Васильев Максим Диплом
Содержание
Исследование некоторых вопросов о колебаниях в кристаллических решетках
На данный момент сделано
1. Численно и аналитически решена задача с точечным единичным перемещением в центре бесконечной одномерной цепочки
Файл:Tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/u1D.gif
<img src="ht<tp://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/u1D.gif" | alt="альтернативный текст" />
2. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре бесконечной цепочки
3. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре двумерной бесконечной квадратной решетки
4. Численно и аналитически решена задача с парой сил, приложенных в различных направлениях к частицам, отстоящим друг от друга на определенное расстояние (1D цепочка)
5. Численно и аналитически решена задача с парой сил, приложенных в различных направлениях к частицам, отстоящим друг от друга на определенное расстояние (2D цепочка)
6. Численно и аналитически решена задача с силой, приложенной в центре бесконечной цепочки и одним закрепленным элементом
Таким образом получены соотношения позволяющие решить задачу с любыми начальными условиями и любыми силами, приложенными к любым частицам в одномерной и двумерной цепочках.
В рамках предмета "Дискретная механика" решена следующая задача
Постановка задачи
Смоделировать падение дмумерной цепочки в поле силы тяжести при отпускании одного из концов. Цепочка представляет собой соединенные между собой точечные массы.
- m - масса частиц,
- k - жесткость пружин ,
- l0 - равновесное расстояние,
- g - ускорение свободного падения,
- N - количество частиц.
- betta - коэффициент вязкости
- gamma - коэффициент относительной скорости частиц
Математическая модель
Выводы
Смоделировано падение двумерной цепочки, подвешенной за два конца при отпускании одного из них. Показано, что отпущенный конец движется с ускорением, превышающим ускорение свободного падения, а также, при достижении этим элементом цепочки крайней точки его траектории, можно наблюдать эффект хлыста. В рамках решения данной задачи было написано приложение с использованием программы App Designer, входящего в пакет Matlab, ссылка на которое будет расположена ниже.
В ходе выполнения работы было установлено, что отпущенный конец цепи опережает свободно падающее тело не в силу каких-либо эффектов, связанных с процессами, происходящими в месте изгиба цепочки, а за счет ускорения, приобретенного им в начале падения в силу начального преднатяжения цепочки. Это ускорение приближенно равно N*g/2, где N - число частиц в цепочке, g - ускорение свободного падения. Это подтверждается тем, что график зависимости вертикального расстояния от крайней правой частицы цепочки до свободно падающего тела, брошенного одновременно с отпусканием правого края цепочки, ведет себя линейно (до момента достижения правым концом цепочки нижней точки падения, где проявляется эффект "хлыста" - о нем будет сказано ниже). Также это подтверждается характером графика зависимости a/g от времени, где a - ускорение падения правого края цепочки, а g - ускорение свободного падения. На нем видно, что в начальный момент времени (после отпускания правого край цепи), ускорение, как уже было сказано выше, приблизительно равно N*g/2, после чего они линейно и очень быстро (относительно остальных времен в системе) достигает значения 1, то есть ускорение правого края цепи равно ускорению свободного падения до момента появления "хлыстовых" эффектов.
Как было сказано выше, в процессе выполнения работы также удалось смоделировать эффект "хлыста" - резкое, скачкообразное увеличение ускорения цепочки при достижении ею нижней точки падения. Для разных параметров цепочки(массы, жесткости пружин, количества частиц, равноовесного расстояния между частицами) можно добиться ускорения в нижней точке в более, чем 50*g, где g - ускорение свободного падения.
Полезные ссылки
- http://tm.spbstu.ru/Курсовые_работы_по_ВМДС:_2022-2023 - курсовые работы студентов 4-го курса 2022-2023 года по курсу дискретной механики
- http://tm.spbstu.ru/Введение_в_механику_дискретных_сред - курс механики дискретных сред
- https://github.com/sideov/FallingChain - исходный код программы, написанной в ходе выполнения проекта
