Уравнение состояния Ми-Грюнайзена

for English press here

Основной источник

Материал данной статьи более подробно и полно изложен в публикации Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнения состояния идеальных кристаллов простой структуры // Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3. (English translation: A.M. Krivtsov, V.A. Kuzkin, Derivation of Equations of State for Ideal Crystals of Simple Structure // Mech. Solids. 46 (3), 387-399 (2011))

Уравнение состояния Ми-Грюнайзена

При больших давлениях и температурах принято представлять давление [math]p[/math] в конденсированном веществе в виде суммы "холодной" и "тепловой" компонент:

[math]p = p_0 + p_T, ~~~~ p_T = p - p_0[/math]

Холодная компонента, часто называемая "холодной кривой" (cold curve), обусловлена деформированием кристаллической решетки, а вторая - тепловыми колебаниями атомов. Иными словами, холодное давление зависит только от объема, а тепловое - от объема и тепловой энергии [math] E_T [/math]:

[math]p = p_0(V) + p_T(V,E_T)[/math]

Тепловая энергия - часть внутренней энергии твердого тела, обусловленная тепловым движением атомов. В первом приближении тепловая энергия равна [math] c_V T [/math]. На практике часто предполагается линейная связь теплового давления и тепловой энергии:

[math] p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T[/math]

Данное уравнение называют уравнением состояния Ми-Грюнайзена, а функцию [math]\varGamma(V)[/math] - функцией Грюнайзена. Значение [math] \varGamma_0 [/math]функции Грюнайзена в недеформированном состоянии тела называют коэффициентом Грюнайзена.

[math] \varGamma_0 = \varGamma(V_0)[/math]

Уравнение состояния для кристаллов простой структуры

[math] p_0 = \frac{1}{2V_0d\theta^d}\sum_{k=1}^n N_k\varPhi_k A_k^2,~~~~\varGamma = -\frac{\sum_{k=1}^n N_k((d+2)\varPhi'_k A_k^2 + 2\varPhi''_k A_k^4 )}{d\sum_{k=1}^n N_k (d\varPhi_k +2\varPhi'_k A_k^2)} [/math]

где [math]k[/math] - номер координационной сферы, [math]n[/math] - их число, [math]N_k[/math] - число атомов на [math]k[/math]-ой координационной сфере, [math] A_k = \rho_k R \theta[/math] - радиус координационной сферы, [math] \rho_k=A_k/A_1 [/math] - безразмерные константы решетки, [math]R[/math] - радиус первой координационной сферы в отсчетном положении, [math]\varPhi^{(n)}_k = \varPhi^{(n)}(A_k^2)[/math].

Холодная кривая для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе

• Потенциал Леннарда-Джонса:

[math] \varPi(r) =D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right], ~~~~ p_0 = \frac{6MD}{dV_0\theta^{d}}(\theta^{-12}-\theta^{-6}) [/math]

• Потенциал Ми

[math] \varPi(r) =\frac{D}{n-m} \left[m\left(\frac{a}{r}\right)^{n}-n\left(\frac{a}{r}\right)^{m} \right], ~~~~ p_0 =\frac{m n MD}{2d(n-m)V_0\theta^{d}}\left(\theta^{-n}-\theta^{-m}\right) [/math]

• Потенциал Морзе

[math] \varPi(r) = D\left[e^{2\alpha(a-r)}-2e^{\alpha(a-r)}\right], ~~~~ p_0 = \frac{\alpha a MD}{d V_0\theta^{d-1}} \left[e^{2\alpha a(1-\theta)}-e^{\alpha a(1-\theta)}\right] [/math]

Здесь [math]D[/math] - энергия связи, [math]a[/math] - длина связи, [math]\alpha[/math] - параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы; [math]m, n[/math] - параметры потенциала Ми.

Коэффициент Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе

Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности [math]d[/math] имеет вид:

[math] \varGamma_0 = -\frac{1}{2d}\frac{\varPi'''(a)a^2 + (d-1)\left[\varPi''(a)a - \varPi'(a)\right]}{\varPi''(a)a + (d-1)\varPi'(a)} [/math]

где [math]\Pi[/math] - потенциал межатомного взаимодействия, [math]a[/math] - равновесное расстояние, [math]d[/math] - размерность пространства. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннарда-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице.

решетка	размерность пространства	Потенциал Леннарда-Джонса	Потенциал Ми	Потенциал Морзе
Цепочка	[math] d=1 [/math]	[math]10\frac{1}{2} [/math]	[math]\frac{m+n+3}{2}[/math]	[math]\frac{3\alpha a}{2}[/math]
Треугольная решетка	[math]d=2 [/math]	[math]5[/math]	[math] \frac{m+n+2}{4}[/math]	[math] \frac{3\alpha a - 1}{4}[/math]
ГЦК, ОЦК	[math]d=3 [/math]	[math]\frac{19}{6} [/math]	[math]\frac{n+m+1}{6}[/math]	[math]\frac{3\alpha a-2}{6}[/math]
"Гиперрешетка"	[math]d=\infty[/math]	[math]-\frac{1}{2}[/math]	[math]-\frac{1}{2}[/math]	[math]-\frac{1}{2}[/math]
Общая формула	[math]d[/math]	[math]\frac{11}{d}-\frac{1}{2}[/math]	[math]\frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}[/math]	[math]\frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}[/math]

Функция Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе

• Потенциал Леннарда-Джонса:

[math] \varGamma = \frac{1}{d}\frac{4(8-d)\theta^{6}-7(14-d)}{(8-d)\theta^{6}-(14-d)}. [/math]

• Потенциал Ми

[math] \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{(n+2)(n-d+2)\theta^{m-n}-(m+2)(m-d+2)}{(n-d+2)\theta^{m-n}-(m-d+2)}. [/math]

• Потенциал Морзе

[math] \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{e^{\alpha a(1-\theta)}\left(4\alpha^2a^2\theta^2-2d_1\alpha a \theta-d_1\right)-\left(\alpha^2 a^2\theta^2-d_1\alpha a\theta-d_1 \right)}{e^{\alpha a(1-\theta)}(2\alpha a\theta-d_1) -(\alpha a\theta-d_1)},~~ [/math] [math]d_1 = d-1,~~[/math] [math]\theta=(V/V_0)^{1/d}[/math]

Статьи

• Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнения состояния идеальных кристаллов простой структуры // Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3.

Ссылки

• Статья про уравнение Ми-Грюнайзена в Википедии

• Mie–Gruneisen equation of state