Модели Фоккера-Планка

Основной недостаток изотермических сфер состоит в том, что они бесконечны. Если бы не этот факт, то как простые модели они могли бы очень хорошо представлять реальные системы. Основным их достоинством является максвеловское распределение скоростей, поскольку именно такое распределение характеризует прорелаксировавшие системы. Для того, чтобы сделать сферу конечной, можно ввести свойственную конечным системам скорость убегания. Скорость убегания на границе изолированной системы зависит только от её полной массы [math]M[/math] и радиуса [math]R[/math]. Внутри системы локальная скорость убегания, т.е. скорость, необходимая для того, чтобы находящейся в некоторой внутренней точке [math]r[/math] объект мог покинуть систему будет зависеть от локального значения гравитационного потенциала. Поэтому в области значений [math]v\gt v_e[/math]функция распределения [math]f(r,v,t)[/math] очень близка к нулю ([math]v_e[/math] значение скорости убегания).

При этих условиях можно сделать интуитивное предположение о характере распределения скоростей. Это предположение оказывается верным в данной модели и его можно доказать более строго (см. Саслоу "Грав. физика звёздных и галакт. систем"). Усечённая функция распределения Максвелла имеет вид:

[math](1):f(v)=A(e^{-j^2 v^2}-B)[/math],

где [math]A[/math] и [math]B[/math] константы. С физической точки зрения [math]f(v)=0[/math] при [math]e^{-j^2 v^2} le B[/math], и для того, чтобы это выполнялось, необходимо, чтобы [math]B=e^{-j^2 v_e^2}[/math]. Константу [math]A[/math] можно получить, производя нормировку таким образом, чтобы [math]f(v)=1[/math] при наиболее вероятном значении скорости [math]v=0[/math].

В результате имеем:

[math](2): f(v)=A\cdot(e^{-j^2 v^2}-e^{-j^2 v_e^2})=\frac{e^{-j^2 v^2}-e^{-j^2 v_e^2}}{1-e^{-j^2 v_e^2}}[/math]