Редактирование: КП: Диск Эйлера

[[А.М. Кривцов]] > [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретическая механика]] > [[Курсовые проекты ТМ 2013|Курсовые проекты 2013]] > '''Диск Эйлера''' <HR>

[[Файл:Eulerdisc.png|справа|350px]]

'''''Курсовой проект по [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретической механике]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Соколов Алексей]]

'''Группа:''' [[Группа 07|07]] (20510)

'''Семестр:''' весна 2013

== Аннотация проекта ==
Диск Эйлера – это твёрдое цилиндрическое тело, имеющее единственную точку контакта с горизонтальной поверхностью, по которой он одновременно и катится, и вращается.
Интересно, что движение диска имеет две особенности: резкое увеличение частоты слышимого звука в конце вращения и внезапную остановку диска. Причем вращающийся диск никогда не теряет контакта с поверхностью.

== Постановка задачи ==
[[Файл:Euler.jpg|350px]]
<br> Рассмотрим стационарное движение твердого диска с одной точкой касания без диссипаций.
Для описания тела будем использовать единичный вектор нормали <math> \underline{n} </math> и вектор <math> \underline{a} </math> , находящегося в плоскости диска с длиной, равной радиусу диска.

== Общие сведения по теме ==
Повышенный интерес к диску Эйлера возник после опубликования работы К. Моффатта,
в которой резкое прекращение движения диска объясняется прежде всего воздействием силы
вязкого сопротивления воздуха. Эта теория вызвала значительную дискуссию и развитие
конкурентных гипотез о природе основного механизма диссипации энергии для диска Эйлера.
Ван ден Энг (van den Engh) с соавторами провели некоторые эксперименты по движению дископодобных тел, свидетельствующие не в пользу гипотезы о вязком трении. В ответ на работу
Моффатта они опубликовали свое объяснение, ключевым пунктом которого является наличие
скольжения при контакте диска и поверхности. Критика выводов и краткое обсуждение
возможных источников диссипации содержатся также в неопубликованной заметке Э. Руины.
Авторами последовавших экспериментальных и теоретических работ исследовался вопрос
о наличии и степени влияния определенных типов трения на различных этапах движения диска. Были численно и аналитически исследованы модели системы с различными ограничениями, проведен анализ полученных экспериментальных данных. Эти исследования в основном указывают на то, что основными диссипативными силами, вызывающими вибрацию и
остановку диска, являются силы трения качения и трения скольжения, нежели силы вязкого
трения. Из немногих предположений о физике этих эффектов стоит упомянуть, как наиболее
естественную, гипотезу Кесслера и О’Рейли, что резкая остановка диска происходит в результате потери контакта между диском и поверхностью в процессе вибраций при малом угле
наклона диска. (Для проверки этой гипотезы потребуется рассматривать деформируемую модель для контактирующих тел.)

== Решение ==
Запишем кинетический момент сиcтемы:
<br>
<math> \dot{\underline{K}} =  \dot{ \left( \underline{\underline{\Theta}} \cdot \underline{\omega}  \right) } = \underline{M} </math>
<br>
<math> \dot{\underline{K}} = \Theta_{12} \underline{n} \times \ddot{\underline{n}} + \Theta_3 \dot{ \left(\Omega \underline{n} \right) } </math>
<br>Положим
<br> <math> \eta = \underline{k} \cdot \underline{n} = \cos(\vartheta) </math>
<br> <math> \varepsilon = \underline{k} \times \underline{n} = \sin(\vartheta) </math>
<br> Имеем далее
<br>
<math>\left\{  
           \begin{array}{lcl}  
           \underline{a} \perp \underline{k} \times \underline{n} \\ 
        
             \underline{a} \perp \underline{n} \\  
             
           \end{array}   
           \right.  </math>
<br>
<br> Из этого следует:
<br> <math> \underline{a} \parallel \left[ \underline{n} \times ( \underline{k} \times \underline{n}) \right ] </math>
<br> Имеем
<br> <math> \underline{n} \times ( \underline{k} \times \underline{n} ) = \underline{k} ( \underline{n} \cdot \underline{n}) - \underline{n} (\underline{n} \cdot \underline{k}) = \underline{k} - \eta \underline{n} </math>
<br> Таким образом можем представить вектор <math> \underline{a} </math> следующим образом:
<br> <math> \underline{a} = \lambda( \underline{k} - \eta \underline{n}) </math>
<br> Имеем далее:
<br> <math> a^2 = \lambda^2(1 - \eta^2) =  \lambda^2 \varepsilon </math>
<br> Таким образом
<br> <math> \lambda = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } </math>
<br> Недтрудно понять что вектор <math> \underline{a} </math> в таком случае записывается в следующем виде:
<br> <math> \underline{a} = \frac{a}{ \sqrt{1 - \eta^2} } ( \underline{k} - \eta \underline{n}) </math>
<br> Имеем далее:
<br> <math> \frac{ \underline{a} } {a} = \frac{ \underline{k} - \eta \underline{n} } { \left| \underline{k} - \eta \underline{n} \right| } </math>
<br> Получаем таким образом:
<br> <math> \underline{a} = \frac{a}{\varepsilon} (\underline{k} - \eta \underline{n}) </math>
<br> Теперь запишем соотношения для сил и моментов:
<br> <math> m \ddot{\underline{r}} = m \underline{g} + \underline{N} = (N - mg) \underline{k} </math>
<br> <math> \dot{ \left( \underline{\underline{O}} \cdot \underline{w}  \right) } = \underline{a} \times \underline{N} </math>
<br> <math> \underline{N} = N \underline{k} </math>
<br> Таким образом имеем:
<br> <math> \underline{a} \times \underline{N} = \frac{a \eta}{ e} N \underline{k} \times \underline{n} </math>
<br> В результате получаем систему, описывающую движение тела:
<br> <math>\left\{  
           \begin{array}{lcl}  
            \Theta_{12} \underline{n} \times \ddot{\underline{n}} + \Theta_3 \dot{ \left(\Omega \underline{n} \right) } + a \frac{\eta}{\varepsilon} N \underline{n} \times \underline{k} = 0\;(1)\\ 
        
