Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 33: |
Строка 33: |
| | | |
| ==Модель лука с абсолютно жесткими стержнями== | | ==Модель лука с абсолютно жесткими стержнями== |
− | [[Файл:M1.png|200px|thumb|left|]]
| |
− | ''В качестве недеформированного состояния лука принимается состояние, когда плечи представляют собой два прямых стержня, концы которых соединены тетивой, имеющей некое начальное смещение.Между плечами располагается спиральная пружина конечной жесткости, моделируемая телом – точкой (т.е. она занимает нулевой объем, но при этом имеет инерцию на вращение). Плечи лука расположены симметрично относительно оси, проходящей через точку, обозначающую пружину, и середину тетивы.''<br>
| |
− | Имеет место момент, создаваемый посредством пружины, описываемый формулой <br>
| |
− | <math>M \ =\ c\varphi</math>, где где M – момент пружины, c – жесткость пружины, <math>\varphi</math> - угол отклонения плеча лука.<br>
| |
− | Поскольку конструкция лука находится в статическом равновесии в момент, когда тетива оттягивается, сила натяжения тетивы и сила натяжения лука, прикладываемая к середине тетивы, будут описываться формулами:<br>
| |
− | <math>T = \frac{c\varphi}{h}</math>, где T - сила упругости тетивы, h - плечо силы T.<br>
| |
− | <math>F \ =\ 2T\cos\beta \ =\ 2\frac{c\varphi}{h}\cos\beta</math>, где F – сила натяжения лука, <math>\beta</math> – угол, образуемый между оттягиваемой тетивой и плечом лука.<br>
| |
− | Силу, прикладываемую к луку, необходимо выразить через геометрические параметры конструкции (длину плеча лука и базу (величину начального смещения тетивы)), через величину жесткости спиральной пружины, а также через смещение тетивы.<br>
| |
− | Оказалось, что
| |
− | <math>F = F( x) \ =\ \frac{\partial F}{\partial x}(0)x+ \frac{1}{2}*\frac{\partial^2F}{\partial x^2}(0)x^2 + \frac{1}{6}*\frac{\partial^3F}{\partial x^3}(0)x^3</math><br>
| |
− | Проведенные расчеты показали, что
| |
− | <math>\frac{\partial F}{\partial 0}(0) \ =\ 0 ;\quad \frac{\partial^2F}{\partial x^2}(0) \ =\ 0</math><br>
| |
− | <math>\frac{\partial^3F}{\partial x^3}(0) \ =\ \frac{12c(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}} </math><br>
| |
− | Таким образом, <math>F( x) \ =\ \frac{2c(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}x^3</math><br>
| |
− | Энергия лука:<br>
| |
− | <math>U( x) \ =\ \frac{c(l^2 - 2x_0^2)}{2l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}x^4</math><br>
| |
− | Начальная скорость стрелы:<br>
| |
− | <math>v( x) \ =\ \frac{2\sqrt{c(l^2 - 2x_0^2)}}{lx_0\sqrt{m(l^2 - x_0^2)}}x^2</math><br>
| |
− |
| |
| ==Модель лука с упругими стержнями== | | ==Модель лука с упругими стержнями== |
− | [[Файл:M2.png|200px|thumb|left|]]
| |
− | ''Решается статическая задача в линейной постановке теории стержней. В недеформированном состоянии плечи лука представляют собой прямые стержни, находящиеся под некоторым углом к горизонту. В решаемой задаче плечи лука допустимо моделировать балками Бернулли – Эйлера, т.к. они достаточно хорошо описывают тонкие стержни. В данном случае считается, что внешние моменты отсутствуют, также можно пренебречь инерцией вращения. Кроме того, полагается, что жесткость балки Бернулли – Эйлера на поперечный сдвиг бесконечно велика, но при этом поперечная сила остается ограниченной, что приводит к тому факту, что вектор деформаций сдвига является нулевым. Распределенные нагрузки и моменты отсутствуют.''<br>
| |
− | Уравнения равновесия стержней представлены системой<br>
| |
− | <math>N' \ =\ 0</math><br>
| |
− | <math>M'+ \tau\times N\ =\ 0</math><br>
| |
− | где <math>N</math> – вектор силы в сечении плеча лука, <math>M</math> – вектор момента в сечении плеча лука, <math>\tau</math> - единичный вектор касательной к стержню в актуальной конфигурации.<br>
| |
− | Вектор деформаций в случае линейной теории стержней:<br>
| |
− | <math>\xi =u' + \tau\times\psi</math><br>
| |
− | где <math>u</math> – вектор перемещений стержня, <math>\psi</math> - вектор поворота стержня.<br>
| |
− | Учитывая, что в балке Бернулли – Эйлера деформации поперечного сдвига отсутствуют, получаем соотношение<br>
| |
− | <math>u' =-\tau\times\psi</math><br>
| |
− | Связь вектора деформации и момента в сечении:<br>
| |
