| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 33: |
Строка 33: |
| | | | |
| | ==Модель лука с абсолютно жесткими стержнями== | | ==Модель лука с абсолютно жесткими стержнями== |
| − | [[Файл:M1.png|200px|thumb|left|]]
| |
| − | ''В качестве недеформированного состояния лука принимается состояние, когда плечи представляют собой два прямых стержня, концы которых соединены тетивой, имеющей некое начальное смещение.Между плечами располагается спиральная пружина конечной жесткости, моделируемая телом – точкой (т.е. она занимает нулевой объем, но при этом имеет инерцию на вращение). Плечи лука расположены симметрично относительно оси, проходящей через точку, обозначающую пружину, и середину тетивы.''<br>
| |
| − | Имеет место момент, создаваемый посредством пружины, описываемый формулой <br>
| |
| − | <math>M \ =\ c\varphi</math>, где где M – момент пружины, c – жесткость пружины, <math>\varphi</math> - угол отклонения плеча лука.<br>
| |
| − | Поскольку конструкция лука находится в статическом равновесии в момент, когда тетива оттягивается, сила натяжения тетивы и сила натяжения лука, прикладываемая к середине тетивы, будут описываться формулами:<br>
| |
| − | <math>T = \frac{c\varphi}{h}</math>, где T - сила упругости тетивы, h - плечо силы T.<br>
| |
| − | <math>F \ =\ 2T\cos\beta \ =\ 2\frac{c\varphi}{h}\cos\beta</math>, где F – сила натяжения лука, <math>\beta</math> – угол, образуемый между оттягиваемой тетивой и плечом лука.<br>
| |
| − | Силу, прикладываемую к луку, необходимо выразить через геометрические параметры конструкции (длину плеча лука и базу (величину начального смещения тетивы)), через величину жесткости спиральной пружины, а также через смещение тетивы.<br>
| |
| − | Оказалось, что
| |
| − | <math>F = F( x) \ =\ \frac{\partial F}{\partial x}(0)x+ \frac{1}{2}*\frac{\partial^2F}{\partial x^2}(0)x^2 + \frac{1}{6}*\frac{\partial^3F}{\partial x^3}(0)x^3</math><br>
| |
| − | Проведенные расчеты показали, что
| |
| − | <math>\frac{\partial F}{\partial 0}(0) \ =\ 0 ;\quad \frac{\partial^2F}{\partial x^2}(0) \ =\ 0</math><br>
| |
| − | <math>\frac{\partial^3F}{\partial x^3}(0) \ =\ \frac{12c(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2\sqrt{(l^2 - x_0^2)}} </math><br>
| |
| − | Таким образом, <math>F( x) \ =\ \frac{2c(l^2 - 2x_0^2)}{l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}x^3</math><br>
| |
| − | Энергия лука:<br>
| |
| − | <math>U( x) \ =\ \frac{c(l^2 - 2x_0^2)}{2l^2x_0^2(l^2 - x_0^2)}x^4</math><br>
| |
| − | Начальная скорость стрелы:<br>
| |
| − | <math>v( x) \ =\ \frac{2\sqrt{c(l^2 - 2x_0^2)}}{lx_0\sqrt{m(l^2 - x_0^2)}}x^2</math><br>
| |
| − |
| |
| | ==Модель лука с упругими стержнями== | | ==Модель лука с упругими стержнями== |
| − | [[Файл:M2.png|200px|thumb|left|]]
| + | ==Эксперимент== |
| − | ''Решается статическая задача в линейной постановке теории стержней. В недеформированном состоянии плечи лука представляют собой прямые стержни, находящиеся под некоторым углом к горизонту. В решаемой задаче плечи лука допустимо моделировать балками Бернулли – Эйлера, т.к. они достаточно хорошо описывают тонкие стержни. В данном случае считается, что внешние моменты отсутствуют, также можно пренебречь инерцией вращения. Кроме того, полагается, что жесткость балки Бернулли – Эйлера на поперечный сдвиг бесконечно велика, но при этом поперечная сила остается ограниченной, что приводит к тому факту, что вектор деформаций сдвига является нулевым. Распределенные нагрузки и моменты отсутствуют.''<br>
