Статистические характеристики дискретных сред — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 +
[[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Механика]] > [[Механика дискретных сред | МДС]] > [[Статистические характеристики дискретных сред | Статистические характеристики ДС]]
 +
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
 
<!--{{oncolor|yellow|red|''Страница находится в разработке''}}-->
 
<!--{{oncolor|yellow|red|''Страница находится в разработке''}}-->

Версия 15:56, 26 марта 2014

Кафедра ТМ > Научный справочник > Механика > МДС > Статистические характеристики ДС


Обозначения и терминология

Обозначение Русское название English name
[math]X[/math] Случайная величина Random variable
[math]X(t)[/math] Случайный процесс Stochastic process
[math]X_1, X_2, \dots, X_N[/math] Случайный вектор [1] Multivariate random variable (random vector)
[math]F(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x )[/math] Функция распределения Cumulative distribution function
[math]f(x) = F'(x)[/math] Плотность распределения Probability density function (distribution density)
[math]\left\lt X\right\gt = \int_{-\infty}^\infty x f(x)dx[/math] Математическое ожидание Expected value (mathematical expectation)
[math]\varphi(s) = \left\lt e^{isX}\right\gt = \int_{-\infty}^\infty e^{isx} f(x)dx[/math] Характеристическая функция Characteristic function
[math]M(s) = \left\lt e^{sX}\right\gt = \int_{-\infty}^\infty e^{sx} f(x)dx[/math] Производящая функция моментов Moment-generating function
[math]\nu_n = \left\lt X^n\right\gt = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)dx = \left.\frac{d^n}{ds^n} M(s)\right|_{s=0}[/math] Начальный момент [2] Raw moment [3]
[math]\mu_n = \left\lt (X-\nu_1)^n\right\gt = \int_{-\infty}^\infty (x-\nu_1)^n f(x)dx[/math] Центральный момент [4] Central moment [5]
[math]\eta_n = \frac{\mu_n}{\sigma^n} = \lambda_{n/2}[/math] Нормированный момент Standardized moment
[math]\kappa_n = \left.\frac{d^n}{ds^n}\ln M(s)\right|_{s=0} = (-i)^n\left.\frac{d^n}{ds^n}\ln \varphi(s)\right|_{s=0}[/math] Полуинвариант (кумулянт) Cumulant
[math]\sigma^2 = \mu_2 = \kappa_2 [/math] Дисперсия Variance
[math]\sigma = \sqrt{\mu_2}[/math] Среднеквадратическое отклонение Standard deviation
[math]\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}[/math] Коэффициент асимметрии Skewness
[math]\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \lambda_2 - 3[/math] Коэффициент эксцесса Kurtosis (excess kurtosis)
[math]\eta_4 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} = \lambda_2[/math] 4-й нормированный момент [6] Historical kurtosis [7]
[math]f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\nu)^2}{2\sigma^2} }[/math] Плотность нормального распределения Normal distribution density

Полезные формулы

  • Распределение случайной величины [math]Y[/math], являющейся функцией случайной величины [math]X[/math]
[math] F_y\bigl(y\bigr) = F_x\bigl(x(y)\bigr) ,\qquad f_y\bigl(y\bigr) = f_x\bigl(x(y)\bigr)\,x'(y). [/math]
[math]\lambda_n = \eta_{2n} = \frac{\mu_{2n}}{\sigma^{2n}} = (2n-1)!!\qquad ([/math]нечетные моменты равны нулю[math])[/math].
[math] \gamma_2\left(\sum_{n=1}^N X_n\right) = \frac{\sum_{n=1}^N\sigma^4(X_n)\,\gamma_2(X_n)}{\left(\sum_{n=1}^N\sigma^2(X_n)\right)^2} = \frac1{N^2}\sum_{n=1}^N\gamma_2(X_n) = \frac1{N}\gamma_2(X_n), [/math]
где второе равенство выполняется для случайных величин с равной дисперсией, а третье равенство — для равнораспределенных случайных величин.

