Редактирование: Динамическая потеря устойчивости дискретного стержня при сжатии

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
'''БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА'''<br>
 
'''БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА'''<br>
−
[[Файл:2016-04-25 20-15-09.png‎|350px|thumb|right|Рис.1 Первая форма потери устойчивости]]
 
−
[[Файл:2016-06-12 16-40-49.png‎|350px|thumb|right|Рис.2 Вторая форма потери устойчивости]]
 
−
[[Файл:2016-06-18 13-49-54.png‎|350px|thumb|right|Рис.3 Третья форма потери устойчивости]]
 
 
''Автор работы'': [[Киселев Павел| П. Д. Киселев]]<br>
 
''Автор работы'': [[Киселев Павел| П. Д. Киселев]]<br>
 
''Руководитель'': [[Кузькин Виталий Андреевич | зам. зав. кафедры ТМ В. А. Кузькин]]<br>
 
''Руководитель'': [[Кузькин Виталий Андреевич | зам. зав. кафедры ТМ В. А. Кузькин]]<br>
Строка 9: Строка 6:
  
 
Деформация стержней (колонн, балок) является классической задачей для механики твердых тел. Около пятидесяти последних лет активно изучались упругие системы и связанная с ними динамическая потеря устойчивости, приводящая к разрушениям.
 
Деформация стержней (колонн, балок) является классической задачей для механики твердых тел. Около пятидесяти последних лет активно изучались упругие системы и связанная с ними динамическая потеря устойчивости, приводящая к разрушениям.
−
Изучение динамических нагрузок является объектом пристального внимания исследователей.
+
Критические нагрузки относятся к наиболее тяжким последствиям природных и техногенных катастроф. Поэтому изучение динамических нагрузок всегда является объектом пристального внимания исследователей.  
  
 
==Постановка задачи==
 
==Постановка задачи==
−
[[Файл:2016-06-19 14-25-55.png‎|400px|thumb|right|Рис.4 Цепочка частиц]]
+
[[Файл:2016-06-19 14-25-55.png‎|400px|thumb|right|Рис.1 Цепочка частиц]]
 
Рассматривается цепочка в двумерном пространстве, состоящая из материальных точек, соединенная линейными и угловыми пружинами (Рис.1)<br>
 
Рассматривается цепочка в двумерном пространстве, состоящая из материальных точек, соединенная линейными и угловыми пружинами (Рис.1)<br>
 
Уравнение движения:  
 
Уравнение движения:  
Строка 34: Строка 31:
 
===Параметры системы===
 
===Параметры системы===
 
Для проведения моделирование задаются следующие параметры:
 
Для проведения моделирование задаются следующие параметры:
−
масса частиц <math> m=1</math>, масштаб силы<math> f=12D/a=1</math>, равновесное расстояние<math> a=1</math>, жесткость
+
масса частиц, масштаб силы, равновесное расстояние, жесткость
−
угловой пружины<math> c=fa=1</math>, количество частиц в цепочке<math> n=100</math>, скорость длинных
+
угловой пружины, количество частиц в цепочке, скорость длинных
−
волн<math> v_0=√{6fa}=√6</math>, амплитуда начальных случайных скоростей (температура)<math> v_{rand}=5e^{-8} v_0</math>,
+
волн, амплитуда начальных случайных скоростей (температура),
−
скорость сжатия цепочки<math> V=1.1e^{-6} v_0</math>.
+
скорость сжатия цепочки.
  
 
Случайные начальные скорости определяют температуру системы.
 
Случайные начальные скорости определяют температуру системы.
Строка 44: Строка 41:
 
В системе имеется два типа взаимодействия:<br><br>
 
В системе имеется два типа взаимодействия:<br><br>
 
1. Потенциал Леннарда-Джонса: <br>
 
1. Потенциал Леннарда-Джонса: <br>
−
<math>П_{LG}=D[( \frac {a_0}{r})^{12}- 2(\frac {a_0}{r})^6 ]</math> <br>
+
<math>П_{LG}=D[(a_0/r)^{12}- 2(a_0/r)^6 ]</math> <br>
 
где D - энергия взаимодействия; a0 – начальная длина; r – расстояние между частицами. <br>
 
где D - энергия взаимодействия; a0 – начальная длина; r – расстояние между частицами. <br>
 
Сила взаимодействия, соответствующая потенциалу Леннарда-Джонса, вычисляется  по формуле: <br>
 
Сила взаимодействия, соответствующая потенциалу Леннарда-Джонса, вычисляется  по формуле: <br>
−
<math>F_{LG}=-П'_{LG}=12 \frac {D}{a_0}[( \frac {a_0}{r})^{13}- (\frac {a_0}{r})^7 ]</math><br><br>
+
<math>F_{LG}=-П'_{LG}=12D/a_0[(a_0/r)^{13}- (a_0/r)^7 ]</math><br><br>
 