             m \ddot{z} = N - mg \\
              z = - a \varepsilon \\
             
           \end{array}   
           \right.  </math>

<br>Будем искать решение для стационарного движения:
<br> <math>\left\{  
           \begin{array}{lcl}  
           \underline{\omega} = \dot{\psi} \underline{k} + \dot{\varphi} \underline{n} \\
           \underline{\omega} \times \underline{a} = 0
\end{array}
\right. </math>
<br> Тогда:
<br> <math> \dot{ \underline{n}} = \dot{\psi} \underline{k} \times \underline{n} </math>
<br> <math> \ddot{ \underline{n}} =  (\dot{\psi} )^2 \left( \underline{k}\cos{\vartheta} - \underline{n} \right) </math>
<br> <math> \Omega = \underline{ \omega } \cdot \underline{n} = \dot{ \psi } \cos( \vartheta ) + \dot{ \phi } </math> 
<br> <math> \dot{\left( \Omega \underline{n} \right)} = \Omega \dot{ \underline{n}} = \Omega \dot{ \psi } \underline{k} \times \underline{n} </math>
<br> Подставляем полученные выражения в уравнение (1)
<br> <math> \left[ -\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 (\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 \dot{\phi}\dot{\psi} + a \cot \vartheta N \right] \underline{n} \times \underline {k} = 0 </math>
<br> Получаем уравнение:
<br> <math>-\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 (\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 \dot{\phi}\dot{\psi} + a \cot \vartheta N  = 0 </math> <br>получаем:
<br> <math> \underline{\omega} \times \underline{a} = 0 </math>
<br> <math> \left( \dot{\psi} \underline{k} + \dot{\varphi} \underline{n}\right) \times \underline{a} = 0 </math>
<br> <math> \dot{\psi} \underline{k} \times \underline{a} + \dot{\varphi} \underline{n} \times \underline{a} = 0 </math>
<br> <math> a \left( \dot{ \psi } \cot( \vartheta) + \frac{ \dot{ \varphi } }  \sin( \vartheta) \right) = 0 </math>
<br> Получаем систему:
<br> <math>\left\{  
           \begin{array}{lcl}  
           -\Theta_{12}(\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 (\dot{\psi} )^2 \cos\vartheta - \Theta_3 \dot{\phi}\dot{\psi} + a \cot \vartheta N  = 0  \\
            m \ddot{z} = N - mg; z = - a \sin( \vartheta ) \\
           \dot{ \psi } \sin( \vartheta ) + \dot{ \varphi } = 0
\end{array}
\right. </math>
<br> Имеем: <math> \ddot{z} = 0 </math> 
<br> Таким образом <math> N = mg </math>
<br> Имеем 
<br> <math> -(\dot{\psi} )^2 \cos \vartheta ( \Theta_3 + \Theta_{12} ) - \Theta_3 (\dot{\psi} )^2\sin\vartheta + a \cot \vartheta N = 0 </math>
<br> Получаем следующую зависимость:
<br> <math> \dot{ \psi } = \sqrt{ \frac{a m g \cot( \vartheta)}{ \sin\vartheta \Theta_3 + \cos\vartheta\left( \Theta_{3} + \Theta_{12} \right) } } </math>

== Обсуждение результатов и выводы ==
В результате работы найден простой метод описания данной динамической системы, получено уравнение стационарного движения. Получена зависимость угловой скорости прецесси <math> \dot{\psi} </math>  от угла <math> \vartheta </math> между нормалью с плоскости диска и вертикалью .
[[Файл:Graph_euler_disc.jpg|слева|frame|Зависимость угловой скорости прецессии <math> \dot{\psi} </math> от угла <math> \vartheta </math> между нормалью к плоскости диска и вертикалью |450px]]
<br clear="all"/>

== Ссылки по теме ==

* [[Динамика твердого тела: примеры]] (диск Эйлера)

== См. также ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ 2012|Курсовые проекты 2012]]
* [[Курсовые проекты ТМ 2013|Курсовые проекты 2013]]


[[Category: Студенческие проекты]]
@@ Строка 13: / Строка 13: @@
 == Аннотация проекта ==
 Диск Эйлера – это твёрдое цилиндрическое тело, имеющее единственную точку контакта с горизонтальной поверхностью, по которой он одновременно и катится, и вращается.
-Этой простой
+Интересно, что движение диска имеет две особенности: резкое увеличение частоты слышимого звука в конце вращения и внезапную остановку диска. Причем вращающийся диск никогда не теряет контакта с поверхностью.
-механической системе присущи две любопытные особенности — быстрое возрастание звуковой частоты в процессе контакта диска и поверхности на финальном этапе движения, а также
-последующая внезапная остановка движения. Эти эффекты может наблюдать каждый, раскрутив на столе обыкновенную монету: «потеряв равновесие», монета окажется лежащей на столе
-плашмя, при этом финальная стадия ее движения, когда ее плоскость почти горизонтальна, сопровождается характерным «дрожанием». Однако физическое объяснение этого своеобразного
-поведения оказалось сложной задачей, решение которой еще требует дальнейших экспериментальных и теоретических исследований.
 == Постановка задачи ==