Редактирование: Васильев Максим Диплом

== Исследование некоторых вопросов о колебаниях в кристаллических решетках ==

=== На данный момент сделано ===

1. Численно и аналитически решена задача с точечным единичным перемещением в центре бесконечной одномерной цепочки

2. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре бесконечной цепочки

3. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре двумерной бесконечной квадратной решетки

4. Численно и аналитически решена задача с парой сил, приложенных в различных направлениях к частицам, отстоящим друг от друга на определенное расстояние (1D цепочка)

5. Численно и аналитически решена задача с парой сил, приложенных в различных направлениях к частицам, отстоящим друг от друга на определенное расстояние (2D цепочка)

6. '''Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре бесконечной цепочки и одним закрепленным элементом'''

Таким образом получены соотношения позволяющие решить задачу с любыми начальными условиями и любыми силами, приложенными к любым частицам в одномерной и двумерной цепочках.

== Моделирование падения двумерной цепочки ==

===Постановка задачи===
Смоделировать падение двумерной цепочки в поле силы тяжести при отпускании одного из концов. Цепочка представляет собой соединенные между собой точечные массы.
::<math>m</math> - масса частиц, 
::<math>k</math> - жесткость пружин , 
::<math>l0</math> - равновесное расстояние, 
::<math>\mathbf{g}</math> - ускорение свободного падения (вектор). <math>g</math> - его модуль
::<math>N</math> - количество частиц. 
::<math>\beta</math> - коэффициент вязкости
::<math>\bf{K_1}</math> - количество движения материальной точки
::<math>\bf{F}</math> - Сила, действующая на материальную точку

===Математическая модель ===

Как было сказано ранее, рассматривается двумерная цепочка с двумя закрепленными концами. Запишем для нее уравнения динамики:

1. Баланс количества движения:

::<math>\mathbf{\dot{K_1}} = \sum\mathbf{F}</math>
::<math> \mathbf{\dot{K_1}} = (m\dot{\mathbf{R}}\dot{)} </math>
::<math> \mathbf{R} = R_x\mathbf{e_x} + R_y\mathbf{e_y} </math>
::<math> \mathbf{\dot{R}} = V_x\mathbf{e_x} + V_y\mathbf{e_y} </math>
::<math> \mathbf{\ddot{R}} = A_x\mathbf{e_x} + A_y\mathbf{e_y} </math>

2. Запишем равнодействующую сил, действующих на частицу:

::<math> \sum{\mathbf{F}} = -k(\Delta{\mathbf{r}}_{n-1} + \Delta{\textbf{r}}_{n+1}) - mg\mathbf{e_{y}} - \beta\dot{\mathbf{R}}  </math>

3. Преобразуем полученные выражения и используем некоторые геометрические тождества:

::<math> l_{left} = \sqrt{(x_{n}-x_{n-1})^2 + (y_{n}-y_{n-1})^2)} </math>
::<math> l_{right} = \sqrt{(x_{n}-x_{n+1})^2 + (y_{n}-y_{n+1})^2)} </math>
::<math> \Delta{\mathbf{r}}_{n-1} = (l_{left} - l0)\mathbf{e}_{n-1,n} </math>
::<math> \Delta{\mathbf{r}}_{n+1} = (l_{right} - l0)\mathbf{e}_{n+1,n} </math>
::<math> \mathbf{e}_{n-1,n} = \frac{(x_{n}-x_{n-1})}{l_{left}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n-1})}{l_{left}}\mathbf{e_{y}} </math>
::<math> \mathbf{e}_{n+1,n} = \frac{(x_{n}-x_{n+1})}{l_{right}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n+1})}{l_{right}}\mathbf{e_{y}} </math>

4. Подставим все полученные соотношения в баланс количества движения и определим проекции сил на координатные оси

::<math> m*(A_xe_x + A_ye_y) = -k*(\frac{(l_{left} - l0)(x_{n}-x_{n-1})}{l_{left}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n-1})(l_{left} - l0)}{l_{left}}\mathbf{e_{y}} + \frac{(l_{right} - l0)(x_{n}-x_{n+1})}{l_{right}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n+1})(l_{right} - l0)}{l_{right}}\mathbf{e_{y}}) - mg\mathbf{e_{y}} - \beta\dot{\mathbf{R}} </math>

