Уравнение состояния Ми-Грюнайзена

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск

Кафедра ТМ > Научный справочник > Механика > МДС > Уравнение состояния Ми-Грюнайзена

for English press here

Основной источник[править]

Материал данной статьи более подробно и полно изложен в публикации

English translation: Krivtsov A.M., Kuzkin V.A. Derivation of Equations of State for Ideal Crystals of Simple Structure // Mech. Solids. 46 (3), 387-399 (2011) (Download pdf: 529 Kb)

Уравнение состояния Ми-Грюнайзена[править]

При больших давлениях и температурах принято представлять давление $ p $ в конденсированном веществе в виде суммы "холодной" и "тепловой" компонент:

$ p = p_0 + p_T, ~~~~ p_T = p - p_0 $

Холодная компонента, часто называемая "холодной кривой" (cold curve), обусловлена деформированием кристаллической решетки, а вторая - тепловыми колебаниями атомов. Иными словами, холодное давление зависит только от объема, а тепловое - от объема и тепловой энергии $ E_T $:

$ p = p_0(V) + p_T(V,E_T) $

Тепловая энергия - часть внутренней энергии твердого тела, обусловленная тепловым движением атомов. В первом приближении тепловая энергия равна $ c_V T $. На практике часто предполагается линейная связь теплового давления и тепловой энергии:

$ p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T $

Данное уравнение называют уравнением состояния Ми-Грюнайзена, а функцию $ \varGamma(V) $ - функцией Грюнайзена. Значение $ \varGamma_0 $ функции Грюнайзена в недеформированном состоянии тела называют коэффициентом Грюнайзена.

$ \varGamma_0 = \varGamma(V_0) $

Уравнение состояния для кристаллов простой структуры[править]

$ p_0 = \frac{1}{2V_0d\theta^d}\sum_{k=1}^n N_k\varPhi_k A_k^2,~~~~\varGamma = -\frac{\sum_{k=1}^n N_k((d+2)\varPhi'_k A_k^2 + 2\varPhi''_k A_k^4 )}{d\sum_{k=1}^n N_k (d\varPhi_k +2\varPhi'_k A_k^2)} $

где $ k $ - номер координационной сферы, $ n $ - их число, $ N_k $ - число атомов на $ k $-ой координационной сфере, $ A_k = \rho_k R \theta $ - радиус координационной сферы, $ \rho_k=A_k/A_1 $ - безразмерные константы решетки, $ R $ - радиус первой координационной сферы в отсчетном положении, $ \varPhi^{(n)}_k = \varPhi^{(n)}(A_k^2) $.

Холодная кривая для потенциалов Леннард-Джонса, Ми, Морзе[править]

В случае учета только взаимодействий между ближайшими соседями холодная кривая имеет вид.

  • Холодная кривая для потенциала Леннард-Джонса:

$ \varPi(r) =D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right], ~~~~ p_0 = \frac{6MD}{dV_0\theta^{d}}(\theta^{-12}-\theta^{-6}) $

  • Холодная кривая для потенциала Ми:

$ \varPi(r) =\frac{D}{n-m} \left[m\left(\frac{a}{r}\right)^{n}-n\left(\frac{a}{r}\right)^{m} \right], ~~~~ p_0 =\frac{m n MD}{2d(n-m)V_0\theta^{d}}\left(\theta^{-n}-\theta^{-m}\right) $

  • Холодная кривая для потенциала Морзе:

$ \varPi(r) = D\left[e^{2\alpha(a-r)}-2e^{\alpha(a-r)}\right], ~~~~ p_0 = \frac{\alpha a MD}{d V_0\theta^{d-1}} \left[e^{2\alpha a(1-\theta)}-e^{\alpha a(1-\theta)}\right] $

Здесь $ D $ - энергия связи, $ a $ - длина связи, $ \alpha $ - параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы; $ m, n $ - параметры потенциала Ми.

Коэффициент Грюнайзена для потенциалов Леннард-Джонса, Ми, Морзе[править]

Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности $ d $ имеет вид:

$ \varGamma_0 = -\frac{1}{2d}\frac{\varPi'''(a)a^2 + (d-1)\left[\varPi''(a)a - \varPi'(a)\right]}{\varPi''(a)a + (d-1)\varPi'(a)} $

где $ \Pi $ - потенциал межатомного взаимодействия, $ a $ - равновесное расстояние, $ d $ - размерность пространства. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннард-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице.

решетка размерность пространства Потенциал Леннард-Джонса Потенциал Ми Потенциал Морзе
Цепочка $ d=1 $ $ 10\frac{1}{2} $ $ \frac{m+n+3}{2} $ $ \frac{3\alpha a}{2} $
Треугольная решетка $ d=2 $ $ 5 $ $ \frac{m+n+2}{4} $ $ \frac{3\alpha a - 1}{4} $
ГЦК, ОЦК $ d=3 $ $ \frac{19}{6} $ $ \frac{n+m+1}{6} $ $ \frac{3\alpha a-2}{6} $
"Гиперрешетка" $ d=\infty $ $ -\frac{1}{2} $ $ -\frac{1}{2} $ $ -\frac{1}{2} $
Общая формула $ d $ $ \frac{11}{d}-\frac{1}{2} $ $ \frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2} $ $ \frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2} $

Функция Грюнайзена для потенциалов Леннард-Джонса, Ми, Морзе[править]

В случае учета только взаимодействий между ближайшими соседями функция Грюнайзена имеет вид.

  • Функция Грюнайзена для потенциала Леннард-Джонса:

$ \varGamma = \frac{1}{d}\frac{4(8-d)\theta^{6}-7(14-d)}{(8-d)\theta^{6}-(14-d)}. $

  • Функция Грюнайзена для потенциала Ми:

$ \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{(n+2)(n-d+2)\theta^{m-n}-(m+2)(m-d+2)}{(n-d+2)\theta^{m-n}-(m-d+2)}. $

  • Функция Грюнайзена для потенциала Морзе:

$ \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{e^{\alpha a(1-\theta)}\left(4\alpha^2a^2\theta^2-2d_1\alpha a \theta-d_1\right)-\left(\alpha^2 a^2\theta^2-d_1\alpha a\theta-d_1 \right)}{e^{\alpha a(1-\theta)}(2\alpha a\theta-d_1) -(\alpha a\theta-d_1)},~~ $ $ d_1 = d-1,~~ $ $ \theta=(V/V_0)^{1/d} $

Статьи[править]

Ссылки[править]