2. Потенциал угловой пружины:<br>
 
2. Потенциал угловой пружины:<br>
−
[[Файл:2016-06-19 20-15-47.png|200px|thumb|right|Рис.5 Угловая пружинка]]
+
[[Файл:2016-06-19 20-15-47.png|200px|thumb|right|Рис.2 Угловая пружинка]]
 
Частицы соединены угловой пружиной, как показано на Рис.2.<br>
 
Частицы соединены угловой пружиной, как показано на Рис.2.<br>
−
<math>П_s= \frac {c_s(φ-π)^2}{2}</math><br>
+
<math>П_s=(c_s(φ-π)^2)/2</math><br>
 
где Cs – жесткость, φ – угол образованный 2-мя соседними связями.<br>
 
где Cs – жесткость, φ – угол образованный 2-мя соседними связями.<br>
 
Силы, соответствующая потенциалу угловой пружины, вычисляются: <br>
 
Силы, соответствующая потенциалу угловой пружины, вычисляются: <br>
−
<math>F_{i-1}=-\frac {∂П_s}{∂r_{i-1}}</math><br>
+
<math>F_{i-1}=-(∂П_s)/(∂r_{i-1} )</math><br>
−
<math>F_i=-\frac {∂П_s}{∂r_i}</math> <br>
+
<math>F_i=-(∂П_s)/(∂r_i)</math> <br>
−
<math>F_{i+1}=-\frac {∂П_s}{∂r_{i+1}}</math><br>
+
<math>F_{i+1}=-(∂П_s)/(∂r_{i+1})</math><br>
  
 
==Виды нагружения==
 
==Виды нагружения==
Строка 69: Строка 66:
  
 
==Задача Хоффа==
 
==Задача Хоффа==
−
[[Файл:2016-06-19 20-01-02.png|200px|thumb|right|Рис.6 Стержень с начальной кривизной]]
+
[[Файл:2016-06-19 20-01-02.png|200px|thumb|right|Рис. Стержень с начальной кривизной]]
 
В задаче Хоффа рассматривается стержень
 
В задаче Хоффа рассматривается стержень
 
с начальной кривизной.<br>
 
с начальной кривизной.<br>
Строка 77: Строка 74:
 
<math>\frac {∂^2 y(x=0)}{∂x^2}=\frac {∂^2 y(x=L)}{∂x^2}=0  </math>      <br>
 
<math>\frac {∂^2 y(x=0)}{∂x^2}=\frac {∂^2 y(x=L)}{∂x^2}=0  </math>      <br>
 
Уравнение для продольной силы:<br>
 
Уравнение для продольной силы:<br>
−
<math> P= \frac {EA}{L} (2ϑt-\frac {1}{2} ∫_0^L[(\frac {∂y}{∂x} )^2-(\frac {∂y_0}{∂x} )^2 ]dx)</math>  <br>                         
+
<math> P= EA/L {2ϑt-1/2 ∫_0^L[(∂y/∂x)^2-((∂y_0)/∂x)^2 ]dx}</math>  <br>                         
−
Начальные и граничные условия:<br>
 
−
<math> y|_{x=0}=y|_{x=L}=0 </math><br>
 
−
<math> \frac{∂^2 y}{∂x^2} |_{x=0}= \frac {∂^2 y}{∂x^2} |_{x=L}=0 </math><br><br>
 
  
−
Данная задача решена в работе [4] и получено следующее решение: зависимость критической силы от скорости сжатия.<br>
 
−
 
−
<math> \frac {P_*}{P_E} =1+( \frac {3}{4Ω^{1/2}}  ln⁡(\frac {2}{πd^2 Ω}) )^{2/3},    Ω=π^8 (\frac {R}{L})^6 (\frac {υ_s}{υ}) </math><br>
 
−
где d – переменная характеризующая кривизну стержня,
 
−
Ω – функция скорости. <br> 
 
−
Это решение мы используем для сравнения с результатами данной работы.<br>
 
 
В данной работе моделируется стержень  
 
В данной работе моделируется стержень  
 
также с постоянной скоростью сжатия, но  
 
также с постоянной скоростью сжатия, но  
Строка 95: Строка 83:
  
 
==Результаты моделирования==
 
==Результаты моделирования==
−
[[Файл:2016-06-19 23-15-45.png|400px|thumb|right|Рис.7 Продольная сила в стержне]]
+
 
−
[[Файл:2016-06-19 23-17-41.png|300px|thumb|right|Рис.8 Продольная сила. Задача Хоффа. Взято со статьи [4]]]
 
−
Важно отметить, что для потери устойчивости в данной работе задается начальная случайная скорость (Vrand) для частиц цепочки. Она определяет температуру системы. А в задаче Хоффа в качестве неидеальности задается параметр d – кривизна.
 