Отсюда получим:

::<math>\begin{cases}
F_x = mA_x = k(\frac{(l_{left}-l0)(x_{n-1}-x_{n})}{l_{left}} + \frac{(l_{right}-l0)(x_{n+1}-x_{n})}{l_{right}}) - \beta{V_x}\\
F_y = mA_y = k(\frac{(l_{left}-l0)(y_{n-1}-y_{n})}{l_{left}} + \frac{(l_{right}-l0)(y_{n+1}-y_{n})}{l_{right}}) - \beta{V_y} - mg
\end{cases} </math>

5. Решать полученные уравнения движения будем при помощи симплектического (сохраняющего энергию) метода Верле c нулевыми начальными условиями и условием закрепления на конце

::<math> \begin{cases}
V_{i+1} = V_i+A_i\Delta{t}\\
X_{i+1} = X_i+V_{i+1}\Delta{t},
\end{cases} </math>

где i зменяется в промежутке от 0 до желаемого количества итераций моделирования (<math>maxiter</math>). Тогда время моделирования будет определяться как <math>t_{max} = dt*maxiter</math>.

::<math> V|_{t=0} = 0; V|_{x=0} = 0; V|_{x=N} = 0 </math>

Таким образом сможем получить равновесное состояние цепочки при любом ее начальном положении. Для конкретики, в качестве начального расположения частиц будем брать параболу. После того, как достигнется состояние равновесия, граничное условие на правом конце убирается и дальше исследуется задача, озвученная выше.

===Демонстрация работы программы===
<div align = "center">{{#widget:Iframe |url =  http://tm.spbstu.ru/htmlets/Vasiliev/VidChain.mp4|width=800|height=800}}</div>
===Выводы===
Смоделировано падение двумерной цепочки, подвешенной за два конца при отпускании одного из них. Показано, что отпущенный конец движется с ускорением, превышающим ускорение свободного падения, а также, при достижении этим элементом цепочки крайней точки его траектории, можно наблюдать эффект хлыста. 
В рамках решения данной задачи было написано приложение с использованием программы App Designer, входящего в пакет Matlab, ссылка на которое будет расположена ниже.

В ходе выполнения работы было установлено, что отпущенный конец цепи опережает свободно падающее тело не в силу каких-либо эффектов, связанных с процессами, происходящими в месте изгиба цепочки, а за счет ускорения, приобретенного им в начале падения в силу начального преднатяжения цепочки. Это ускорение приближенно равно N*g/2. Это подтверждается тем, что график зависимости вертикального расстояния от крайней правой частицы цепочки до свободно падающего тела, брошенного одновременно с отпусканием правого края цепочки, ведет себя линейно (до момента достижения правым концом цепочки нижней точки падения, где проявляется эффект "хлыста" - о нем будет сказано ниже). 
Также это подтверждается характером графика зависимости a/g от времени. На нем видно, что в начальный момент времени (после отпускания правого край цепи), ускорение, как уже было сказано выше, приблизительно равно N*g/2, после чего они линейно и очень быстро (относительно остальных времен в системе) достигает значения 1, то есть ускорение правого края цепи равно ускорению свободного падения до момента появления "хлыстовых" эффектов.

Как было сказано выше, в процессе выполнения работы также удалось смоделировать эффект "хлыста" - резкое, скачкообразное увеличение ускорения цепочки при достижении ею нижней точки падения. Для разных параметров цепочки(массы, жесткости пружин, количества частиц, равноовесного расстояния между частицами) можно добиться ускорения в нижней точке в более, чем 50*g.

===Полезные ссылки===
# http://tm.spbstu.ru/Курсовые_работы_по_ВМДС:_2022-2023 - курсовые работы студентов 4-го курса 2022-2023 года по курсу дискретной механики
# http://tm.spbstu.ru/Введение_в_механику_дискретных_сред - курс механики дискретных сред
# https://github.com/sideov/FallingChain - исходный код программы, написанной в ходе выполнения проекта