Научные разделы, связанные со статистическим описанием дискретных сред

Разное

Литература

  • Hoover W.G. Computational Statistical Mechanics. Series "Studies in Modern Thermodynamics". Elsevier Science Publisher, Amsterdam, 1991, 324 pp. (Download pdf: 23 Mb, download page)
  • Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики (излагаемые со специальным применением к рациональному обоснованию термодинамики). М.-Л.: ОГИЗ, 1946. (Скачать djvu: 2.5 Mb, страница загрузки).
Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in Statistical Mechanics, developed with especial reference to the rational foundation of thermodynamics. New York: Charles Scribner's Sons. (Download djvu: 19 Mb, download page).
  • Борн М. «Непрерывность, детерминизм, реальность» в книге «Размышления и воспоминания физика». М.: Мир, 1977. стр.162-187. (Скачать djvu: 2.4 Mb, страница загрузки).
Born M. «Continuity, determinism and reality», Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, Matematisk-fysiske Meddelelser, Bind 30, Nr.2, (1955) 1-26.
— Впервые рассмотрена (согласно [9]) классическая статистическая механика одной частицы (1955 г.)
  • Лукач Е. Характеристические функции. Пер. с анг. 1979. М.: Наука. 424 с. Оглавление
Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Download djvu: 3.9 Mb, download page).
— A negative result (Theorem 7.3.5): The cumulant generating function cannot be a finite-order polynomial of degree greater than 2. <toggledisplay status=hide showtext="Clarification >>" hidetext="Clarification <<" linkstyle="font-size:default"> (Given the results for the cumulants of the normal distribution, it might be hoped to find families of distributions for which κm = κm+1 = ... = 0 for some m > 3, with the lower-order cumulants (orders 3 to m − 1) being non-zero. From the theorem it follows that there are no such distributions. In other words: the normal distribution is the only distribution with a finite number (two) of non-zero cumulants.)</toggledisplay> <toggledisplay status=hide showtext="Origin >>" hidetext="Origin <<" linkstyle="font-size:default"> Данное утверждение является следствием теоремы, впервые доказанной Юзефом Марцинкевичем, польским математиком, погибшим во время Второй мировой войны: Marcinkiewicz, J. (1938). Sur une propriete de la loi de Gauss. Math. Zeitschr., 44, 612-618 (read online, download pdf: 397 Kb download page). Reprinted in J. Marcinkiewicz, Collected Papers. Panstwowe wydawnictwo Naukowe Warszawa, 1964. Abstract. </toggledisplay>


{{#ifgroup:sysop|

<toggledisplay status=hide showtext="Архив >>" hidetext="Архив <<" linkstyle="font-size:default">

Приложение к динамике цепочки

Рассмотрим одномерную дискретную среду, сотоящую из [math]N[/math] частиц. Обозначим [math]u_n[/math] — некоторую характеристику частицы, например ее перемещение. Введем среднее значение характеристики как

[math]\left\lt u_n\right\gt = \sum_{n=1}^Nu_n[/math]

и среднее значение степени [math]k[/math]

[math]\left\lt u_n^k\right\gt = \sum_{n=1}^Nu_n^k[/math].

Если интерпретировать [math]u_n[/math] как случайную величину, то при достаточно большом [math]N[/math] величину [math]\left\lt u_n^k\right\gt [/math] можно называть [math]k[/math]-м моментом случайной величины.

Ссылки

Терминология

  • Начальным и центральным моментом случайной величины [math]\displaystyle X[/math] называются, соответственно, величины
[math]\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right], \qquad \mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right][/math]
где [math]\mathbb{E}[/math] — математическое ожидание случайной величины, [math]k[/math] — степень момента.

Словарь

</toggledisplay>

}}

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Статистические_характеристики_дискретных_сред&oldid=24625»