Редактирование: КП: Тензор жесткости кристалла

[[А.М. Кривцов]] > [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретическая механика]] > [[Курсовые проекты ТМ 2013|Курсовые проекты 2013]] > '''Тензор жесткости кристалла''' <HR>


'''''Курсовой проект по [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретической механике]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Ванюшкина Валентина]]

'''Группа:''' [[Группа 07|07]] (20510)

'''Семестр:''' весна 2013

== Аннотация проекта ==
Проект посвящен тензору жесткости кристаллов.

Дадим определение тензору жесткости:
Энергия деформирования W линейно-упругого материала может быть
представлена в виде: <math>W = \frac{1}{2} { \varepsilon \cdot \cdot ^4C \cdot \cdot \varepsilon}</math>
где тензор C называют тензором жесткости материала.

Тензор жесткости C устанавливает связь между тензором напряжений τ и тензором
деформации ε: <math>\tau = \frac{dW}{d\varepsilon} ={  ^4C \cdot \cdot \varepsilon}</math>

== Постановка задачи ==
Необходимо вывести формулу тензора жесткости для наиболее часто-встречающихся кристаллических решеток. (ГЦК, ОЦК, кубическая).
Кристалл представлен в виде набора линейных пружин одинаковой жесткости. Каждая пружина соединяет центр координат с узлом решетки. Известна их жесткость, длина и расположение. Необходимо найти тензор жесткости данной системы.

<math>C</math> — тензор жесткости

<math>c</math> — линейная жесткость каждой пружины

<math>n</math> — количество пружин(узлов решетки)

<math>a</math> — длина пружины для двумерного случая и сторона куба в 3-х мерном случае.

<math>e_{i}</math> единичный направляющий вектор

== Общие сведения по теме == 
'''Гранецентрированная кубическая решетка'''

[[Файл:Yacheika GCK.gif]]

Атомы расположены в центрах граней и вершинах кубов, плотно заполняющих пространство. Соответствует одной из возможных плотных упаковок шаров в пространстве. Этой решеткой обладает ряд металлов(алюминий, золото, медь, серебро, никель, платина и др.) ее образуют при конденсации инертные газы.


'''Объемно центрированная решётка'''

[[Файл:Yacheika OCK.gif]]

Основу ОЦК-решетки составляет элементарная кубическая ячейка (рис. 1.2,б), в которой положительно заряженные ионы металла находятся в вершинах куба, и еще один атом в центре его объема, т. е. на пересечении его диагоналей. Такой тип решетки в определенных диапазонах температур имеют железо, хром, ванадий, вольфрам, молибден и др. металлы.

'''Кубическая решетка''' 

[[Файл:Yacheika CUBE.gif]]

Простейший, но редко встречающийся тип решетки. Атомы расположены на вершинах куба.

== Решение ==
''Первый этап''

Нахождение тензора жесткости второго порядка для плоской задачи, при равномерном радиальном расположении пружин одинаковой жесткости.

<math> ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math>

Результат:
<math> ^2 C = \frac{cna} {2} E </math>  — общая формула, для нахождения тензора жесткости в этом случае, где Е — плоский единичный тензор 2-го ранга. 

''Второй этап''

Нахождение тензора жесткости 2-го и 4-го порядков для основных типов кристаллических решеток.(ОЦК, ГЦК, Кубическая)

<math> ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math>

<math> ^4 C = a^4 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}e_{i}e_{i}}</math>

Результат: <math> ^2 C = \frac{cn {a}^2} {3}</math>
Для тензора 4-го ранга результат будет получен в ближайшее время.

== Обсуждение результатов и выводы ==
Получили, что тензор жесткости второго ранга шаровой,а значит изотропный. Следовательно, можно ожидать, что тензоры жесткости 3-го и 4-го рангов будут изотропными.

== Ссылки по теме ==

* [[Проект "Кристалл"]]

== См. также ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ 2012|Курсовые проекты 2012]]
* [[Курсовые проекты ТМ 2013|Курсовые проекты 2013]]


[[Category: Студенческие проекты]]