Редактирование: Исследование свойств солитона в нелинейном одномерном кристалле
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 4: | Строка 4: | ||
==Введение== | ==Введение== | ||
− | |||
− | |||
− | |||
До середины 1970-х годов для описания физических явлений обычно использовались линейные или <<почти>> линейные модели, что позволяло воспользоваться удобным, но часто нереалистичным свойством таких систем: характеризующаяся замысловатыми причинно-следственными связями система рассматривалась как совокупность нескольких более простых подсистем, влияние которых на совокупную динамику можно было исследовать отдельно. Однако, использование линейной модели вместо нелинейной приводит к потере важных качественных характеристик исследуемого явления. | До середины 1970-х годов для описания физических явлений обычно использовались линейные или <<почти>> линейные модели, что позволяло воспользоваться удобным, но часто нереалистичным свойством таких систем: характеризующаяся замысловатыми причинно-следственными связями система рассматривалась как совокупность нескольких более простых подсистем, влияние которых на совокупную динамику можно было исследовать отдельно. Однако, использование линейной модели вместо нелинейной приводит к потере важных качественных характеристик исследуемого явления. | ||
<br/> | <br/> | ||
Строка 21: | Строка 18: | ||
Конкретно в данной работе рассматривается солитон в одномерном нелинейном кристалле с целью предугадывать его поведение в различных системах. | Конкретно в данной работе рассматривается солитон в одномерном нелинейном кристалле с целью предугадывать его поведение в различных системах. | ||
<br/> | <br/> | ||
− | + | [[File:SolitonAppear.gif|framed|right|Как выглядит образование солитона]] | |
+ | <br/> | ||
==Постановка задачи== | ==Постановка задачи== | ||
− | + | в данной работе рассматривается одномерный нелинейный кристалл, который представляет собой цепочку взаимодействующих частиц: | |
− | + | <br/> | |
− | + | [[File:Links.png|framed|middle|Одномерный кристалл]] | |
− | |||
<br/> | <br/> | ||
− | |||
== Основные уравнения == | == Основные уравнения == | ||
− | |||
<br/> | <br/> | ||
В данной работе вместо линейного уравнения динамики цепочки будет использоваться нелинейное: | В данной работе вместо линейного уравнения динамики цепочки будет использоваться нелинейное: | ||
<br/> | <br/> | ||
<math>\ddot{u}_i = \omega ^2 \, (u_{i+1}-u_i) + \alpha ^2 \, (u_{i-1}-u_i)</math> | <math>\ddot{u}_i = \omega ^2 \, (u_{i+1}-u_i) + \alpha ^2 \, (u_{i-1}-u_i)</math> | ||
− | |||
− | |||
<br/> | <br/> | ||
Нетрудно убедиться, что после несложных математических преобразований уравнение можно записать в виде: | Нетрудно убедиться, что после несложных математических преобразований уравнение можно записать в виде: | ||
Строка 42: | Строка 35: | ||
<math>\ddot{u}_i = (u_{i+1} - 2 u_i + u_{i-1}) (\omega ^2 + \alpha^2 (u_{i+1} + u_{i-1}))</math> | <math>\ddot{u}_i = (u_{i+1} - 2 u_i + u_{i-1}) (\omega ^2 + \alpha^2 (u_{i+1} + u_{i-1}))</math> | ||
<br/> | <br/> | ||
− | |||
== Начальные и граничные условия == | == Начальные и граничные условия == | ||
− | |||
− | |||
− | |||
<br/> | <br/> | ||
Для задания скорости частиц берется уравнение бегущей волны (хотим получить бегущую в одну сторону волну): | Для задания скорости частиц берется уравнение бегущей волны (хотим получить бегущую в одну сторону волну): | ||
Строка 52: | Строка 41: | ||
<math>\dot{u} = A \sin(k x - w t)</math> | <math>\dot{u} = A \sin(k x - w t)</math> | ||
<br/> | <br/> | ||
− | где | + | где $k$ -- волновой коэффициент, $A$ -- амплитуда колебаний, $w$ -- масштаб времени. |
<br/> | <br/> | ||
− | Далее необходимо получить уравнение для перемещений, поэтому берем интеграл по | + | Далее необходимо получить уравнение для перемещений, поэтому берем интеграл по $t$ от уравнения (\ref{eq:RunningWave}) и получаем: |
<br/> | <br/> | ||
<math>u = - \frac{1}{w} A \cos(k x - w t).</math> | <math>u = - \frac{1}{w} A \cos(k x - w t).</math> | ||
<br/> | <br/> | ||
− | Получились два уравнения: скорости и перемещения. Найдем начальные условия нашей системе положив | + | Получились два уравнения: скорости и перемещения. Найдем начальные условия нашей системе положив $t = 0$ и подставив в (\ref{eq:RunningWave}) и (\ref{eq:MovingWave}): |
<br/> | <br/> | ||
<math>u|_{t=0} = - \frac{1}{w} A \cos(k x),</math> | <math>u|_{t=0} = - \frac{1}{w} A \cos(k x),</math> | ||