− | <math>f \ = \frac{1}{с_1}kk + \frac{1}{с_2}nn + \frac{1}{с_3}\tau\tau</math><br>
| |
− | где <math>f</math> – вектор деформации, <math>c_1</math> , <math>c_2</math> – жесткости на изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях <math>c_3</math> – жесткость на кручение,<math>n</math> –вектор нормали к сечению стержня, <math>k</math> –вектор бинормали к сечению стержня.<br>
| |
− | Связь вектора деформации и вектора поворота в линейной теории стержней:<br>
| |
− | <math>f \ = \psi'</math><br>
| |
− | Решая данную систему уравнений, можно найти выражение перемещения точек плеча в зависимости от прикладываемой к нему силы:<br>
| |
− | <math>u \ = \frac{s^2}{2c_1}(l-\frac{s}{3})N_0</math><br>
| |
− | Преобразовывая полученную зависимость к искомой зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы, получаем<br>
| |
− | <math>x \ = \sqrt{p^2-(lsin\alpha-\frac{l^3}{6c_1}Fctg\alpha)^2}+lcos\alpha+\frac{l^3}{6c_1}F-x_0</math><br>
| |
− | Начальная скорость стрелы:<br>
| |
− | <math>v \ = \2\sqrt\frac{3c_1sin\alpha((x+x_0)sin\alpha+\sqrt{p^2-(l-(x+x_0)cos\alpha)^2})}{ml^3}x</math><br>
| |
− |
| |
− | ==Эффективность применения системы блоков==
| |
− | [[Файл:Block_1.png|200px|thumb|left|]]
| |
− | Для определения искомой зависимости точку B можно считать неподвижной. Плечо силы натяжения троса равно по модулю радиусу меньшего блока. Тогда, продлевая плечо BC на расстояние, равное плечу AB, можно получить рычаг, в котором будет выполнено соотношение:<br>
| |
− | <math>F\ = \frac{BC}{AB}T</math><br>
| |
− | Если блоки эксцентричные, то плечо BC будет увеличиваться при оттягивании тетивы, AB оставаться постоянной, при этом значение косинуса угла будет всегда меньше единицы, следовательно,будет уменьшаться ощущаемое стрелком усилие. <br>
| |
− | Тем не мене, круглые блоки тоже достаточно эффективны в применении, т.к. из-за того, что плечо BC всегда больше AB на протяжении оттягивания тетивы, оказывается, что сила, сгибающая плечо лука больше силы, прикладываемой к тетиве, что позволяет делать конструкции более мощными.
| |
− |
| |
| ==Эксперименты== | | ==Эксперименты== |
| * Эксперимент с классическим луком | | * Эксперимент с классическим луком |
Строка 102: |
Строка 53: |
| [[Файл:E.bmp]] | | [[Файл:E.bmp]] |
| [[Файл:V.bmp|left]] | | [[Файл:V.bmp|left]] |
− | <br><br>Построены динамические кривые, иллюстрирующие зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы для обеих моделей, а также для экспериментальной конструкции.Из графиков видно, что кривая, построенная для модели лука, в котором стержни рассматриваются как балки Бернулли – Эйлера, проходит ближе к экспериментальной, нежели динамическая кривая, характеризующая лук с абсолютно жесткими плечами. Также визуально можно оценить, что площадь под графиком, построенным для модели с упругими плечами, больше, чем площадь под графиком, описывающим другую модель. Следствием этого является тот факт, что работа и, соответственно, мощность лука с упругими плечами превышает соответствующий показатель лука с абсолютно жесткими стержнями. <br>
| + | Построены динамические кривые, иллюстрирующие зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы для обеих моделей, а также для экспериментальной конструкции.Из графиков видно, что кривая, построенная для модели лука, в котором стержни рассматриваются как балки Бернулли – Эйлера, проходит ближе к экспериментальной, нежели динамическая кривая, характеризующая лук с абсолютно жесткими плечами. Также визуально можно оценить, что площадь под графиком, построенным для модели с упругими плечами, больше, чем площадь под графиком, описывающим другую модель. Следствием этого является тот факт, что работа и, соответственно, мощность лука с упругими плечами превышает соответствующий показатель лука с абсолютно жесткими стержнями. <br> |
| Для качественной и количественной оценки мощностей луков, описываемых обеими моделями, рассматриваемыми в данной работе, построены графики зависимости энергии, накапливаемой в конструкции лука, от величины смещения тетивы. Из графиков видно, что действительно мощность лука с упругими плечами превышает мощность лука с абсолютно жесткими стержнями и точнее описывает данную характеристику при сравнении с экспериментальными данными.<br> | | Для качественной и количественной оценки мощностей луков, описываемых обеими моделями, рассматриваемыми в данной работе, построены графики зависимости энергии, накапливаемой в конструкции лука, от величины смещения тетивы. Из графиков видно, что действительно мощность лука с упругими плечами превышает мощность лука с абсолютно жесткими стержнями и точнее описывает данную характеристику при сравнении с экспериментальными данными.<br> |
