КП: Тензор жесткости кристалла

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2013 > Тензор жесткости кристалла


Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Ванюшкина Валентина

Группа: 07 (20510)

Семестр: весна 2013

Аннотация проекта[править]

Проект посвящен тензору жесткости кристаллов.

Дадим определение тензору жесткости: Энергия деформирования W линейно-упругого материала может быть представлена в виде: [math]W = \frac{1}{2} { \varepsilon \cdot \cdot ^4C \cdot \cdot \varepsilon}[/math] где тензор C называют тензором жесткости материала.

Тензор жесткости C устанавливает связь между тензором напряжений τ и тензором деформации ε: [math]\tau = \frac{dW}{d\varepsilon} ={ ^4C \cdot \cdot \varepsilon}[/math]

Постановка задачи[править]

Необходимо вывести формулу тензора жесткости для наиболее часто-встречающихся кристаллических решеток. (ГЦК, ОЦК, кубическая). Кристалл представлен в виде набора линейных пружин одинаковой жесткости. Каждая пружина соединяет центр координат с узлом решетки. Известна их жесткость, длина и расположение. Необходимо найти тензор жесткости данной системы.

[math]C[/math] — тензор жесткости

[math]c[/math] — линейная жесткость каждой пружины

[math]n[/math] — количество пружин(узлов решетки)

[math]a[/math] — длина пружины для двумерного случая и сторона куба в 3-х мерном случае.

[math]e_{i}[/math] — единичный направляющий вектор

Общие сведения по теме[править]

Гранецентрированная кубическая решетка

Yacheika GCK.gif

Атомы расположены в центрах граней и вершинах кубов, плотно заполняющих пространство. Соответствует одной из возможных плотных упаковок шаров в пространстве. Этой решеткой обладает ряд металлов(алюминий, золото, медь, серебро, никель, платина и др.) ее образуют при конденсации инертные газы.


Объемно центрированная решётка

Yacheika OCK.gif

Основу ОЦК-решетки составляет элементарная кубиче­ская ячейка (рис. 1.2,б), в которой положительно заряжен­ные ионы металла находятся в вершинах куба, и еще один атом в центре его объема, т. е. на пересечении его диагоналей. Такой тип решетки в определенных диапазонах температур имеют железо, хром, ванадий, вольфрам, молибден и др. металлы.

Кубическая решетка

Yacheika CUBE.gif

Простейший, но редко встречающийся тип решетки. Атомы расположены на вершинах куба.

Решение[править]

Первый этап

Нахождение тензора жесткости второго порядка для плоской задачи, при равномерном радиальном расположении пружин одинаковой жесткости.

[math] ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}[/math]

Результат: [math] ^2 C = \frac{cna} {2} E [/math]  — общая формула, для нахождения тензора жесткости в этом случае, где Е — плоский единичный тензор 2-го ранга.

Второй этап

Нахождение тензора жесткости 2-го и 4-го порядков для основных типов кристаллических решеток.(ОЦК, ГЦК, Кубическая)

[math] ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}[/math]

[math] ^4 C = a^4 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}e_{i}e_{i}}[/math]

Результат: [math] ^2 C = \frac{cn {a}^2} {3}[/math]

Для тензора 4-го ранга результат будет получен в ближайшее время.

Обсуждение результатов и выводы[править]

Получили, что тензор жесткости второго ранга шаровой,а значит изотропный. Следовательно, можно ожидать, что тензоры жесткости 3-го и 4-го рангов будут изотропными.

Ссылки по теме[править]

См. также[править]