| |
| − | Уравнения равновесия стержней представлены системой<br>
| |
| − | <math>N' \ =\ 0</math><br>
| |
| − | <math>M'+ \tau\times N\ =\ 0</math><br>
| |
| − | где <math>N</math> – вектор силы в сечении плеча лука, <math>M</math> – вектор момента в сечении плеча лука, <math>\tau</math> - единичный вектор касательной к стержню в актуальной конфигурации.<br>
| |
| − | Вектор деформаций в случае линейной теории стержней:<br>
| |
| − | <math>\xi =u' + \tau\times\psi</math><br>
| |
| − | где <math>u</math> – вектор перемещений стержня, <math>\psi</math> - вектор поворота стержня.<br>
| |
| − | Учитывая, что в балке Бернулли – Эйлера деформации поперечного сдвига отсутствуют, получаем соотношение<br>
| |
| − | <math>u' =-\tau\times\psi</math><br>
| |
| − | Связь вектора деформации и момента в сечении:<br>
| |
| − | <math>f \ = \frac{1}{с_1}kk + \frac{1}{с_2}nn + \frac{1}{с_3}\tau\tau</math><br>
| |
| − | где <math>f</math> – вектор деформации, <math>c_1</math> , <math>c_2</math> – жесткости на изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях <math>c_3</math> – жесткость на кручение,<math>n</math> –вектор нормали к сечению стержня, <math>k</math> –вектор бинормали к сечению стержня.<br>
| |
| − | Связь вектора деформации и вектора поворота в линейной теории стержней:<br>
| |
| − | <math>f \ = \psi'</math><br>
| |
| − | Решая данную систему уравнений, можно найти выражение перемещения точек плеча в зависимости от прикладываемой к нему силы:<br>
| |
| − | <math>u \ = \frac{s^2}{2c_1}(l-\frac{s}{3})N_0</math><br>
| |
| − | Преобразовывая полученную зависимость к искомой зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы, получаем<br>
| |
| − | <math>x \ = \sqrt{p^2-(lsin\alpha-\frac{l^3}{6c_1}Fctg\alpha)^2}+lcos\alpha+\frac{l^3}{6c_1}F-x_0</math><br>
| |
| − | Начальная скорость стрелы:<br>
| |
| − | <math>v \ = \2\sqrt\frac{3c_1sin\alpha((x+x_0)sin\alpha+\sqrt{p^2-(l-(x+x_0)cos\alpha)^2})}{ml^3}x</math><br>
| |
| − | | |
| − | ==Эффективность применения системы блоков==
| |
| − | [[Файл:Block_1.png|200px|thumb|left|]]
| |
| − | Для определения искомой зависимости точку B можно считать неподвижной. Плечо силы натяжения троса равно по модулю радиусу меньшего блока. Тогда, продлевая плечо BC на расстояние, равное плечу AB, можно получить рычаг, в котором будет выполнено соотношение:<br>
| |
| − | <math>F\ = \frac{BC}{AB}T</math><br>
| |
| − | Если блоки эксцентричные, то плечо BC будет увеличиваться при оттягивании тетивы, AB оставаться постоянной, при этом значение косинуса угла будет всегда меньше единицы, следовательно,будет уменьшаться ощущаемое стрелком усилие. <br>
| |
| − | Тем не мене, круглые блоки тоже достаточно эффективны в применении, т.к. из-за того, что плечо BC всегда больше AB на протяжении оттягивания тетивы, оказывается, что сила, сгибающая плечо лука больше силы, прикладываемой к тетиве, что позволяет делать конструкции более мощными.
