Два математических маятника, связанных пружиной

Виртуальная лаборатория>Два математических маятника, связанных пружиной

---

Что собой представляет система
Два математических маятника, связанные пружиной, совершают малые колебания. Упругое звено служит неким инструментом для "перекачки" энергии с одного маятника на другой.

Постановка задачи
Демонстрируются малые колебания математических маятников одинаковой длинны [math]{l}[/math] и массы [math]{m}[/math]. Пружина жесткости [math]{C}[/math] закреплена по центру стержней математических маятников. При отклонении первого маятника на малый угол [math]\varphi_{0}[/math] под действием пружины происходит возбуждение колебаний второго маятника, а колебания первого затухают. Затем происходит обратный процесс.

Основные уравнения

[math] \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_{1}= \varphi_{0}\cdot\cos(\frac{({k}_{1} + {k}_{2})} {2} \cdot{t}) \cdot \cos(\frac{({k}_{2} - {k}_{1})} {2} \cdot{t})\\ \displaystyle \varphi_{2}= \varphi_{0}\cdot\sin(\frac{({k}_{1} + {k}_{2})} {2} \cdot{t})\cdot\sin(\frac{({k}_{2} - {k}_{1})} {2} \cdot{t})\\ \end{array} \right. [/math]

где [math]{k}_{1}=\sqrt\frac{{g}}{l}[/math] и [math]{k}_{2}=\sqrt{\frac{{g}}{l} + \frac{{2Cd^2}}{ml^2}}[/math]

[math]\varphi_{1},\varphi_{2}[/math] - обобщенные координаты
[math]\varphi_{0}[/math] - начальный угол отклонения
[math]{g}[/math] - гравитационная постоянная
[math]{l}[/math] - длина маятников
[math]{m}[/math] - масса маятников
[math]{C}[/math] - жесткость пружины
[math]{d}[/math] - положение пружины на стержне


Скачать программу TwoMaya.rar.

Текст программы на языке JavaScript (разработчик Александров Сергей):

Файл "TwoMaya.js"