| Помимо динамической кривой лука, а также его мощности, интерес представляет такая характеристика конструкции, как начальная скорость, придаваемая стреле. Видно, что зависимость начальной скорости стрелы от смещения тетивы для модели с упругими плечами точнее описывает соответствующую зависимость, построенную по экспериментальным данным, чем в случае модели с абсолютно жесткими плечами.<br> | | Помимо динамической кривой лука, а также его мощности, интерес представляет такая характеристика конструкции, как начальная скорость, придаваемая стреле. Видно, что зависимость начальной скорости стрелы от смещения тетивы для модели с упругими плечами точнее описывает соответствующую зависимость, построенную по экспериментальным данным, чем в случае модели с абсолютно жесткими плечами.<br> |
Строка 110: |
Строка 61: |
| | | |
| ==Заключение== | | ==Заключение== |
− | '''В работе рассмотрены '''
| + | С помощью математического аппарата описана конструкция классического лука. Рассмотрены две модели лука: в одной плечи представляют собой абсолютно жесткие стрежни, между которыми располагается спиральная пружина конечной жесткости, в другой плечи моделируются балками Бернулли – Эйлера, при этом задача решается в линейной постановке теории стержней. Получены характерные для моделей зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы. Показано, что в случае, когда плечи лука являются абсолютно жесткими, зависимость является кубической. Построены динамические кривые, описывающие обе модели. Проведен эксперимент с классическим прямым луком, на основе которого построена характерная для него динамическая кривая. Проведено сравнение полученных динамических кривых, в результате которого оказалось, что кривая, построенная для модели лука с упругими плечами, проходит ближе к кривой, построенной по экспериментальным данным, чем график, построенный для модели лука с абсолютно жесткими плечами. Было показано, что энергия и, следовательно, мощность лука с упругими плечами превышает мощность лука с абсолютно жесткими плечами. Также показано, что график зависимости этой энергии от смещения тетивы для модели лука с упругими плечами проходит ближе к графику, построенному по экспериментально полученной зависимости, чем для модели лука с абсолютно жесткими плечами. Помимо этого были найдены зависимости начальной скорости, придаваемой стреле, от смещения тетивы. Оказалось, что график зависимости скорости стрелы, выпущенной из лука с упругими плечами, проходит ближе к соответствующему графику, построенному по экспериментальным данным, чем график данной зависимости для лука с абсолютно жесткими плечами. Таким образом, по всем исследуемым характеристикам конструкций модель лука с упругими плечами лучше описывает реальную конструкцию. Более того, показано, что лук с упругими плечами является эффективнее лука с жесткими плечами, т.к. он обладает большей мощностью. |
− | * Модель лука с абсолютно жесткими плечами и пружиной между ними
| + | Рассмотрен блочный лук. Показано, что в случае эксцентричных блоков на динамической кривой имеется пик, в котором усилие максимально. После преодоления пика стрелку легче удерживать лук в натянутом состоянии, что позволяет ему дольше целиться. Так, система блоков позволяет конструировать более мощные луки. |
− | * Модель лука с плечами, моделируемыми балками Бернулли – Эйлера, задача решена в линейном приближении
| |
− | * Принцип работы блочного лука
| |
− | '''Оказалось, что'''
| |
− | * Мощность лука с абсолютно жесткими плечами меньше мощности лука с упругими плечами
| |
− | * Модель лука с упругими стержнями описывает реальный лук точнее, а также является эффективнее
| |
− | * Блоки позволяют удерживать в натяжении более мощные луки
| |
− | <br>
| |
| | | |
| ==Список использованных источников== | | ==Список использованных источников== |