| |
| − | | |
| − | ==Эксперименты==
| |
| | * Эксперимент с классическим луком | | * Эксперимент с классическим луком |
| | + | Эксперимент проводился с прямым симметричным луком. Материал плеч – стеклотекстолит<br> |
| | [[Файл:Bow.jpg|200px|thumb|left|]] | | [[Файл:Bow.jpg|200px|thumb|left|]] |
| − | <br><br>Эксперимент проводился с прямым симметричным луком. Материал плеч – стеклотекстолит.<br>
| + | Ход выполнения эксперимента заключался в следующем: рукоять лука фиксировалась, затем к середине тетивы крепился груз известной массы, после чего с помощью рулетки измерялось значение смещения тетивы от положения, когда она не деформирована. Таким образом, снималась зависимость массы подвешиваемого груза от смещения тетивы, которая для дальнейших расчетов преобразовывалась в зависимость силы натяжения лука от указанного перемещения. <br> |
| − | Ход выполнения эксперимента заключался в следующем: рукоять лука фиксировалась, затем к середине тетивы крепился груз известной массы, после чего с помощью рулетки измерялось значение смещения тетивы от положения, когда она не деформирована. Таким образом, снималась зависимость массы подвешиваемого груза от смещения тетивы, которая для дальнейших расчетов преобразовывалась в зависимость силы натяжения лука от указанного перемещения. <br><br><br><br><br> | |
| − | * Эксперимент с блочным луком
| |
| − | [[Файл:Yastreb.jpg|200px|thumb|left|]]
| |
| − | <br><br>Эксперимент проводился с блочным луком «Ястреб». Лук имеет стандартные эксцентричные блоки, карбоновые плечи и рукоять из алюминий - магниевого сплава.<br>
| |
| − | Ход эксперимента такой же, как и в случае с классическим луком.<br><br><br><br><br><br>
| |
| − | | |
| | ==Результаты== | | ==Результаты== |
| | Для сравнения динамических кривых, построенных для двух моделей, описывающих лук, а также для определения расхождения их с динамической кривой, построенной по экспериментальным данным, учитывалось, что такие параметры лука, как длина плеча, а также начальное смещение тетивы в обеих моделях равны соответствующим параметрам реальной конструкции. Также было принято, что совпадают значения максимальной величины силы натяжения лука. <br> | | Для сравнения динамических кривых, построенных для двух моделей, описывающих лук, а также для определения расхождения их с динамической кривой, построенной по экспериментальным данным, учитывалось, что такие параметры лука, как длина плеча, а также начальное смещение тетивы в обеих моделях равны соответствующим параметрам реальной конструкции. Также было принято, что совпадают значения максимальной величины силы натяжения лука. <br> |
| Строка 99: |
Строка 45: |
| | <math>I \ =\ \frac{bh^3}{12}</math>, где где <math>b</math> и <math>h</math> – ширина и высота поперечного сечения соответственно.<br> | | <math>I \ =\ \frac{bh^3}{12}</math>, где где <math>b</math> и <math>h</math> – ширина и высота поперечного сечения соответственно.<br> |
| | В реальной конструкции плечо лука имеет переменную ширину и постоянную высоту сечения. Экспериментально снятые значения зависимости ширины сечения от координаты вдоль плеча аппроксимировались линейной функцией, описываемой следующей формулой: <math>b = 0.0316s + 0.01</math>. В результате осреднения момента инерции по достаточно большому количеству точек оказалось, что <math> c_1 = 24.852</math><br> | | В реальной конструкции плечо лука имеет переменную ширину и постоянную высоту сечения. Экспериментально снятые значения зависимости ширины сечения от координаты вдоль плеча аппроксимировались линейной функцией, описываемой следующей формулой: <math>b = 0.0316s + 0.01</math>. В результате осреднения момента инерции по достаточно большому количеству точек оказалось, что <math> c_1 = 24.852</math><br> |
| − | [[Файл:F(x).bmp]]
| + | Построены динамические кривые, иллюстрирующие зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы для обеих моделей, а также для экспериментальной конструкции.<br> |
| − | [[Файл:E.bmp]]
| + | [[Файл:F(x).bmp |300px|thumb|left|]] |
| − | [[Файл:V.bmp|left]]
| + | <br><br><br><br>Из графиков видно, что кривая, построенная для модели лука, в котором стержни рассматриваются как балки Бернулли – Эйлера, проходит ближе к экспериментальной, нежели динамическая кривая, характеризующая лук с абсолютно жесткими плечами. Также визуально можно оценить, что площадь под графиком, построенным для модели с упругими плечами, больше, чем площадь под графиком, описывающим другую модель. Следствием этого является тот факт, что работа и, соответственно, мощность лука с упругими плечами превышает соответствующий показатель лука с абсолютно жесткими стержнями. <br><br><br><br><br><br><br> |
