Редактирование: Исследование свойств солитона в нелинейном одномерном кристалле
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 26: | Строка 26: | ||
[[File:Links.png|thumb|350px|Одномерный кристалл]] | [[File:Links.png|thumb|350px|Одномерный кристалл]] | ||
− | В данной работе рассматривается одномерный нелинейный кристалл, который представляет собой цепочку взаимодействующих частиц | + | В данной работе рассматривается одномерный нелинейный кристалл, который представляет собой цепочку взаимодействующих частиц: |
<br/> | <br/> | ||
Строка 35: | Строка 35: | ||
<br/> | <br/> | ||
<math>\ddot{u}_i = \omega ^2 \, (u_{i+1}-u_i) + \alpha ^2 \, (u_{i-1}-u_i)</math> | <math>\ddot{u}_i = \omega ^2 \, (u_{i+1}-u_i) + \alpha ^2 \, (u_{i-1}-u_i)</math> | ||
− | |||
− | |||
<br/> | <br/> | ||
Нетрудно убедиться, что после несложных математических преобразований уравнение можно записать в виде: | Нетрудно убедиться, что после несложных математических преобразований уравнение можно записать в виде: | ||
Строка 96: | Строка 94: | ||
Для выявление зависимостей характеристик солитона от параметров система была написана программа на языке JavaScript, позволяющая наглядно наблюдать образование солитона и сравнивать два одномерных кристалла, варьируя их параметры. | Для выявление зависимостей характеристик солитона от параметров система была написана программа на языке JavaScript, позволяющая наглядно наблюдать образование солитона и сравнивать два одномерных кристалла, варьируя их параметры. | ||
<br/> | <br/> | ||
− | Для установления зависимостей параметров системы от нелинейного коэффициента | + | Для установления зависимостей параметров системы от нелинейного коэффициента $\alpha$ был проведен следующий эксперимент: смоделирован одномерный нелинейный кристалл при различных $\alpha$. Параметры системы: частота $\omega^2 = 1$, количество частиц $N = 500$. Исследуемые параметры: |
<br/> | <br/> | ||
− | + | $Т_{раз}$ -- время за которое на волне образуются солитоны, | |
<br/> | <br/> | ||
− | + | $Т_{уст}$ -- время за которое высота солитона выходит на постоянный уровень, | |
<br/> | <br/> | ||
− | + | $h_{сол}$ -- высота солитона в отношении к начальной амплитуде колебаний волны, | |
<br/> | <br/> | ||
− | + | $s_{экс}$ -- расстояние между максимумами первых двух солитонов в отношении к длине кристалла. | |
<br/> | <br/> | ||
<br/> | <br/> | ||
Результаты показаны в виде графиков ниже: | Результаты показаны в виде графиков ниже: | ||
− | <div class="tleft" style="clear:none">[[File:DistanceAlpha.png|thumb|320px|Зависимость | + | <div class="tleft" style="clear:none">[[File:DistanceAlpha.png|thumb|320px|Зависимость $s_{экс}$ от $\alpha$]]</div> |
− | <div class="tleft" style="clear:none">[[File:SteadyAlpha.png|thumb|300px|Зависимость | + | <div class="tleft" style="clear:none">[[File:SteadyAlpha.png|thumb|300px|Зависимость $Т_{уст}$ от $\alpha$.]]</div> |
− | <div class="tleft" style="clear:none">[[File:DistortionAlpha.png|thumb|300px|Зависимость | + | <div class="tleft" style="clear:none">[[File:DistortionAlpha.png|thumb|300px|Зависимость $Т_{раз}$ от $\alpha$.]]</div> |
<br/> | <br/> | ||
<br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> | <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> <br/> | ||
− | |||
==Выводы== | ==Выводы== | ||
До 1965 года полагали, что динамика нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных настолько сложна, что практически не представляется возможным получить их аналитические решения. К настоящему моменту известно несколько дюжин подобных систем (некоторые из которых связаны с практическими приложениями), для которых точные решения были получены с использованием методов, основанных на понимании солитона как новой динамической сущности, образующейся из соответствующего дифференциального уравнения. Этот результат, важный сам по себе, расширяет область применения теории возмущений, поскольку позволяет исследователю выбрать в качестве оценки нулевого порядка полностью нелинейную функцию (скажем, выражение для N -- солитона). | До 1965 года полагали, что динамика нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных настолько сложна, что практически не представляется возможным получить их аналитические решения. К настоящему моменту известно несколько дюжин подобных систем (некоторые из которых связаны с практическими приложениями), для которых точные решения были получены с использованием методов, основанных на понимании солитона как новой динамической сущности, образующейся из соответствующего дифференциального уравнения. Этот результат, важный сам по себе, расширяет область применения теории возмущений, поскольку позволяет исследователю выбрать в качестве оценки нулевого порядка полностью нелинейную функцию (скажем, выражение для N -- солитона). | ||
− | + | \\ | |
Результатом данной работы стало определение зависимостей характеристик солитона от параметров системы, а конкретно: | Результатом данной работы стало определение зависимостей характеристик солитона от параметров системы, а конкретно: | ||
− | + | \begin{enumerate} | |
− | + | \item Наблюдается квадратичная зависимость между коэффициентом нелинейности $\alpha$ и расстоянием между максимумами первых двух солитонов $s_{экс}$. | |
− | + | \item Наблюдается квадратичная зависимость между коэффициентом нелинейности $\alpha$ и временем образования солитона $Т_{раз}$. | |
− | + | \item Наблюдается квадратичная зависимость между коэффициентом нелинейности $\alpha$ и временем установления высоты солитона $Т_{уст}$. | |
− | + | \item Наблюдается экспоненциальная зависимость между количеством частиц $N$ и расстоянием между максимумами первых двух солитонов $s_{экс}$. | |
− | + | \item Наблюдается линейная зависимость между количеством частиц $N$ и временем образования солитона $T_{рас}$. | |
− | + | \item Наблюдается линейная зависимость между количеством частиц $N$ и временем установления высоты солитона $T_{уст}$. | |
− | + | \end{enumerate} | |
+ | \\ | ||
Таким образом, были выявлены интересующие нас зависимости, которое позволяют прогнозировать поведение солитона в зависимости от условий системы. | Таким образом, были выявлены интересующие нас зависимости, которое позволяют прогнозировать поведение солитона в зависимости от условий системы. | ||
− | + | \\ | |
Дальнейшей работой в этой области будет усовершенстование программы расчета, а именно рассмотрение влияния различных начальных условий на солитоны и проведение реального эксперимента для сравнения с аналитическим решением. | Дальнейшей работой в этой области будет усовершенстование программы расчета, а именно рассмотрение влияния различных начальных условий на солитоны и проведение реального эксперимента для сравнения с аналитическим решением. | ||