Виртуальная лаборатория >
Фазовые переходы МД
Задача
Переход от кристаллической структуры к газу. В направлении абсцисс используются периодические ГУ, в направлении оси ординат один ряд частиц фиксирован, с другой стороны несколько рядов частиц (3-5) нагреваются посредством термостата Берендсена (регулируемые параметры). Частицы взаимодействуют посредством потенциала. Уравнения движения интегрируются методом Leapfrog. Система забывает об улетевших частицах.
Задача I
Написать графический интерфейс, позволяющий наблюдать движение частиц. Предусмотреть возможность отключаемого отображения: температуры (цветом), скорости (светом и отрезком), связей между частицами (отрезком). Реализовать возможность выбора частицы мышкой и вывода подробной информации (номер, скорость, сила).
Список Группы:
Задача II
Основные элементы расчетной части: Запуск расчета, создание образца с треугольной решеткой, задание начальных условий, определение связей, интегрирование уравнений движения методом Leapfrog, расчет сил парным потенциалом. Удаление улетевших частиц.
Список Группы:
Задача III
Расчет сил потенциалом Бреннера второго поколения, создание решетки графена, расчет связей, термостат Берендсена.
Список Группы:
Задача IV
Расчет сил потенциалом погруженного атома для Железа. Задание периодических граничных условий.
Список Группы:
Решение задачи
Открывать лучше в Mozile FireFox, либо настраивать аппаратное ускорение самому (если программа не открывается)
Потенциал Бреннера второго поколения
Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи
в виде
[math]
E_b = \sum_i \sum_{j (\gt i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right].
[/math]
Силу, действующую на частицу с номером I можно рассчитать как минус градиент энергии (производная по радиус-вектору частицы i)
[math]
\vec{F}_i = - \sum \limits_{j \neq i} \left[ \frac{\partial V^R(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i}-\frac{\partial b_{ij}}{\partial \vec{r}_i}V^A(r_{ij})-b_{ij}\frac{\partial V^A(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \right],
[/math]
Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:
[math]
\frac{\partial V^R(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \left( 1+\frac{Q}{r} \right) A e^{-ar_{ij}}+f^c(r_{ij}) Q \frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}^3}Ae^{-ar_{ij}}+f^c(r_{ij}) \left( 1+\frac{Q}{r} \right) A a e^{-ar_{ij}}\frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}}.
[/math]
[math]
V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r},
[/math]
где
[math]
f^c (r) = \left\{
\begin{array}{l}
1, \\
\left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\
0, \\
\end{array} \right.
\begin{array}{l}
r \lt D_{\min}, \\
D_{\min} \lt r \lt D_{\max}, \\
r \gt D_{\max},
\end{array}
[/math]
[math]
\frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \left\{
\begin{array}{l}
\vec{0}, \ \ \ \ r_{ij} \lt D_{min} \\
\sin{\left( \pi \frac{(r_{ij}-D_{min})}{(D_{max} - D_{min})} \right)} \cdot \frac{\pi \vec{r}_{ij}}{(D_{min}- D_{max})r_{ij}}, \ \ \ \ \mbox{при} D_{min} \lt r_{ij} \lt D_{max} \\
\vec{0}, \ \ \ \ r_{ij} \gt D_{max}
\end{array} \right.
[/math]
[math]
\frac{\partial V^A(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \cdot \sum \limits_{n=1,3} B_n e^{-\beta_nr_{ij}} + f^c(r_{ij}) \cdot \sum \limits_{n=1,3}B_n \beta_n e^{-\beta_nr_{ij}}\frac{\vec{r}_{ij}}{r_{ij}}.
[/math]
Параметры имеют вид:
[math]
\begin{array}{l}
B_1 = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1 = 4.720 452 3127 \,\mbox{Å}^{-1},\; Q = 0.313 460 296
0833 \,\mbox{Å},\\
B_2 = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{Å}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170
\,\mbox{eV},\\
B_3 = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3 = 1.382 691 2506 \,Å^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595
\,\mbox{Å}^{-1},\\
D_{\min} = 1.7 \,\mbox{Å},\; D_{\max} = 2.0 \,\mbox{Å}.