  1 window.addEventListener("load", Main_Spring, true);
  2 function Main_Spring() {
  3 
  4     // *** Некие исходные данные ***
  5 	
  6     var canvas = spring_canvas;
  7     canvas.onselectstart = function () {return false;};     // запрет выделения canvas
  8     var ctx = canvas.getContext("2d");                      // на ctx происходит рисование
  9     var w = canvas.width;                                   // ширина окна в расчетных координатах
 10     var h = canvas.height;                                  // высота окна в расчетных координатах
 11 
 12     var Pi = 3.1415926;    	      	    // число "пи"
 13 	var g = 9.8;						// гравитационная постоянная 
 14 	
 15 	var T0 = 0.01;    		      	        // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
 16 	var k0 = 2 * Pi / T0;           	// масштаб частоты
 17 	
 18 
 19 	
 20     var m0 = 1;    		      	        // масштаб массы маятника
 21 	var l0 = 1;							// масштаб длины маятника
 22 	var fiZero0 = 1;						// масштаб начального угла отклонения
 23 	var d0 = 1;							// масштаб местоположения пружины на маятнике
 24 	var C0 = 1;          	// масштаб жесткости пружины
 25 	
 26 	var count = true;       // проводить ли расчет системы
 27     var v = 0;				// скорость тела
 28     var t = 0;
 29 	var f_1 = 0.1; // угол отклонения первого маятника от положения равновесия
 30 	var f_2 = 0.1; // угол отклонения второго маятника от положения равновесия
 31 	var q = 5;     // маштабирующий коэффициент отклонения маятника
 32 	
 33 	// параметры полученные из размеров холста
 34     var rw = canvas.width / 100;    	var rh = canvas.height / 4;
 35     //var x0 = (15 * rw - rw / 2);     		var y0 = (rh / 1.33 - rh / 2) * 10;
 36 	var x0 = 300;
 37 	var y0 = 300;
 38     var rad0 = 12;
 39 	
 40     // параметры пружины
 41     var coil = 10;        // количество витков
 42     var startX = 500;       // закрепление пружины
 43 	
 44 	
 45     // *** Задание вычислительных параметров ***
 46 
 47     var fps = 60;		      	        // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
 48     var spf = 10;		      	        // steps per frame   - число шагов интегрирования между кадрами 
 49     var dt  = 50 * T0 / fps;    	    // шаг интегрирования (качество расчета)
 50     var steps = 0;                      // количество шагов интегрирования
 51 
 52 
 53     // *** Задание физических параметров ***
 54 
 55     var m = 1 * m0;                 	// масса маятника
 56     var C = 0.3 * C0;                 	// жесткость пружины
 57 	var l = 1 * l0;						// длина маятников
 58 	var fiZero = 0.1 * fiZero0; 			// начальное отклонение первого маятника
 59 	var d = l/2 * d0;						// местоположение пружины на маятнике
 60 	var hole = 250;						// расстояние между закреплениями маятников по Х
 61 	var bound_x = x0;					// координаты закрепления первого маятника по Х
 62 	var bound_y = 200;					// координаты закрепления первого маятника по У
 63 	
 64     slider_m.value = (m / m0).toFixed(1); number_m.value = (m / m0).toFixed(1);
 65     slider_C.value = (C / C0).toFixed(1); number_C.value = (C / C0).toFixed(1);
 66     slider_l.value = (l / l0).toFixed(1); number_l.value = (l / l0).toFixed(1);
 67 	slider_fiZero.value = (fiZero / fiZero0).toFixed(1); number_fiZero.value = (fiZero / fiZero0).toFixed(1);
 68 	slider_spf.value = (spf).toFixed(1); number_spf.value = (spf).toFixed(1);
 69 
 70 	// *** Установка слайдеров для переменных величин ***
 71 	
 72     function setM(new_m) {m = new_m * m0;}
 73     function setC(new_C) {C = new_C * C0;}
 74     function setL(new_l) {l = new_l * l0;}
 75 	function setFiZero(new_fiZero) {fiZero = new_fiZero * fiZero0;}
 76 	function setSpf(new_spf) {spf = new_spf;}
 77 
 78     slider_m.oninput = function() {number_m.value = slider_m.value;       setM(slider_m.value);};
 79     number_m.oninput = function() {slider_m.value = number_m.value;       setM(number_m.value);};
 80 	
 81     slider_C.oninput = function() {number_C.value = slider_C.value;       setC(slider_C.value);};
 82     number_C.oninput = function() {slider_C.value = number_C.value;       setC(number_C.value);};
 83 	
 84     slider_l.oninput = function() {number_l.value = slider_l.value;       setL(slider_l.value);};
 85     number_l.oninput = function() {slider_l.value = number_l.value;       setL(number_l.value);};
 86 	
 87 	slider_fiZero.oninput = function() {number_fiZero.value = slider_fiZero.value;       setFiZero(slider_fiZero.value);};
 88     number_fiZero.oninput = function() {slider_fiZero.value = number_fiZero.value;       setFiZero(number_fiZero.value);};
 89 	
 90 	slider_spf.oninput = function() {number_spf.value = slider_spf.value;       setSpf(slider_spf.value);};
 91     number_spf.oninput = function() {slider_spf.value = number_spf.value;       setSpf(number_spf.value);};
 92 
 93 	
 94 	// Параметры первого круга-грузика
 95 	var circ1 = {
 96 		x: x0,
 97 		y: y0,
 98 		rad: rad0,
 99 		fill: "rgba(0, 0, 255, 1)"
100 	};
101 	
