Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 11: |
Строка 11: |
| | | |
| == Аннотация проекта == | | == Аннотация проекта == |
− | Проект посвящен тензору жесткости кристаллов. | + | Проект посвящен тензору жесткости в кристаллах. |
− | | |
− | Дадим определение тензору жесткости:
| |
− | Энергия деформирования W линейно-упругого материала может быть
| |
− | представлена в виде: <math>W = \frac{1}{2} { \varepsilon \cdot \cdot ^4C \cdot \cdot \varepsilon}</math>
| |
− | где тензор C называют тензором жесткости материала.
| |
− | | |
− | Тензор жесткости C устанавливает связь между тензором напряжений τ и тензором
| |
− | деформации ε: <math>\tau = \frac{dW}{d\varepsilon} ={ ^4C \cdot \cdot \varepsilon}</math>
| |
| | | |
| == Постановка задачи == | | == Постановка задачи == |
− | Необходимо вывести формулу тензора жесткости для наиболее часто-встречающихся кристаллических решеток. (ГЦК, ОЦК, кубическая).
| |
− | Кристалл представлен в виде набора линейных пружин одинаковой жесткости. Каждая пружина соединяет центр координат с узлом решетки. Известна их жесткость, длина и расположение. Необходимо найти тензор жесткости данной системы.
| |
− |
| |
− | <math>C</math> — тензор жесткости
| |
− |
| |
− | <math>c</math> — линейная жесткость каждой пружины
| |
− |
| |
− | <math>n</math> — количество пружин(узлов решетки)
| |
− |
| |
− | <math>a</math> — длина пружины для двумерного случая и сторона куба в 3-х мерном случае.
| |
− |
| |
− | <math>e_{i}</math> — единичный направляющий вектор
| |
− |
| |
− | == Общие сведения по теме ==
| |
− | '''Гранецентрированная кубическая решетка'''
| |
− |
| |
− | [[Файл:Yacheika GCK.gif]]
| |
− |
| |
− | Атомы расположены в центрах граней и вершинах кубов, плотно заполняющих пространство. Соответствует одной из возможных плотных упаковок шаров в пространстве. Этой решеткой обладает ряд металлов(алюминий, золото, медь, серебро, никель, платина и др.) ее образуют при конденсации инертные газы.
| |
− |
| |
− |
| |
− | '''Объемно центрированная решётка'''
| |
− |
| |
− | [[Файл:Yacheika OCK.gif]]
| |
− |
| |
− | Основу ОЦК-решетки составляет элементарная кубическая ячейка (рис. 1.2,б), в которой положительно заряженные ионы металла находятся в вершинах куба, и еще один атом в центре его объема, т. е. на пересечении его диагоналей. Такой тип решетки в определенных диапазонах температур имеют железо, хром, ванадий, вольфрам, молибден и др. металлы.
| |
− |
| |
− | '''Кубическая решетка'''
| |
− |
| |
− | [[Файл:Yacheika CUBE.gif]]
| |
| | | |
− | Простейший, но редко встречающийся тип решетки. Атомы расположены на вершинах куба.
| + | == Общие сведения по теме == |
| | | |
| == Решение == | | == Решение == |
− | ''Первый этап''
| |
− |
| |
− | Нахождение тензора жесткости второго порядка для плоской задачи, при равномерном радиальном расположении пружин одинаковой жесткости.
| |
− |
| |
− | <math> ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math>
| |
− |
| |
− | Результат:
| |
− | <math> ^2 C = \frac{cna} {2} E </math> — общая формула, для нахождения тензора жесткости в этом случае, где Е — плоский единичный тензор 2-го ранга.
| |
− |
| |
− | ''Второй этап''
| |
− |
| |
− | Нахождение тензора жесткости 2-го и 4-го порядков для основных типов кристаллических решеток.(ОЦК, ГЦК, Кубическая)
| |
− |
| |
− | <math> ^2 C = a^2 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}}</math>
| |
− |
| |
− | <math> ^4 C = a^4 \sum^{n}_{i=0} {c_{i}e_{i}e_{i}e_{i}e_{i}}</math>
| |
− |
| |
− | Результат: <math> ^2 C = \frac{cn {a}^2} {3}</math>
| |
− |
| |
− | Для тензора 4-го ранга результат будет получен в ближайшее время.
| |
| | | |
| == Обсуждение результатов и выводы == | | == Обсуждение результатов и выводы == |
− | Получили, что тензор жесткости второго ранга шаровой,а значит изотропный. Следовательно, можно ожидать, что тензоры жесткости 3-го и 4-го рангов будут изотропными.
| |
| | | |
| == Ссылки по теме == | | == Ссылки по теме == |
− |
| |
− | * [[Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов]]
| |
| | | |
| * [[Проект "Кристалл"]] | | * [[Проект "Кристалл"]] |