Редактирование: Исследование свойств солитона в нелинейном одномерном кристалле
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 34: | Строка 34: | ||
В данной работе вместо линейного уравнения динамики цепочки будет использоваться нелинейное: | В данной работе вместо линейного уравнения динамики цепочки будет использоваться нелинейное: | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | <math>\ddot{u}_i = \omega ^2 \, (u_{i+1}-u_i) + \alpha ^2 \, (u_{i-1}-u_i)< | + | <math>\ddot{u}_i = \omega ^2 \, (u_{i+1}-u_i) + \alpha ^2 \, (u_{i-1}-u_i)<\math> |
<br/> | <br/> | ||
где <math>\omega</math> -- частота колебаний, <math>\alpha</math> -- коэффициент нелинейности, <math>u_{i}</math> -- смещение <math>i</math>-ой частицы относительно положения равновесия. | где <math>\omega</math> -- частота колебаний, <math>\alpha</math> -- коэффициент нелинейности, <math>u_{i}</math> -- смещение <math>i</math>-ой частицы относительно положения равновесия. | ||
| Строка 40: | Строка 40: | ||
Нетрудно убедиться, что после несложных математических преобразований уравнение можно записать в виде: | Нетрудно убедиться, что после несложных математических преобразований уравнение можно записать в виде: | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | <math>\ddot{u}_i = (u_{i+1} - 2 u_i + u_{i-1}) (\omega ^2 + \alpha^2 (u_{i+1} + u_{i-1}))< | + | <math>\ddot{u}_i = (u_{i+1} - 2 u_i + u_{i-1}) (\omega ^2 + \alpha^2 (u_{i+1} + u_{i-1}))<\math> |
<br/> | <br/> | ||
| Строка 50: | Строка 50: | ||
Для задания скорости частиц берется уравнение бегущей волны (хотим получить бегущую в одну сторону волну): | Для задания скорости частиц берется уравнение бегущей волны (хотим получить бегущую в одну сторону волну): | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | <math>\dot{u} = A \sin(k x - w t)< | + | <math>\dot{u} = A \sin(k x - w t)<\math> |
<br/> | <br/> | ||
где <math>{k}</math> -- волновой коэффициент, <math>{A}</math> -- амплитуда колебаний, <math>{w}</math> -- масштаб времени. | где <math>{k}</math> -- волновой коэффициент, <math>{A}</math> -- амплитуда колебаний, <math>{w}</math> -- масштаб времени. | ||
| Строка 56: | Строка 56: | ||
Далее необходимо получить уравнение для перемещений, поэтому берем интеграл по <math>{t}</math> от уравнения выше и получаем: | Далее необходимо получить уравнение для перемещений, поэтому берем интеграл по <math>{t}</math> от уравнения выше и получаем: | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | <math>u = - \frac{1}{w} A \cos(k x - w t).< | + | <math>u = - \frac{1}{w} A \cos(k x - w t).<\math> |
<br/> | <br/> | ||
Получились два уравнения: скорости и перемещения. Найдем начальные условия нашей системе положив <math>{t = 0}</math>: | Получились два уравнения: скорости и перемещения. Найдем начальные условия нашей системе положив <math>{t = 0}</math>: | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | <math>u|_{t=0} = - \frac{1}{w} A \cos(k x),< | + | <math>u|_{t=0} = - \frac{1}{w} A \cos(k x),<\math> |
<br/> | <br/> | ||
| − | <math>\dot{u}|_{t=0} = A \sin(k x).< | + | <math>\dot{u}|_{t=0} = A \sin(k x).<\math> |
<br/> | <br/> | ||
Также, важным начальным условием является большое количество частиц в одномерном кристалле, то есть <math>{N >> 1}</math>. | Также, важным начальным условием является большое количество частиц в одномерном кристалле, то есть <math>{N >> 1}</math>. | ||
| Строка 69: | Строка 69: | ||
Граничные условия у данной системы периодические: | Граничные условия у данной системы периодические: | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | <math>u_k = u_{k+n}.< | + | <math>u_k = u_{k+n}.<\math> |
<br/> | <br/> | ||
| Строка 81: | Строка 81: | ||
Ускорение: | Ускорение: | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | <math>\ddot{u}_i = (u_{i+1} - 2 u_i + u_{i-1}) (\omega ^2 + \alpha^2 (u_{i+1} + u_{i-1})),< | + | <math>\ddot{u}_i = (u_{i+1} - 2 u_i + u_{i-1}) (\omega ^2 + \alpha^2 (u_{i+1} + u_{i-1})),<\math> |
<br/> | <br/> | ||
Скорость: | Скорость: | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | <math>\dot{u}_i(t + \Delta t) = \dot{u}_i(t) + \ddot{u}_i \Delta t,< | + | <math>\dot{u}_i(t + \Delta t) = \dot{u}_i(t) + \ddot{u}_i \Delta t,<\math> |
<br/> | <br/> | ||
Перемещение: | Перемещение: | ||
<br/> | <br/> | ||
| − | <math>u_i(t + \Delta t) = u_i(t) + \dot{u}_{i}(t + \Delta t)\Delta t.< | + | <math>u_i(t + \Delta t) = u_i(t) + \dot{u}_{i}(t + \Delta t)\Delta t.<\math> |
== Результаты == | == Результаты == | ||
