Васильев Максим Диплом

Исследование некоторых вопросов о колебаниях в кристаллических решетках

На данный момент сделано

1. Численно и аналитически решена задача с точечным единичным перемещением в центре бесконечной одномерной цепочки

2. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре бесконечной цепочки

3. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре двумерной бесконечной квадратной решетки

4. Численно и аналитически решена задача с парой сил, приложенных в различных направлениях к частицам, отстоящим друг от друга на определенное расстояние (1D цепочка)

5. Численно и аналитически решена задача с парой сил, приложенных в различных направлениях к частицам, отстоящим друг от друга на определенное расстояние (2D цепочка)

6. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре бесконечной цепочки и одним закрепленным элементом

Таким образом получены соотношения позволяющие решить задачу с любыми начальными условиями и любыми силами, приложенными к любым частицам в одномерной и двумерной цепочках.

В рамках предмета "Дискретная механика" решена следующая задача

Постановка задачи

Смоделировать падение дмумерной цепочки в поле силы тяжести при отпускании одного из концов. Цепочка представляет собой соединенные между собой точечные массы.

1. m - масса частиц,
2. k - жесткость пружин ,
3. l0 - равновесное расстояние,
4. g - ускорение свободного падения,
5. N - количество частиц.
6. betta - коэффициент вязкости
7. gamma - коэффициент относительной скорости частиц

Математическая модель

Как было сказано ранее, рассматривается двумерная цепочка с двумя закрепленными концами. Запишем для нее уравнения динамики:

1. Баланс количества движения

[math]\mathbf{\dot(K_1)} = \sum\mathbf{F}[/math]

[math] \mathbf{K1} = \dot{(m\dot{\mathbf{R}})} [/math]

[math] \mathbf{R} = R_xe_x + R_ye_y [/math]

[math] \mathbf{\dot{R}} = V_xe_x + V_ye_y [/math]

[math] \mathbf{\ddot{R}} = A_xe_x + A_ye_y [/math]

2. Запишем равнодействующую сил, действующих на частицу

[math] \sum{\mathbf{F}} = -k(\Delta{\textbf{r}}_{n-1} + \Delta{\textbf{r}}_{n+1}) - mg\mathbf{e_{y}} - \beta\dot{\mathbf{R}} [/math]

[math] \Delta{\mathbf{r}}_{n-1} = (l_{left} - l0)\mathbf{e}_{n,n-1} [/math]

[math] \Delta{\mathbf{r}}_{n+1} = (l_{right} - l0)\mathbf{e}_{n,n+1} [/math]

[math] e_{n,n-1} = (x_{n}-x_{n-1})/l_{left}e_{x}+ (y_{n}-y_{n-1})/l_{left}e_{y} [/math]

[math] e_{n,n+1} = (x_{n}-x_{n+1})/l_{right}e_{x}+ (y_{n}-y_{n+1})/l_{right}e_{y} [/math]

3. Подставим все полученные соотношения в баланс количества движения и определим проекции сил на координатные оси

[math] m*(A_xe_x + A_ye_y) = -k((l_{left} - l0)(x_{n}-x_{n-1})/l_{left}e_{x}+ (y_{n}-y_{n-1})/l_{left}e_{y} + (l_{right} - l0)(x_{n}-x_{n+1})/l_{right}e_{x}+ (y_{n}-y_{n+1})/l_{right}e_{y}) - mg\mathbf{e_{y}} - \beta\dot{\mathbf{R}} [/math]

Отсюда получим:

[math] mA_x = -k(l_{left}-l0)(x_{n-1}-x_{n})/l_{left} + (l_{right}-l0)(x_{n+1}-x_{n})/l_{left}) - \beta{V_x} [/math]

[math] mA_y = -k(l_{left}-l0)(y_{n-1}-y_{n})/l_{left} + (l_{right}-l0)(y_{n+1}-y_{n})/l_{left}) - \beta{V_x} - mg [/math]

Решать полученные уравнения движения будем при помощи симплектического (сохраняющего энергию) метода Верле

[math] [/math]

[math] [/math]

Выводы

Смоделировано падение двумерной цепочки, подвешенной за два конца при отпускании одного из них. Показано, что отпущенный конец движется с ускорением, превышающим ускорение свободного падения, а также, при достижении этим элементом цепочки крайней точки его траектории, можно наблюдать эффект хлыста. В рамках решения данной задачи было написано приложение с использованием программы App Designer, входящего в пакет Matlab, ссылка на которое будет расположена ниже.

В ходе выполнения работы было установлено, что отпущенный конец цепи опережает свободно падающее тело не в силу каких-либо эффектов, связанных с процессами, происходящими в месте изгиба цепочки, а за счет ускорения, приобретенного им в начале падения в силу начального преднатяжения цепочки. Это ускорение приближенно равно N*g/2, где N - число частиц в цепочке, g - ускорение свободного падения. Это подтверждается тем, что график зависимости вертикального расстояния от крайней правой частицы цепочки до свободно падающего тела, брошенного одновременно с отпусканием правого края цепочки, ведет себя линейно (до момента достижения правым концом цепочки нижней точки падения, где проявляется эффект "хлыста" - о нем будет сказано ниже). Также это подтверждается характером графика зависимости a/g от времени, где a - ускорение падения правого края цепочки, а g - ускорение свободного падения. На нем видно, что в начальный момент времени (после отпускания правого край цепи), ускорение, как уже было сказано выше, приблизительно равно N*g/2, после чего они линейно и очень быстро (относительно остальных времен в системе) достигает значения 1, то есть ускорение правого края цепи равно ускорению свободного падения до момента появления "хлыстовых" эффектов.

Как было сказано выше, в процессе выполнения работы также удалось смоделировать эффект "хлыста" - резкое, скачкообразное увеличение ускорения цепочки при достижении ею нижней точки падения. Для разных параметров цепочки(массы, жесткости пружин, количества частиц, равноовесного расстояния между частицами) можно добиться ускорения в нижней точке в более, чем 50*g, где g - ускорение свободного падения.

Полезные ссылки

1. http://tm.spbstu.ru/Курсовые_работы_по_ВМДС:_2022-2023 - курсовые работы студентов 4-го курса 2022-2023 года по курсу дискретной механики
2. http://tm.spbstu.ru/Введение_в_механику_дискретных_сред - курс механики дискретных сред
3. https://github.com/sideov/FallingChain - исходный код программы, написанной в ходе выполнения проекта