| − | <br><br>Построены динамические кривые, иллюстрирующие зависимости силы натяжения лука от смещения тетивы для обеих моделей, а также для экспериментальной конструкции.Из графиков видно, что кривая, построенная для модели лука, в котором стержни рассматриваются как балки Бернулли – Эйлера, проходит ближе к экспериментальной, нежели динамическая кривая, характеризующая лук с абсолютно жесткими плечами. Также визуально можно оценить, что площадь под графиком, построенным для модели с упругими плечами, больше, чем площадь под графиком, описывающим другую модель. Следствием этого является тот факт, что работа и, соответственно, мощность лука с упругими плечами превышает соответствующий показатель лука с абсолютно жесткими стержнями. <br>
| + | Для качественной и количественной оценки мощностей луков, описываемых обеими моделями, рассматриваемыми в данной работе, построены графики зависимости энергии, накапливаемой в конструкции лука, от величины смещения тетивы <br> |
| − | Для качественной и количественной оценки мощностей луков, описываемых обеими моделями, рассматриваемыми в данной работе, построены графики зависимости энергии, накапливаемой в конструкции лука, от величины смещения тетивы. Из графиков видно, что действительно мощность лука с упругими плечами превышает мощность лука с абсолютно жесткими стержнями и точнее описывает данную характеристику при сравнении с экспериментальными данными.<br> | + | [[Файл:E.bmp |300px|thumb|left|]] |
| − | Помимо динамической кривой лука, а также его мощности, интерес представляет такая характеристика конструкции, как начальная скорость, придаваемая стреле. Видно, что зависимость начальной скорости стрелы от смещения тетивы для модели с упругими плечами точнее описывает соответствующую зависимость, построенную по экспериментальным данным, чем в случае модели с абсолютно жесткими плечами.<br> | + | Помимо динамической кривой лука, а также его мощности, интерес представляет такая характеристика конструкции, как начальная скорость, придаваемая стреле. <br> |
| − | [[Файл:Bl.bmp|left]] | + | [[Файл:V.bmp |300px|thumb|left|]] |
| − | <br><br><br>
| |
| − | По экспериментальным данным для исследуемого блочного лука построена зависимость усилия натяжения лука, от смещения тетивы. Видно, что у графика имеется пик в точке, где сила натяжения лука является максимальной и составляет 20 кгс. После прохождения пика усилие, ощущаемое стрелком, падает, но при этом накопленная в деформируемых плечах луках мощность никуда не исчезает.
| |
| | | | |
| | ==Заключение== | | ==Заключение== |
| − | '''В работе рассмотрены '''
| |
| − | * Модель лука с абсолютно жесткими плечами и пружиной между ними
| |
| − | * Модель лука с плечами, моделируемыми балками Бернулли – Эйлера, задача решена в линейном приближении
| |
| − | * Принцип работы блочного лука
| |
| − | '''Оказалось, что'''
| |
| − | * Мощность лука с абсолютно жесткими плечами меньше мощности лука с упругими плечами
| |
| − | * Модель лука с упругими стержнями описывает реальный лук точнее, а также является эффективнее
| |
| − | * Блоки позволяют удерживать в натяжении более мощные луки
| |
| − | <br>
| |
| − |
| |
| | ==Список использованных источников== | | ==Список использованных источников== |
| − | *Б.А. Виноградский. Анализ состояния и перспективы развития стрельбы из лука в мире с учетом результатов 28 Олимпийских игр в Афинах // Наука в олимпийском спорте – 2005 - № 2 - с. 60 – 68.
| |
| − | *I.F. Zaniewski. Modeling of the archery bow and arrow vibrations // Shock and Vibration – 2009 - №3 - p. 307 – 317.
| |
| − | *С. Кондратьев. Термины в стрельбе из лука [электронный ресурс] // Стрельба из лука: [сайт] – 2011 – URL: http://www.archery-sila.ru/
| |
| − | *Э. Макьюэн, А. Миллер, А. Бергман. Конструкция и изготовление древних луков. // В мире науки – 1991 - № 8 - с. 38–75.
| |
| − | *В.Н. Казанцев. Пособие для начинающих лучников [электронный ресурс] // Стрельба из лука: [сайт ] – 2009 – URL: http://www.archery-sila.ru/
| |
| − | *И.Ф. Заневский. Компьютерная модель внутренней баллистики стрелы лука // Сборник научных трудов "Вестник НТУ "ХПИ": Информатика и моделирование – 2011 - №36 - c. 78 – 86.
| |
| − | *C.N. Hickman. Dynamics of a bow and arrow // Journal of Applied Physics – 1937 - V. 8 - p. 404-409.
| |
| − | *B.W. Kooi, J.A. Sparenberg. On the static deformation of a bow // Journal of Engineering Mathematics – 1980 - V. 14, № 1 - p. 27-45.
| |
| − | *А.А. Лужин. Моделирование выстрела из лука: дис. на соискание ученой степени к.ф.-м.н. – Москва, 2008 - 103 с.
| |
| − | *T.M. Hamilton. Native American Bow. Columbia: Published by Missouri Archeological Society, 1982 – 148 p.
| |
| − | *J.L. Park. The behaviour of an arrow shot from a compound archery bow // Proc. Of the IMechE, Part P: Journal of Sports Engineering and Technology. – 2011. – V. 225, № 8. – p. 8 - 21.
| |
| − | *П.А. Жилин. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2007 - 101 с.
| |
| − | *J.E. Gordon. Structures, or why Things don't Fall Down. Harmondsworth: Published by the Penguin Books, 1978 – 395 p.
| |
