Редактирование: КП: Диск Эйлера

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 20: Строка 20:
  
 
== Постановка задачи ==
 
== Постановка задачи ==
−
[[Файл:Euler.jpg|350px]]
 
−
<br> Рассмотрим стационарное движение твердого диска с одной точкой касания без диссипаций.
 
−
Для описания тела будем использовать единичный вектор нормали <math> \underline{n} </math> и вектор <math> \underline{a} </math> , находящегося в плоскости диска с длиной, равной радиусу диска.
 
  
 
== Общие сведения по теме ==
 
== Общие сведения по теме ==
 
Повышенный интерес к диску Эйлера возник после опубликования работы К. Моффатта,
 
Повышенный интерес к диску Эйлера возник после опубликования работы К. Моффатта,
 
в которой резкое прекращение движения диска объясняется прежде всего воздействием силы
 
в которой резкое прекращение движения диска объясняется прежде всего воздействием силы
−
вязкого сопротивления воздуха. Эта теория вызвала значительную дискуссию и развитие
+
вязкого сопротивления воздуха [2]. Эта теория вызвала значительную дискуссию и развитие
 
конкурентных гипотез о природе основного механизма диссипации энергии для диска Эйлера.
 
конкурентных гипотез о природе основного механизма диссипации энергии для диска Эйлера.
−
Ван ден Энг (van den Engh) с соавторами провели некоторые эксперименты по движению дископодобных тел, свидетельствующие не в пользу гипотезы о вязком трении. В ответ на работу
+
Ван ден Энг (van den Engh) с соавторами провели некоторые эксперименты по движению дис-
 +
коподобных тел, свидетельствующие не в пользу гипотезы о вязком трении. В ответ на работу
 
Моффатта они опубликовали свое объяснение, ключевым пунктом которого является наличие
 
Моффатта они опубликовали свое объяснение, ключевым пунктом которого является наличие
−
скольжения при контакте диска и поверхности. Критика выводов и краткое обсуждение
+
скольжения при контакте диска и поверхности [4]. Критика выводов [2] и краткое обсуждение
−
возможных источников диссипации содержатся также в неопубликованной заметке Э. Руины.
+
возможных источников диссипации содержатся также в неопубликованной заметке Э. Руины [3].
 
Авторами последовавших экспериментальных и теоретических работ исследовался вопрос
 
Авторами последовавших экспериментальных и теоретических работ исследовался вопрос
−
о наличии и степени влияния определенных типов трения на различных этапах движения диска. Были численно и аналитически исследованы модели системы с различными ограничениями, проведен анализ полученных экспериментальных данных. Эти исследования в основном указывают на то, что основными диссипативными силами, вызывающими вибрацию и
+
о наличии и степени влияния определенных типов трения на различных этапах движения дис-
 +
ка [6, 7, 9–13]. Были численно и аналитически исследованы модели системы с различными огра-
 +
ничениями, проведен анализ полученных экспериментальных данных. Эти исследования в ос-
 +
новном указывают на то, что основными диссипативными силами, вызывающими вибрацию и
 
остановку диска, являются силы трения качения и трения скольжения, нежели силы вязкого
 
остановку диска, являются силы трения качения и трения скольжения, нежели силы вязкого
 
трения. Из немногих предположений о физике этих эффектов стоит упомянуть, как наиболее
 
трения. Из немногих предположений о физике этих эффектов стоит упомянуть, как наиболее
−
естественную, гипотезу Кесслера и О’Рейли, что резкая остановка диска происходит в результате потери контакта между диском и поверхностью в процессе вибраций при малом угле
+
естественную, гипотезу Кесслера и О’Рейли [10], что резкая остановка диска происходит в ре-
−
наклона диска. (Для проверки этой гипотезы потребуется рассматривать деформируемую модель для контактирующих тел.)
+
зультате потери контакта между диском и поверхностью в процессе вибраций при малом угле
 +
наклона диска. (Для проверки этой гипотезы потребуется рассматривать деформируемую мо-
 +
дель для контактирующих тел.)
  
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 
Запишем кинетический момент сиcтемы:
 
Запишем кинетический момент сиcтемы:
 
<br>
 
<br>
−
<math> \dot{\underline{K}} =  \dot{ \left( \underline{\underline{\Theta}} \cdot \underline{\omega}  \right) } = \underline{M} </math>
+
<math> \dot{\b{\b{K}}} =  \dot{ \left( \b{\b{O}} \cdot \b{w}  \right) } = \b{M} </math>
 
<br>
 
<br>
−
<math> \dot{\underline{K}} = \Theta_{12} \underline{n} \times \ddot{\underline{n}} + \Theta_3 \dot{ \left(\Omega \underline{n} \right) } </math>
+
<math> \dot{\b{\b{K}}} = \Theta_{12} \b{n} \times \dot{\b{n}} + \Theta_3 \dot{ \left(\Omega \b{n} \right) } </math>
 
