. Of the IMechE, Part P: Journal of Sports Engineering and Technology. – 2011. – V. 225, № 8. – p. 8 - 21. 
*П.А. Жилин. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2007 - 101 с.
*J.E. Gordon. Structures, or why Things don't Fall Down. Harmondsworth: Published by the Penguin Books, 1978 – 395 p.