Мещерский 48.36 — различия между версиями
(→Решение задачи) |
|||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
==Формулировка задачи== | ==Формулировка задачи== | ||
| − | При наезде тележки | + | При наезде тележки {A} на упругий упор <math>{B}</math> начинаются колебания подвешенного на стержне груза <math>{D}</math>. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если <math>{m_1}</math> - масса тележки, <math>{m_2}</math> - масса груза, <math>{l}</math> длина стержня, <math>{c}</math> - коэффициент жёсткости пружины упора <math>{B}</math>. Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси <math>{x}</math> взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора <math>{B}</math>. Массой стержня пренебречь. |
| − | Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель <math>\dot\varphi</math>, считать <math>c=0</math>, <math>\sin\varphi\approx\varphi</math>, <math>\cos\varphi\approx1</math>. | + | Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель <math>\dot\varphi^2</math>, считать <math>c=0</math>, <math>\sin\varphi\approx\varphi</math>, <math>\cos\varphi\approx1</math>. |
| + | |||
| + | ==Решение задачи== | ||
| + | Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода | ||
| + | : | ||
| + | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{partial E_k}{partial q_i} = Q_i<math/>, где | ||
| + | <math>{E_k}<math/> - кинетическая энергия системы, | ||
| + | <math>{q_i}<math/> - обобщённые координаты, | ||
| + | <math>{Q_i}<math/> - обобщённые силы. | ||
| + | |||
| + | Начнём с определения кинетической энергии: | ||
| + | : | ||
| + | <math>{E_k} = {E_\text{kA}} + {E_\text{kD}}<math/> (здесь и далее индексами "А", "D" обозначаются величины, относящиеся к тележке и грузу соответственно). | ||
| + | : | ||
| + | <math>{E_\text{kA}} = \frac{m_1v^2}{2} = \frac{m_1\dot x^2}{2} \left(1\right)</math> | ||
| + | : | ||
| + | <math>{E_\text{kD}} = \frac{m_2\dot x^2}{2} + \frac{m_2l^2\dot\varphi^2}{2} + m_2l\dot x\dot\varphi\cos\varphi \left(2\right)</math> | ||
| + | : | ||
| + | <math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_k}{\partial\dot x}\right) = {d}{dt}\left(\left(m_1 + m_2\right)\dot x + m_2l\dot\varphi\cos\varphi\right) = \left(m_1 + m_2\right)\ddot x + m_2l\ddot \varphi\cos\varphi - m_2l\dot \varphi\sin\varphi \left(3\right)</math> | ||
Версия 18:49, 23 декабря 2017
Задача №48.36 из сборника задач Мещерского. Требуется смоделировать систему, состоящую из тележки и прикреплённого к ней стержня с грузом с помощью языка программирования JavaScript.
Формулировка задачи
При наезде тележки {A} на упругий упор начинаются колебания подвешенного на стержне груза . Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если - масса тележки, - масса груза, длина стержня, - коэффициент жёсткости пружины упора . Массой колёс и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчёта оси взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора . Массой стержня пренебречь. Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель , считать , , .
Решение задачи
Дифференциальные уравнения движения системы можно найти, воспользовавшись уравнениями Лагранжа 2-го рода