102 	// Параметры второго круга-грузика
103 	var circ2 = {
104 		x: x0+hole,
105 		y: y0,
106 		rad: rad0,
107 		fill: "rgba(0, 255, 0, 1)"
108 	};
109 
110 	// *** Функция обеспечивающая "жизнь" маятников с пружиной ***
111 	
112     function control() {
113         calculate();		
114         draw();
115         requestAnimationFrame(control);
116 		
117     }
118     control();
119 	
120 	    // график
121     var vGraph1 = new TM_graph(                  // определить график
122         "#vGraph1",                              // на html-элементе #vGraph
123         250,                                    // сколько шагов по оси "x" отображается
124         -1, 1, 0.1);                            // мин. значение оси Y, макс. значение оси Y, шаг по оси Y
125 	
126 	var vGraph2 = new TM_graph(                  // определить график
127         "#vGraph2",                              // на html-элементе #vGraph
128         250,                                    // сколько шагов по оси "x" отображается
129         -1, 1, 0.1);                            // мин. значение оси Y, макс. значение оси Y, шаг по оси Y
130 	
131 
132 
133 	// *** Функция расчетов координат ***
134 	
135     function calculate() {                                 
136 	
137         //if (!count) return;
138 
139         for (var s=1; s<=spf; s++) {
140 
141 			var k1 = Math.sqrt(g/l); // коэффициент первой пружины
142 			var k2 = Math.sqrt(g/l + (2 * C * Math.pow(d,2))/m/(Math.pow(l,2))); // коэффициент второй пружины
143 									
144 			t += dt;
145 			
146 		    f_1 = fiZero * Math.cos((k1 + k2)/2 * t) * Math.cos((k1 - k2)/2 * t); // закон изменения угла отклонения первого маятника от положения равновесия
147 			f_2 = fiZero * Math.sin((k1 + k2)/2 * t) * Math.sin((k2 - k1)/2 * t); // закон изменения угла отклонения второго маятника от положения равновесия
148 
149 			
150 			// изменение координат первого грузика
151 			circ1.x =(x0 + l * Math.sin(f_1) * q);
152 			circ1.y =(y0 + l * Math.cos(f_1) * q);
153 			
154 			// изменение координат второго грузика
155 			circ2.x = (x0 + hole + l * Math.sin(f_2) * q);
156 			circ2.y = (y0 + l * Math.cos(f_2) * q);
157 
158 	
159             steps++;
160             if (steps % 80 == 0) {
161 			vGraph1.graphIter(steps, (f_1))
162 			vGraph2.graphIter(steps, (f_2))};   // подать данные на график
163         }
164 
165     }
166 	
167 	// *** Функция рисования объектов ***
168 	
169     function draw() {
170 
171         ctx.clearRect(0, 0, w, h);
172 
173 		
174 		//!!!		пружина
175 	/* 	draw_spring(
176 			100, 					// х-координата начала пружины
177 			400, 					// х-координата конца пружины
178 			300, 					// у-координата пружины
179 			6, 						// количество витков пружины
180 			100						// высота изгиба пружины (чем меньше, тем больше пружина похожа на линию)
181 		); */
182 
183 		// Пружина соединяющая два маятника
184 		draw_spring((circ1.x - x0)/2 + x0, (circ2.x - x0 - hole)/2 + x0 + hole , (circ1.y + y0/2)/2 , 10, 30);
185 		
186 
187 		// Стержень первого маятника
188 		ctx.lineWidth = 4;
189         ctx.strokeStyle = "#e1974d";
190 		ctx.beginPath();
191 		ctx.moveTo(circ1.x, circ1.y);
192 		ctx.lineTo(x0, y0 - bound_y);
193 		ctx.stroke();
194 		
195 		// Стержень второго маятника
196 		ctx.lineWidth = 4;
197         ctx.strokeStyle = "#e1974d";
198 		ctx.beginPath();
199 		ctx.moveTo(circ2.x, circ2.y);
200 		ctx.lineTo(x0 + hole,y0 - bound_y);
201 		ctx.stroke();
202 		
203 		// Круглый грузик первого маятника
204 		ctx.beginPath();
205 		ctx.arc(circ1.x, circ1.y, rad0, 0, 2 * Math.PI, false);
206 		ctx.fillStyle = 'red';
207 		ctx.fill();
208 		ctx.lineWidth = 7;
209 		ctx.strokeStyle = '#003300';
210 		ctx.stroke();
211 		
212 		// Круглый грузик второго маятника
213 		ctx.beginPath();
214 		ctx.arc(circ2.x, circ2.y, rad0, 0, 2 * Math.PI, false);
215 		ctx.fillStyle = 'blue';
216 		ctx.fill();
217 		ctx.lineWidth = 7;
218 		ctx.strokeStyle = '#003300';
219 		ctx.stroke();
220 		
221 		// Рисование закрепления первого маятника
222 		ctx.lineWidth = 6;
223         ctx.strokeStyle = "#7394cb";
224 		ctx.beginPath();
225 		ctx.moveTo(280, 100);
226 		ctx.lineTo(320, 100);
227 		ctx.stroke();
228 		
229 		// Рисование закрепления второго маятника
230 		ctx.lineWidth = 6;
231         ctx.strokeStyle = "#7394cb";
232 		ctx.beginPath();
233 		ctx.moveTo(280 + hole, 100);
234 		ctx.lineTo(320 + hole, 100);
235 		ctx.stroke();
236     }
237 	
238 	// *** Функция рисования пружины ***
239 	
240 	function draw_spring(x_start, x_end, y, n, h) {
241 	    ctx.lineWidth = 2;
242         ctx.strokeStyle = "#7394cb";
243 		var L = x_end - x_start;
244 		for (var i = 0; i < n; i++) {
245 			var x_st = x_start + L / n * i;
246 			var x_end = x_start + L / n * (i + 1);
247 			var l = x_end - x_st;
248 			ctx.beginPath();
249 			ctx.bezierCurveTo(x_st, y, x_st + l / 4, y + h, x_st + l / 2, y);
250 			ctx.bezierCurveTo(x_st + l / 2, y, x_st + 3 * l / 4, y - h, x_st + l, y);
251 			ctx.stroke();
252 		}
253 	}
254 }