Строка 64: | Строка 53: | ||
<math>\dot{u}|_{t=0} = A \sin(k x).</math> | <math>\dot{u}|_{t=0} = A \sin(k x).</math> | ||
<br/> | <br/> | ||
− | Также, важным начальным условием является большое количество частиц в одномерном кристалле, то есть | + | Также, важным начальным условием является большое количество частиц в одномерном кристалле, то есть $N >> 1$. |
− | |||
<br/> | <br/> | ||
− | Граничные условия у данной системы периодические: | + | \textit{Граничные условия} у данной системы периодические: |
<br/> | <br/> | ||
<math>u_k = u_{k+n}.</math> | <math>u_k = u_{k+n}.</math> | ||
<br/> | <br/> | ||
− | |||
== Численное решение == | == Численное решение == | ||
− | |||
− | |||
− | |||
<br/> | <br/> | ||
При вычислении скорости и перемещений частиц кристалла были использованы следующие уравнения: | При вычислении скорости и перемещений частиц кристалла были использованы следующие уравнения: | ||
Строка 92: | Строка 76: | ||
== Результаты == | == Результаты == | ||
− | |||
<br/> | <br/> | ||
Для выявление зависимостей характеристик солитона от параметров система была написана программа на языке JavaScript, позволяющая наглядно наблюдать образование солитона и сравнивать два одномерных кристалла, варьируя их параметры. | Для выявление зависимостей характеристик солитона от параметров система была написана программа на языке JavaScript, позволяющая наглядно наблюдать образование солитона и сравнивать два одномерных кристалла, варьируя их параметры. | ||
+ | [[File:ProgramLook.png|framed|middle|Одномерный кристалл]] | ||
<br/> | <br/> | ||
− | Для установления зависимостей параметров системы от нелинейного коэффициента | + | Для установления зависимостей параметров системы от нелинейного коэффициента $\alpha$ был проведен следующий эксперимент: смоделирован одномерный нелинейный кристалл при различных $\alpha$. Параметры системы: частота $\omega^2 = 1$, количество частиц $N = 500$. Исследуемые параметры: |
<br/> | <br/> | ||
− | + | $Т_{раз}$ -- время за которое на волне образуются солитоны, | |
<br/> | <br/> | ||
− | + | $Т_{уст}$ -- время за которое высота солитона выходит на постоянный уровень, | |
<br/> | <br/> | ||
− | + | $h_{сол}$ -- высота солитона в отношении к начальной амплитуде колебаний волны, | |
<br/> | <br/> | ||
− | + | $s_{экс}$ -- расстояние между максимумами первых двух солитонов в отношении к длине кристалла. | |
<br/> | <br/> | ||
+ | [[File:TwoSolitonNew.png|framed|middle|На рисунке большими серыми стрелками показаны интересующие нас два максимума, а в серой прямоугольной области - два солитона.]] | ||
<br/> | <br/> | ||
Результаты показаны в виде графиков ниже: | Результаты показаны в виде графиков ниже: | ||
+ | <br/> | ||
+ | [[File:DistanceAlpha.png|framed|middle|Зависимость $s_{экс}$ от $\alpha$]] | ||
+ | <br/> | ||
+ | <br/> | ||
+ | [[File:SteadyAlpha.png|framed|middle|Зависимость $Т_{уст}$ от $\alpha$.]] | ||
+ | <br/> | ||
+ | <br/> | ||
+ | [[File:DistortionAlpha.png|framed|middle|Зависимость $Т_{раз}$ от $\alpha$.]] | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Выводы== | ==Выводы== | ||
− | + | До 1965 года полагали, что динамика нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных настолько сложна, что практически не представляется возможным получить их аналитические решения. К настоящему моменту известно несколько дюжин подобных систем (некоторые из которых связаны с практическими приложениями), для которых точные решения были получены с использованием методов, основанных на понимании солитона как новой динамической сущности, образующейся из соответствующего дифференциального уравнения. Этот результат, важный сам по себе, расширяет область применения теории возмущений, поскольку позволяет исследователю выбрать в качестве оценки нулевого порядка полностью нелинейную функцию \cite{Book_6} (скажем, выражение для N -- солитона). | |
− | + | \\ | |
− | До 1965 года полагали, что динамика нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных настолько сложна, что практически не представляется возможным получить их аналитические решения. К настоящему моменту известно несколько дюжин подобных систем (некоторые из которых связаны с практическими приложениями), для которых точные решения были получены с использованием методов, основанных на понимании солитона как новой динамической сущности, образующейся из соответствующего дифференциального уравнения. Этот результат, важный сам по себе, расширяет область применения теории возмущений, поскольку позволяет исследователю выбрать в качестве оценки нулевого порядка полностью нелинейную функцию (скажем, выражение для N -- солитона). | ||
