Васильев Максим Диплом

Исследование некоторых вопросов о колебаниях в кристаллических решетках

На данный момент сделано

1. Численно и аналитически решена задача с точечным единичным перемещением в центре бесконечной одномерной цепочки

2. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре бесконечной цепочки

3. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре двумерной бесконечной квадратной решетки

4. Численно и аналитически решена задача с парой сил, приложенных в различных направлениях к частицам, отстоящим друг от друга на определенное расстояние (1D цепочка)

5. Численно и аналитически решена задача с парой сил, приложенных в различных направлениях к частицам, отстоящим друг от друга на определенное расстояние (2D цепочка)

6. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре бесконечной цепочки и одним закрепленным элементом

Таким образом получены соотношения позволяющие решить задачу с любыми начальными условиями и любыми силами, приложенными к любым частицам в одномерной и двумерной цепочках.

Моделирование падения двумерной цепочки

Постановка задачи

Смоделировать падение двумерной цепочки в поле силы тяжести при отпускании одного из концов. Цепочка представляет собой соединенные между собой точечные массы.

[math]m[/math] - масса частиц,

[math]k[/math] - жесткость пружин ,

[math]l0[/math] - равновесное расстояние,

[math]\mathbf{g}[/math] - ускорение свободного падения (вектор). [math]g[/math] - его модуль

[math]N[/math] - количество частиц.

[math]\beta[/math] - коэффициент вязкости

[math]\bf{K_1}[/math] - количество движения материальной точки

[math]\bf{F}[/math] - Сила, действующая на материальную точку

Математическая модель

Как было сказано ранее, рассматривается двумерная цепочка с двумя закрепленными концами. Запишем для нее уравнения динамики:

1. Баланс количества движения:

[math]\mathbf{\dot{K_1}} = \sum\mathbf{F}[/math]

[math] \mathbf{\dot{K_1}} = (m\dot{\mathbf{R}}\dot{)} [/math]

[math] \mathbf{R} = R_x\mathbf{e_x} + R_y\mathbf{e_y} [/math]

[math] \mathbf{\dot{R}} = V_x\mathbf{e_x} + V_y\mathbf{e_y} [/math]

[math] \mathbf{\ddot{R}} = A_x\mathbf{e_x} + A_y\mathbf{e_y} [/math]

2. Запишем равнодействующую сил, действующих на частицу:

[math] \sum{\mathbf{F}} = -k(\Delta{\mathbf{r}}_{n-1} + \Delta{\textbf{r}}_{n+1}) - mg\mathbf{e_{y}} - \beta\dot{\mathbf{R}} [/math]

3. Преобразуем полученные выражения и используем некоторые геометрические тождества:

[math] l_{left} = \sqrt{(x_{n}-x_{n-1})^2 + (y_{n}-y_{n-1})^2)} [/math]

[math] l_{right} = \sqrt{(x_{n}-x_{n+1})^2 + (y_{n}-y_{n+1})^2)} [/math]

[math] \Delta{\mathbf{r}}_{n-1} = (l_{left} - l0)\mathbf{e}_{n-1,n} [/math]

[math] \Delta{\mathbf{r}}_{n+1} = (l_{right} - l0)\mathbf{e}_{n+1,n} [/math]

[math] \mathbf{e}_{n-1,n} = \frac{(x_{n}-x_{n-1})}{l_{left}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n-1})}{l_{left}}\mathbf{e_{y}} [/math]

[math] \mathbf{e}_{n+1,n} = \frac{(x_{n}-x_{n+1})}{l_{right}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n+1})}{l_{right}}\mathbf{e_{y}} [/math]

4. Подставим все полученные соотношения в баланс количества движения и определим проекции сил на координатные оси:

[math] m*(A_xe_x + A_ye_y) = -k*(\frac{(l_{left} - l0)(x_{n}-x_{n-1})}{l_{left}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n-1})(l_{left} - l0)}{l_{left}}\mathbf{e_{y}} + \frac{(l_{right} - l0)(x_{n}-x_{n+1})}{l_{right}}\mathbf{e_{x}}+ \frac{(y_{n}-y_{n+1})(l_{right} - l0)}{l_{right}}\mathbf{e_{y}}) - mg\mathbf{e_{y}} - \beta\dot{\mathbf{R}} [/math]