<br>Положим
 
<br>Положим
−
<br> <math> \eta = \underline{k} \cdot \underline{n} = \cos(\vartheta) </math>
+
<br> <math> \eta = \b{k} \cdot \b{n} = \cos( O) </math>
−
<br> <math> \varepsilon = \underline{k} \times \underline{n} = \sin(\vartheta) </math>
+
<br> <math> \epsilon = \b{k} \times \b{n} = \sin( O) </math>
 
<br> Имеем далее
 
<br> Имеем далее
 
<br>
 
<br>
 
<math>\left\{   
 
<math>\left\{   
−
           \begin{array}{lcl}   
+
           \begin{array}{rcl}   
−
           \underline{a} \perp \underline{k} \times \underline{n} \\  
+
           \b{a} \perp \b{k} \times \b{n} \\  
 
          
 
          
−
             \underline{a} \perp \underline{n} \\   
+
             \b{a} \perp \b{n} \\   
 
              
 
              
 
           \end{array}   
 
           \end{array}   
Строка 61: Строка 64:
 
<br>
 
<br>
 
<br> Из этого следует:
 
<br> Из этого следует:
−
<br> <math> \underline{a} \parallel \left[ \underline{n} \times ( \underline{k} \times \underline{n}) \right ] </math>
+
<br> <math> \b{a} \parallel \left[ \b{n} \times ( \b{k} \times \b{n} \right ] </math>
 
<br> Имеем
 
<br> Имеем
−
<br> <math> \underline{n} \times ( \underline{k} \times \underline{n} ) = \underline{k} ( \underline{n} \cdot \underline{n}) - \underline{n} (\underline{n} \cdot \underline{k}) = \underline{k} - \eta \underline{n} </math>
+
<br> <math> \b{n} \times ( \b{k} \times \b{n} ) = \b{k} ( \b{n} \cdot \b{n}) - \b{n} (\b{n} \cdot \b{k}) = \b{k} - \eta \b{n} </math>
−
<br> Таким образом можем представить вектор <math> \underline{a} </math> следующим образом:
+
<br> Таким образом можем представить вектор <math> \b{a} </math> следующим образом:
−
<br> <math> \underline{a} = \lambda( \underline{k} - \eta \underline{n}) </math>
+
<br> <math> \b{a} = \lambda( \b{k} - \eta \b{n}) </math>
 
<br> Имеем далее:
 
<br> Имеем далее:
−
<br> <math> a^2 = \lambda^2(1 - \eta^2) =  \lambda^2 \varepsilon </math>
+
<br> <math> a^2 = \lambda^2(1 - \eta^2) =  \lambda^2 \epsilon </math>
 
<br> Таким образом
 
<br> Таким образом
 
<br> <math> \lambda = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } </math>
 
<br> <math> \lambda = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } </math>
−
<br> Недтрудно понять что вектор <math> \underline{a} </math> в таком случае записывается в следующем виде:
+
<br> Недтрудно понять что вектор <math> \b{a} </math> в таком случае записывается в следующем виде:
−
<br> <math> \underline{a} = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } ( \underline{k} - \eta \underline{n}) </math>
+
<br> <math> \b{a} = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } ( \b{k} - \eta \b{n}) </math>
 
<br> Имеем далее:
 
<br> Имеем далее:
−
<br> <math> \frac{ \underline{a} } {a} = \frac{ \underline{k} - \eta \underline{n} } { \left| \underline{k} - \eta \underline{n} \right| } </math>
+
<br> <math> \frac{ \b{a} } {a} = \frac{ \b{k} - \eta \b{n} } { \left| \b{k} - \eta \b{n} \right| } </math>
 
<br> Получаем таким образом:
 
<br> Получаем таким образом:
−
<br> <math> \underline{a} = \frac{a}{\varepsilon} (\underline{k} - \eta \underline{n}) </math>
+
<br> <math> \b{a} = \frac{a}{\epsilon} (\b{k} - \eta \b{n}) </math>
 
<br> Теперь запишем соотношения для сил и моментов:
 
<br> Теперь запишем соотношения для сил и моментов:
−
<br> <math> m \ddot{\underline{r}} = m \underline{g} + \underline{N} = (N - mg) \underline{k} </math>
+
<br> <math> m \dot{\b{r}} = m \b{g} + \b{N} = (N - mg) \b{k} </math>
−
<br> <math> \dot{ \left( \underline{\underline{O}} \cdot \underline{w}  \right) } = \underline{a} \times \underline{N} </math>
+
<br> <math> \dot{ \left( \b{\b{O}} \cdot \b{w}  \right) } = \b{a} \times \b{N} </math>
−
<br> <math> \underline{N} = N \underline{k} </math>
+
<br> <math> \b{N} = N \b{k} </math>
 
<br> Таким образом имеем:
 
<br> Таким образом имеем:
−
<br> <math> \underline{a} \times \underline{N} = \frac{a \eta}{ e} N \underline{k} \times \underline{n} </math>
+
<br> <math> \b{a} \times \b{N} = \frac{a \eta}{ e} N \b{k} \times \b{n} </math>
−
<br> В результате получаем систему, описывающую движение тела:
+
<br> В результате получаем систему:
−
<br> <math>\left\{ 
 