− | |||
Результатом данной работы стало определение зависимостей характеристик солитона от параметров системы, а конкретно: | Результатом данной работы стало определение зависимостей характеристик солитона от параметров системы, а конкретно: | ||
− | + | \begin{enumerate} | |
− | + | \item Наблюдается квадратичная зависимость между коэффициентом нелинейности $\alpha$ и расстоянием между максимумами первых двух солитонов $s_{экс}$. | |
− | + | \item Наблюдается квадратичная зависимость между коэффициентом нелинейности $\alpha$ и временем образования солитона $Т_{раз}$. | |
− | + | \item Наблюдается квадратичная зависимость между коэффициентом нелинейности $\alpha$ и временем установления высоты солитона $Т_{уст}$. | |
− | + | \item Наблюдается экспоненциальная зависимость между количеством частиц $N$ и расстоянием между максимумами первых двух солитонов $s_{экс}$. | |
− | + | \item Наблюдается линейная зависимость между количеством частиц $N$ и временем образования солитона $T_{рас}$. | |
− | + | \item Наблюдается линейная зависимость между количеством частиц $N$ и временем установления высоты солитона $T_{уст}$. | |
− | + | \end{enumerate} | |
+ | \\ | ||
Таким образом, были выявлены интересующие нас зависимости, которое позволяют прогнозировать поведение солитона в зависимости от условий системы. | Таким образом, были выявлены интересующие нас зависимости, которое позволяют прогнозировать поведение солитона в зависимости от условий системы. | ||
− | + | \\ | |
Дальнейшей работой в этой области будет усовершенстование программы расчета, а именно рассмотрение влияния различных начальных условий на солитоны и проведение реального эксперимента для сравнения с аналитическим решением. | Дальнейшей работой в этой области будет усовершенстование программы расчета, а именно рассмотрение влияния различных начальных условий на солитоны и проведение реального эксперимента для сравнения с аналитическим решением. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
==Список литературы== | ==Список литературы== | ||
Строка 144: | Строка 127: | ||
* R. Pego. Origin of the KdV equation. | * R. Pego. Origin of the KdV equation. | ||
* J Boussinesq. Theorie des ondes et des remous qui se propagent le long d’un canal rectangulairc horizontal, en communiquant au liquid contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond. | * J Boussinesq. Theorie des ondes et des remous qui se propagent le long d’un canal rectangulairc horizontal, en communiquant au liquid contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond. | ||
− | * Fermi E., Pasta J.R., Ulam S. Studies of nonlinear problems. Report LA-1940. Los Alamos: Los Alamos Scientific Laboratory, 1955. | + | * Fermi E., Pasta J.R., Ulam S. Studies of nonlinear problems. |
− | * Улам С. Приключения математика. | + | Report LA-1940. Los Alamos: Los Alamos Scientific |
− | * Porter M.A., Zabusky N.J., Hu B., Campbell D.K. Fermi,Pasta, Ulam and the Birth of Experimental Mathematics // American Scientist. 2009. V. 97. № 3. P. | + | Laboratory, 1955. |
− | * Dauxois T., Peyrard M., Ruffo S. The Fermi-Pasta-Ulam “numerical experiment” history and pedago. | + | * Улам С. Приключения математика. Москва– |
− | * Genta T., Giorgilli A., Paleari S., Penati T. Packets of resonant models in Fermi-Pasta-Ulam system // Phys. Lett. A. 2012, V. 376. P. 2038–2044. | + | Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, |
+ | 2002. 272 с. | ||
+ | * Porter M.A., Zabusky N.J., Hu B., Campbell D.K. Fermi, | ||
+ | Pasta, Ulam and the Birth of Experimental Mathematics | ||
+ | // American Scientist. 2009. V. 97. № 3. P. 214– | ||
+ | 221. doi: 10.1511/2009.78.214 | ||
+ | * Dauxois T., Peyrard M., Ruffo S. The Fermi-Pasta- | ||
+ | Ulam “numerical experiment” history and pedago. | ||
+ | * Genta T., Giorgilli A., Paleari S., Penati T. Packets of | ||
+ | resonant models in Fermi-Pasta-Ulam system // Phys. | ||
+ | Lett. A. 2012, V. 376. P. 2038–2044. | ||
* Н. А. Кудряшов. Дифференциальные уравнения и динамические системы. | * Н. А. Кудряшов. Дифференциальные уравнения и динамические системы. | ||
* А. М. Кривцов. Курс лекций по динамике одномерного гармонического кристалла. | * А. М. Кривцов. Курс лекций по динамике одномерного гармонического кристалла. |