Отсюда получим:

[math]\begin{cases} F_x = mA_x = k(\frac{(l_{left}-l0)(x_{n-1}-x_{n})}{l_{left}} + \frac{(l_{right}-l0)(x_{n+1}-x_{n})}{l_{right}}) - \beta{V_x}\\ F_y = mA_y = k(\frac{(l_{left}-l0)(y_{n-1}-y_{n})}{l_{left}} + \frac{(l_{right}-l0)(y_{n+1}-y_{n})}{l_{right}}) - \beta{V_y} - mg \end{cases} [/math]

5. Решать полученные уравнения движения будем при помощи симплектического (сохраняющего энергию) метода Верле c нулевыми начальными условиями и условиями закрепления на концах:

[math] \begin{cases} V_{i+1} = V_i+A_i\Delta{t}\\ X_{i+1} = X_i+V_{i+1}\Delta{t}, \end{cases} [/math]

где i зменяется в промежутке от 0 до желаемого количества итераций моделирования ([math]maxiter[/math]). Тогда время моделирования будет определяться как [math]t_{max} = dt*maxiter[/math].

[math] V|_{t=0} = 0; V|_{x=0} = 0; V|_{x=N} = 0 [/math]

Таким образом сможем получить равновесное состояние цепочки при любом ее начальном положении. Для конкретики, в качестве начального расположения частиц будем брать параболу. После того, как достигнется состояние равновесия, граничное условие на правом конце убирается и дальше исследуется задача, озвученная выше.

Выводы

Смоделировано падение двумерной цепочки, подвешенной за два конца при отпускании одного из них. Показано, что отпущенный конец движется с ускорением, превышающим ускорение свободного падения, а также, при достижении этим элементом цепочки крайней точки его траектории, можно наблюдать эффект хлыста. В рамках решения данной задачи было написано приложение с использованием программы App Designer, входящего в пакет Matlab, ссылка на которое будет расположена ниже.

В ходе выполнения работы было установлено, что отпущенный конец цепи опережает свободно падающее тело не в силу каких-либо эффектов, связанных с процессами, происходящими в месте изгиба цепочки, а за счет ускорения, приобретенного им в начале падения в силу начального преднатяжения цепочки. Это ускорение приближенно равно N*g/2. Это подтверждается тем, что график зависимости вертикального расстояния от крайней правой частицы цепочки до свободно падающего тела, брошенного одновременно с отпусканием правого края цепочки, ведет себя линейно (до момента достижения правым концом цепочки нижней точки падения, где проявляется эффект "хлыста" - о нем будет сказано ниже). Также это подтверждается характером графика зависимости a/g от времени. На нем видно, что в начальный момент времени (после отпускания правого край цепи), ускорение, как уже было сказано выше, приблизительно равно N*g/2, после чего они линейно и очень быстро (относительно остальных времен в системе) достигает значения 1, то есть ускорение правого края цепи равно ускорению свободного падения до момента появления "хлыстовых" эффектов.

Как было сказано выше, в процессе выполнения работы также удалось смоделировать эффект "хлыста" - резкое, скачкообразное увеличение ускорения цепочки при достижении ею нижней точки падения. Для разных параметров цепочки(массы, жесткости пружин, количества частиц, равноовесного расстояния между частицами) можно добиться ускорения в нижней точке в более, чем 50*g.

Полезные ссылки

1. http://tm.spbstu.ru/Курсовые_работы_по_ВМДС:_2022-2023 - курсовые работы студентов 4-го курса 2022-2023 года по курсу дискретной механики
2. http://tm.spbstu.ru/Введение_в_механику_дискретных_сред - курс механики дискретных сред
3. https://github.com/sideov/FallingChain - исходный код программы, написанной в ходе выполнения проекта