−
          \begin{array}{lcl} 
 
−
            \Theta_{12} \underline{n} \times \ddot{\underline{n}} + \Theta_3 \dot{ \left(\Omega \underline{n} \right) } + a \frac{\eta}{\varepsilon} N \underline{n} \times \underline{k} = 0\;(1)\\
 
−
       
 
−
            m \ddot{z} = N - mg \\
 
−
              z = - a \varepsilon \\
 
−
           
 
−
          \end{array} 
 
−
          \right.  </math>
 
−
 
 
−
<br>Будем искать решение для стационарного движения:
 
−
<br> <math>\left\{ 
 
−
          \begin{array}{lcl} 
 
−
          \underline{\omega} = \dot{\psi} \underline{k} + \dot{\varphi} \underline{n} \\
 
−
          \underline{\omega} \times \underline{a} = 0
 
−
\end{array}
 
−
\right. </math>
 
−
<br> Тогда:
 
−
<br> <math> \dot{ \underline{n}} = \dot{\psi} \underline{k} \times \underline{n} </math>
 
−
<br> <math> \ddot{ \underline{n}} =  (\dot{\psi} )^2 \left( \underline{k}\cos{\vartheta} - \underline{n} \right) </math>
 
−
<br> <math> \Omega = \underline{ \omega } \cdot \underline{n} = \dot{ \psi } \cos( \vartheta ) + \dot{ \phi } </math>
 
−
<br> <math> \dot{\left( \Omega \underline{n} \right)} = \Omega \dot{ \underline{n}} = \Omega \dot{ \psi } \underline{k} \times \underline{n} </math>
 
−
<br> Подставляем полученные выражения в уравнение (1)
 
−
<br> <math> \left[ -\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 (\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 \dot{\phi}\dot{\psi} + a \cot \vartheta N \right] \underline{n} \times \underline {k} = 0 </math>
 
−
<br> Получаем уравнение:
 
−
<br> <math>-\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 (\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 \dot{\phi}\dot{\psi} + a \cot \vartheta N  = 0 </math> <br>получаем:
 
−
<br> <math> \underline{\omega} \times \underline{a} = 0 </math>
 
−
<br> <math> \left( \dot{\psi} \underline{k} + \dot{\varphi} \underline{n}\right) \times \underline{a} = 0 </math>
 
−
<br> <math> \dot{\psi} \underline{k} \times \underline{a} + \dot{\varphi} \underline{n} \times \underline{a} = 0 </math>
 
−
<br> <math> a \left( \dot{ \psi } \cot( \vartheta) + \frac{ \dot{ \varphi } }  \sin( \vartheta) \right) = 0 </math>
 
−
<br> Получаем систему:
 
−
<br> <math>\left\{ 
 
−
          \begin{array}{lcl} 
 
−
          -\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 (\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 \dot{\phi}\dot{\psi} + a \cot \vartheta N  = 0  \\
 
−
            m \ddot{z} = N - mg; z = - a \sin( \vartheta ) \\
 
−
          \dot{ \psi } \sin( \vartheta ) + \dot{ \varphi } = 0
 
−
\end{array}
 
−
\right. </math>
 
−
<br> Имеем: <math> \ddot{z} = 0 </math>
 
−
<br> Таким образом <math> N = mg </math>
 
−
<br> Имеем
 
−
<br> <math> -(\dot{\psi} )^2 \cos \vartheta ( \Theta_3 + \Theta_{12} ) - \Theta_3 (\dot{\psi} )^2\sin\vartheta + a \cot \vartheta N = 0 </math>
 
−
<br> Получаем следующую зависимость:
 
−
<br> <math> \dot{ \psi } = \sqrt{ \frac{a m g \cot( \vartheta)}{ \sin\vartheta \Theta_3 + \cos\vartheta\left( \Theta_{3} + \Theta_{12} \right) } } </math>
 
  
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
 
== Обсуждение результатов и выводы ==
−
В результате работы найден простой метод описания данной динамической системы, получено уравнение стационарного движения. Получена зависимость угловой скорости прецесси <math> \dot{\psi} </math>  от угла <math> \vartheta </math> между нормалью с плоскости диска и вертикалью .
 
−
[[Файл:Graph_euler_disc.jpg|слева|frame|Зависимость угловой скорости прецессии <math> \dot{\psi} </math> от угла <math> \vartheta </math> между нормалью к плоскости диска и вертикалью |450px]]
 
−
<br clear="all"/>
 
  
 
== Ссылки по теме ==
 
== Ссылки по теме ==
Вам запрещено изменять защиту статьи.
Связанное содержимое ↓
Edit Создать редактором
Шаблоны быстрого доступа

Обратите внимание, что все добавления и изменения текста статьи рассматриваются как выпущенные на условиях лицензии Public Domain (см. Department of Theoretical and Applied Mechanics:Авторские права). Если вы не хотите, чтобы ваши тексты свободно распространялись и редактировались любым желающим, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого.
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ МАТЕРИАЛЫ, ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ!

To protect the wiki against automated edit spam, we kindly ask you to solve the following CAPTCHA:

Отменить | Справка по редактированию  (в новом окне)
Источник — «http://tm.spbstu.ru/КП:_Диск_Эйлера»