 
===Продольная сила в стержне===
 
===Продольная сила в стержне===
−
Для определения значения критической силы строится зависимость продольной силы от времени для цепочки (Рис. 7), состоящей из материальных точек. И фиксируется первый максимум, который говорит о том, что стержень сжался до критической отметки и начинает терять свою прямолинейную форму. Схожая зависимость продольной силы от времени в стержне получается в задаче Хоффа(Рис. 8)
 
 
===Зависимость критической силы от скорости сжатия при разных температурах===
 
===Зависимость критической силы от скорости сжатия при разных температурах===
−
[[Файл:2016-06-19 23-22-49.png|400px|thumb|right|Рис.9 Зависимость критической силы от скорости сжатия]]
 
−
[[Файл:2016-06-19 23-27-32.png|400px|thumb|right|Рис.10 Сравнение результатов с континуальной постановкой задачи]]
 
−
[[Файл:2016-06-19 23-26-09.png|400px|thumb|right|Рис.12 Сравнение результатов с континуальной постановкой задачи]]
 
−
[[Файл:2016-06-20 00-32-40.png|400px|thumb|right|Рис.13 Вторая форма потери устойчивости]]
 
−
Теперь рассмотрим зависимость критической силы от скорости сжатия стержня с заданной амплитудой случайных начальных скоростей (Рис.9). И для получения размаха проведем несколько реализации, поскольку начальные скорости заданы случайным образом. На данном графике (Рис.9) видно, что при стремлении скорости сжатия к нулю получаем значение критической силы равной силе Эйлера (Fe).
 
−
Показан тот факт, что действительно в динамике значение критической силы можно получить в несколько раз больше статической силы Эйлера. В данном случае в 12 раз больше. Далее строится аналогичная зависимость, но для разных начальных случайных скоростей частиц цепочки (Рис. 10) и сравнивается с решением, полученным в континуальной постановке задачи. <br><br>
 
−
 
−
Приведено два графика (Рис.10-11), поскольку стоит отметить, что при локально малых скоростей сжатия видно качественное сходство в полученных результатах и решении задачи Хоффа.
 
−
При построении графика по формуле (19) подбирался коэффициент d (кривизна) таким образом, чтобы получить максимально близкие значения критических сил к тем, что были определены в данной работе с разными случайными начальными скоростями.
 
−
Диапозон скоростей сжатия (0 – 0.0002) в заданной конфигурации взят неслучайно. При данных значениях мы получаем первую форму потери устойчивости.
 
  
−
===Вторая Форма потери устойчивости===
+
===Формы потери устойчивости===
−
Вторая форма потери устойчивости имеет следующий геометрический вид (Рис.2)
 
−
Определим, при каких начальных скоростей сжатия получается вторая форма потери устойчивости дискретного стержня. И каким образом на это влияет тепловое движение.
 
−
Для этого построим зависимость критической силы от начальных скоростей сжатия, взятых в больших диапазонах (Рис.13).
 
  
 
==Результаты и выводы работы==
 
==Результаты и выводы работы==
Строка 128: Строка 100:
 
4. Показано влияние теплового движения на получение второй
 
4. Показано влияние теплового движения на получение второй
 
формы потери устойчивости.<br>
 
формы потери устойчивости.<br>
−
==Материалы работы==
 
−
*'''[[Медиа:Моделирование динамической потери устойчивости дискретных стержней при сжатии 0.pptx|Презентация работы(pptx)]]'''
 
−
*'''[[Медиа:Постер Киселев.pdf|Превью(pdf)]]'''
 
−
*'''[[Медиа:Постер Киселев.pdf|Плакат(pdf)]]'''
 
−
 
 
==Список литературы==
 
==Список литературы==
 
[1] Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем. Докл. АН СССР, 64, №6, 1949, 779-782 <br>
 
[1] Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем. Докл. АН СССР, 64, №6, 1949, 779-782 <br>
Вам запрещено изменять защиту статьи.
Связанное содержимое ↓
Edit Создать редактором
Шаблоны быстрого доступа

Обратите внимание, что все добавления и изменения текста статьи рассматриваются как выпущенные на условиях лицензии Public Domain (см. Department of Theoretical and Applied Mechanics:Авторские права). Если вы не хотите, чтобы ваши тексты свободно распространялись и редактировались любым желающим, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого.
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ МАТЕРИАЛЫ, ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ!

To protect the wiki against automated edit spam, we kindly ask you to solve the following CAPTCHA:

Отменить | Справка по редактированию  (в новом окне)
Источник — «http://tm.spbstu.ru/Динамическая_потеря_устойчивости_дискретного_стержня_при_сжатии»