\end{array}
[/math]
Множитель [math]b_{ij}[/math] равен [math]b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2[/math]
а, соответственно его производная
[math]
\frac{\partial b_{ij}}{\partial \vec{r}_i} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial B_{ij}}{\vec{r}_i}+ \frac{\partial B_{ji}}{\partial \vec{r}_i} \right)
[/math], где
[math]
B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk}))
\right]^{-1/2},
[/math]
А производная[math]B_{ij}[/math] считается по следующей формуле
[math]
\frac{\partial B_{ij}}{\partial \vec{r}_i} = \sum \limits_{k \neq i,j} \left[ \frac{\partial f^c(r_{ij})}{\partial \vec{r}_i} \cdot G(\cos{(\theta_{ijk})}) + f^c(r_{ik}) \cdot \frac{\partial G(\cos{(\theta_{ijk})})}{\partial \vec{r}_i} \right] .
[/math]
[math]
\frac{\partial G(\cos{\theta_{ijk}})}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\partial G(\cos{\theta_{ijk}})}{\partial \cos{\theta_{ijk}}} \cdot \frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_i}.
[/math]
где [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы
[math]i,j[/math] и [math]i,k[/math]. Функция [math]G(\cos\theta)[/math] строится как полином через значения функции и ее
производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза ([math]\theta =
\arccos(-1/3)[/math]) и графена ([math]\theta = 2 \pi / 3[/math]):
| [math]\theta(rad)[/math]
|
[math]G(\cos \theta)[/math]
|
[math]dG(\cos \theta) / d\cos \theta[/math]
|
[math]d^2 G(\cos \theta) / d\cos \theta^2[/math]
|
| [math]0.6082\pi[/math]
|
[math]0.097 33[/math]
|
[math]0.400 00[/math]
|
[math]1.980 00[/math]
|
| [math]2\pi / 3[/math]
|
[math]0.052 80[/math]
|
[math]0.170 00[/math]
|
[math]0.370 00[/math]
|
Производные от косинуса по радиус-векторам i-ой и j-ой частицы высчитываются так (где i – вершина угла):
[math]
\frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_i} = \frac{\vec{r}_{ij} \times \left( \vec{r}_{ij} \times \vec{r}_{ik} \right)}{r_{ij}^3 r_{ik}} + \frac{\vec{r}_{ik} \times \left( \vec{r}_{ik} \times \vec{r}_{ij} \right)}{r_{ik}^3 r_{ij}},\ \ \ \ \mbox{i —- вершина}
[/math]
[math]
\frac{\partial \cos{\theta_{ijk}}}{\partial \vec{r}_j} = \frac{\vec{r}_{ij} \times \left( \vec{r}_{ik} \times \vec{r}_{ij} \right)}{r_{ij}^3 r_{ik}}.
[/math]
Потенциал погруженного атома
Модель погружённого атома (англ. embedded atom model, EAM) используется для приближенного описания энергии взаимодействия между двумя атомами. Полная энергия системы состоит из двух слагаемых – энергии парного взаимодействия атомов и энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами.
Для расчета энергии парного взаимодействия используется следующая формула:
[math]
E(\vec{r}_1,...,\vec{r}_N)= \frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \left[ φ(r_{ij}) \right]
[/math]
где [math] φ(r_{ij}) [/math] −потенциал взаимодействия i−го и j−го атомов, находящихся на расстоянии [math] r_{ij} [/math].
Расчет энергии взаимодействия каждого атома с электронной плотностью, создаваемой другими атомами, идет по формуле
[math]
E = F \sum \limits_{i \neq j} \left[ ρ_{α}(r_{ij}) \right]
[/math]
где [math] r_{ij} [/math] — расстояние между i−м и j−м атомами, [math] ρ_{α} [/math] — вклад в плотность заряда электронов от j−го атома в месте расположения i−го атома и F — это функция «погружения», которая представляет энергию,необходимую для помещения i−го атома в электронное облако.
Таким образом, энергия i-го атома равна
[math]
E_{i} = F_{α} (\sum \limits_{i \neq j} \left[ ρ_{α}(r_{ij}) \right] + \frac{1}{2} \sum \limits_{i \neq j} \left[ φ(r_{ij}) \right]
[/math]
Для расчета силы от функции погружения используется дифференцирование по плотности:
[math]
F_{pogr} = − \frac{\partial \F_{α}}{\partial ρ} (\sum \limits_{i} \left[ \frac{\partial ρ_{i}}{\partial r_{ij}} \frac{\partial r_{ij}}{\partial r_{i}} \right]
[/math]
Для расчета силы от парного потенциала используется дифференцирование по расстоянию:
[math]
F_{parn} = − \frac{\partial П}{\partial ρ} \frac{\partial ρ}{\partial R} \frac{\vec{R}}{\partial R}
[/math]
Общая сила равна сумме сил, действующих со стороны обоих потенциалов:
[math]
F = F_{pogr} + F_{parn}
[/math]
