Расхождение интегральной суммы Римана — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 9: Строка 9:
 
.</math>
 
.</math>
  
−
Естественно ожидать, что интеграл будет хорошо приближать сумму при больших <math>N</math>. Однако, это не так. При $t=0$ сумма и интеграл равны нулю. Так как подынтегральное выражение неотрицательно, то интеграл --- монотонно возрастающая функция~<math>t</math>. Сумма же, очевидно, обращается в ноль при <math>t=\pi N</math>. Кроме того, сумма --- периодическая функция с периодом <math>\pi N</math>. Таким образом, интеграл не дает приемлемого приближения суммы при больших временах. Вопрос: можно ли улучшить интегральную аппроксимацию так, чтобы устранить возникающее расхождение?
+
Как правило, интеграл хорошо приближает подобную сумму при больших <math>N</math>. Однако, в рассматриваемом случае это не так. Данный интеграл — монотонно возрастающая функция <math>t</math> (подынтегральное выражение неотрицательно). Сумма же, очевидно, обращается в ноль при <math>t=0</math> и <math>t=\pi N</math>. Таким образом, интеграл не дает приемлемого приближения суммы при больших временах. Вопрос: можно ли улучшить интегральную аппроксимацию так, чтобы устранить возникающее расхождение?
 
[[Участник:Антон Кривцов|Антон Кривцов]] ([[Обсуждение участника:Антон Кривцов|обсуждение]]) 00:05, 28 марта 2016 (MSK)
 
[[Участник:Антон Кривцов|Антон Кривцов]] ([[Обсуждение участника:Антон Кривцов|обсуждение]]) 00:05, 28 марта 2016 (MSK)

Версия 00:30, 28 марта 2016

Кафедра ТМ > Интересные ссылки > Занимательная математика > Интегральная сумма


Интегральная сумма Римана часто используется для аппроксимации конечной суммы интегралом. Однако, такая аппроксимация может приводить к ошибкам. Рассмотрим сумму и ее интегральное представление:

[math] \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N-1} \frac{\sin^2\bigl(\frac{k}{N} t\bigr)}{\bigl(\frac{k}{N}\bigr)^2} \simeq \int_0^{1} \frac{\sin^2(x t)}{x^2}\,d x .[/math]

Как правило, интеграл хорошо приближает подобную сумму при больших [math]N[/math]. Однако, в рассматриваемом случае это не так. Данный интеграл — монотонно возрастающая функция [math]t[/math] (подынтегральное выражение неотрицательно). Сумма же, очевидно, обращается в ноль при [math]t=0[/math] и [math]t=\pi N[/math]. Таким образом, интеграл не дает приемлемого приближения суммы при больших временах. Вопрос: можно ли улучшить интегральную аппроксимацию так, чтобы устранить возникающее расхождение? Антон Кривцов (обсуждение) 00:05, 28 марта 2016 (MSK)

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Расхождение_интегральной_суммы_Римана&oldid=40580»