Колебания в цилиндрической поверхности (48.12)

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Версия от 11:30, 22 декабря 2017; 10.210.20.107 (обсуждение) (→‎Визуализация)

Перейти к: навигация, поиск

Формулировка задачи

Составить уравнение движения материальной точки, движущейся под влиянием силы тяжести по циклоидальной направляющей, заданной уравнением s = a*sin φ

Решение

Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением Лагранжа 2-го рода


[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = - \frac{\partial \Pi}{\partial q_i} [/math] , где 

T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимые обобщенные координаты

Скорость материальной точки определяется первой производной пути по времени (уравнение пути нам задано в условии). Дальше с помощью уравнения Лагранжа мы найдём частные производные. Найдем обобщённую силу и подставим найденные нами значения в уравнение Лагранжа с учётом данной нам зависимости пути и получим искомый ответ.


Скорость мат. точки [math]\dot{s}=\frac{d(4aSinφ)}{dt}=4a\dot{φ}Cosφ[/math]

уравнение Лагранжа [math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = - \frac{\partial \Pi}{\partial q_i} [/math]

Используемые библиотеки

Для моделирования колебаний данного маятника используется язык программирования JavaScript и следующие библиотеки:

  • three.js
  • dat.gui.js
  • stats.js
  • ​OrbitControls.js

Визуализация

/*<!DOCTYPE html> <html> <head> <title>Kursach</title> <script type="text/javascript" src=" http://tm.spbstu.ru/htmlets/libs/three.min.js"></script> 

    	 <script src ="http://tm.spbstu.ru/htmlets/libs/OrbitControls.js"></script>
   	<script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/libs/stats.min.js"></script>
   	<script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/libs/dat.gui.min.js"></script>

<script src="https://code.jquery.com/jquery-1.9.1.js" integrity="sha256-e9gNBsAcA0DBuRWbm0oZfbiCyhjLrI6bmqAl5o+ZjUA=" crossorigin="anonymous"></script> <style> body{ /* set margin to 0 and overflow to hidden, to use the complete page */ margin: 0; overflow: hidden; } </style> </head> <body>

<script type="text/javascript"> // once everything is loaded, we run our Three.js stuff. $(function () { var dt = 1/60; var g = 9.8; var controls = new function() { this.m = 2; this.animate = false; this.fi0 = Math.PI/4; this.fi = this.fi0; this.a = 1; this.t = 0; 

					this.s=0 ;

this.calculate = function() { 

						this.fi = this.fi0*Math.sin(-0.5*Math.sqrt(g/this.a)*this.t+this.fi0);

//this.fi = (this.s/4/this.a); this.s = 4*this.a*this.fi; 

					}

this.calculate(); this.setDefault = function() { this.t = 0; this.fi = this.fi0; } } var gui = new dat.GUI(); var fi0Change = gui.add(controls, 'fi0',0,Math.PI/2); var aChange = gui.add(controls, 'a',0.2,2); var fiChange = gui.add(controls, 'fi').listen(); var sChange = gui.add(controls, 's').listen(); var tChange = gui.add(controls, 't').listen(); var animateChange = gui.add(controls, 'animate');

fi0Change.onFinishChange(function(value) { controls.setDefault(); controls.calculate(); });

aChange.onFinishChange(function(value) { controls.setDefault(); controls.calculate(); });

animateChange.onFinishChange(function(value) { controls.setDefault(); controls.calculate(); });

fi0Change.onFinishChange(function(value) { controls.setDefault(); controls.calculate(); });


var scene = new THREE.Scene();

//* var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth / window.innerHeight , 0.1, 1000); camera.position.x = -25/2; camera.position.y = 40/2; camera.position.z = 30/2; //*/ /*z var camera1 = new THREE.OrthographicCamera( window.innerWidth / - 50, window.innerWidth / 50, window.innerHeight / 50, window.innerHeight / - 50, 1, 100 ); camera1.position.x = 0; camera1.position.y = 0; camera1.position.z = 30; */ var radius; var renderer = new THREE.WebGLRenderer(); renderer.setClearColor(0xEEEEEE); renderer.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight); radius = 4*controls.a; while(scene.children.length > 0){ scene.remove(scene.children[0]); } var axes = new THREE.AxesHelper( 20 ); 

              		control = new THREE.OrbitControls(camera,renderer.domElement);

//scene.add(axes); // ����������� var planeGeometry = new THREE.PlaneGeometry(radius*2,10,30,5); var planeMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x6F482A, side: THREE.DoubleSide, wireframe: false}); var plane = new THREE.Mesh(planeGeometry,planeMaterial); plane.rotation.x=-0.5*Math.PI; plane.position.x = 0; plane.position.y = 0; plane.position.z = 0; plane.receiveShadow = true; scene.add(plane); //�������������� ����������� var geometry = new THREE.CylinderGeometry(radius, radius, 10, 32, 5, 0, 0, Math.PI); var material = new THREE.MeshLambertMaterial( {color: 0x6F482A, side: THREE.DoubleSide, wireframe: false} ); var cylinder = new THREE.Mesh( geometry, material ); cylinder.rotation.set(0,Math.PI*0.5,Math.PI*1.5); cylinder.position.set(0,radius,0); cylinder.receiveShadow = true; cylinder.castShadow = true; scene.add( cylinder ); //����� var geometry = new THREE.SphereGeometry( radius/8, 16, 16 ); var material = new THREE.MeshLambertMaterial( {color: 0xA8A8A8, side: THREE.DoubleSide, wireframe: false} ); var sphere = new THREE.Mesh( geometry, material ); sphere.position.set(radius*Math.sin(controls.fi)-radius/8*Math.sin(controls.fi),radius*(1-Math.cos(controls.fi))+radius/8*Math.cos(controls.fi),0); sphere.castShadow = true; scene.add( sphere ); //������ var c1 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0.05,0.05,2,32,5,1,0,2*Math.PI), new THREE.MeshBasicMaterial({color: 0xff0000})); c1.position = sphere.position; c1.rotation.set(0 ,controls.fi,0); scene.add(c1); var c2 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0,0.2,0.5,32,5,1,0,2*Math.PI), new THREE.MeshBasicMaterial({color: 0xff0000})); c2.position = sphere.position; c2.rotation.set(0 ,controls.fi,0); scene.add(c2);

// ���� var spotLight = new THREE.SpotLight( 0xffffff ); spotLight.position.set( 0, 80, 0 ); spotLight.castShadow = true; scene.add(spotLight ); camera.lookAt(scene.position); function renderScene() { if(controls.animate) {controls.t+=dt;} controls.calculate(); sphere.position.set(radius*Math.sin(controls.fi)-radius/8*Math.sin(controls.fi),radius*(1-Math.cos(controls.fi))+radius/8*Math.cos(controls.fi),0); c1.position.set(sphere.position.x-Math.sin(controls.fi),sphere.position.y+Math.cos(controls.fi),sphere.position.z); c1.rotation.set(0,0,controls.fi); c2.position.set(sphere.position.x-2*Math.sin(controls.fi),sphere.position.y+2*Math.cos(controls.fi),sphere.position.z); c2.rotation.set(0,0,controls.fi); requestAnimationFrame(renderScene); renderer.render(scene, camera); } go = function() {

$("#WebGL-output").append(renderer.domElement); renderScene(); }; go(); }); </script> </body> </html> /*

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Колебания_в_цилиндрической_поверхности_(48.12)&oldid=49394»