Уравнение состояния Ми-Грюнайзена — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Строка 3: Строка 3:
 
При больших давлениях и температурах принято представлять давление <math>p</math> в конденсированном веществе в виде суммы "холодной"  и "тепловой" компонент:
 
При больших давлениях и температурах принято представлять давление <math>p</math> в конденсированном веществе в виде суммы "холодной"  и "тепловой" компонент:
  
−
<math>p = p_0 + p_T, p_T = p - p_0</math>
+
<math>p = p_0 + p_T, ~~~~ p_T = p - p_0</math>
  
 
Холодная компонента, часто называемая "холодной кривой" (cold curve), обусловлена деформированием кристаллической решетки, а вторая - тепловыми колебаниями атомов. Иными словами, холодное давление зависит только от объема, а тепловое - от объема и тепловой энергии <math> E_T </math>:
 
Холодная компонента, часто называемая "холодной кривой" (cold curve), обусловлена деформированием кристаллической решетки, а вторая - тепловыми колебаниями атомов. Иными словами, холодное давление зависит только от объема, а тепловое - от объема и тепловой энергии <math> E_T </math>:
Строка 45: Строка 45:
 
</math>
 
</math>
  
−
Здесь <math>D</math> --- энергия связи, <math>a</math> --- длина связи, <math>\alpha</math> --- параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы; <math>m, n</math> --- параметры потенциала Ми.
+
Здесь <math>D</math> - энергия связи, <math>a</math> - длина связи, <math>\alpha</math> - параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы; <math>m, n</math> - параметры потенциала Ми.
  
−
== Функция Грюнайзена и коэффициент Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе ==  
+
== Коэффициент Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе ==  
  
−
Äëÿ ïîòåíöèàëà Ëåííàðäà-Äæîíñà
+
* Потенциал Леннарда-Джонса:
−
$$%\be{b1}
+
<math>
−
   \varGamma = \frac1d\,\frac{4(8-d)\theta^{6}-7(14-d)}{(8-d)\theta^{6}-(14-d)}%.
+
   \varGamma_0  =\frac{11}{d}-\frac{1}{2}.
−
$$%\ee
+
</math>
  
  
−
%\item
+
* Потенциал Ми
−
Äëÿ ïîòåíöèàëà Ìè
+
<math>
−
%
+
  \varGamma_0 = \frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}.
−
$$%\be{}
+
</math>
−
    \varGamma
+
 
−
    = \frac1{2d}\,\frac{
+
 
−
     (n+2)(n-d+2)\theta^{m-n}-(m+2)(m-d+2)} {(n-d+2)\theta^{m-n}-(m-d+2)}%.
+
* Потенциал Морзе
−
$$%\ee
+
<math>
 +
\varGamma_0 =  \frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
{|class="wikitable"
 +
|-
 +
!решетка/размерность пространства
 +
!Потенциал Леннарда-Джонса
 +
!Потенциал Ми
 +
!Потенциал Морзе
 +
|-
 +
|Цепочка (d=1)
 +
! <math>10\frac{1}{2} </math>
 +
! <math>\frac{m+n+3}{2}</math>
 +
! <math>\frac{3\alpha a}{2}</math>
 +
|-
 +
| Треугольная решетка (d=2)
 +
! <math>5</math>
 +
! <math> \frac{m+n+4}{4}-\frac{1}{2}</math>
 +
! <math> \frac{3\alpha a + 1}{4}-\frac{1}{2}</math>
 +
|-
 +
| ГЦК, ОЦК (d=3)
 +
! <math>\frac{19}{6} </math>
 +
! <math>\frac{n+m+1}{6}</math>
 +
! <math>\frac{3\alpha a-2}{6}</math>
 +
|-
 +
| Общая формула
 +
| <math> \frac{11}{d}-\frac{1}{2}</math>
 +
| <math>  \frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}</math>
 +
| <math> \frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}</math>
 +
|-
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Функция Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе ==
 +
 
 +
* Потенциал Леннарда-Джонса:
 +
<math>
 +
  \varGamma = \frac{1}{d}\frac{4(8-d)\theta^{6}-7(14-d)}{(8-d)\theta^{6}-(14-d)}.
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
* Потенциал Ми
 +
<math>
 +
     \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{(n+2)(n-d+2)\theta^{m-n}-(m+2)(m-d+2)}{(n-d+2)\theta^{m-n}-(m-d+2)}.
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
* Потенциал Морзе
 +
<math>
 +
\varGamma = \frac{1}{2d}\frac{e^{\alpha a(1-\theta)}\left(4\alpha^2a^2\theta^2-2d_1\alpha a
 +
\theta-d_1\right)-\left(\alpha^2 a^2\theta^2-d_1\alpha a\theta-d_1 \right)}{e^{\alpha a(1-\theta)}(2\alpha a\theta-d_1)
 +
-(\alpha a\theta-d_1)},~~
 +
</math>
 +
<math>d_1 = d-1,~~</math> <math>\theta=(V/V_0)^{1/d}</math>
  
  
−
%\item
 
−
Äëÿ ïîòåíöèàëà Ìîðçå
 
−
%
 
−
\be{2.27} \varGamma
 
−
= \frac1{2d}\,
 
−
\frac{e^{\alpha a(1-\theta)}\left(4\alpha^2a^2\theta^2-2\dm\alpha a
 
−
\theta-\dm\right)-\left(\alpha^2a^2\theta^2-\dm\alpha a\theta-\dm
 
−
\right)}{e^{\alpha a(1-\theta)}(2\alpha a\theta-\dm)-(\alpha
 
−
a\theta-\dm)}%.
 
−
\ee
 
−
%\end{itemize}
 
−
%
 
−
$\dm = d-1$, $\theta=(V/V_0)^{1/d}$
 
  
  

Версия 15:01, 7 декабря 2013

страница в разработке

Уравнение состояния Ми-Грюнайзена

При больших давлениях и температурах принято представлять давление [math]p[/math] в конденсированном веществе в виде суммы "холодной" и "тепловой" компонент:

[math]p = p_0 + p_T, ~~~~ p_T = p - p_0[/math]

Холодная компонента, часто называемая "холодной кривой" (cold curve), обусловлена деформированием кристаллической решетки, а вторая - тепловыми колебаниями атомов. Иными словами, холодное давление зависит только от объема, а тепловое - от объема и тепловой энергии [math] E_T [/math]:

[math]p = p_0(V) + p_T(V,E_T)[/math]

Тепловая энергия - часть внутренней энергии твердого тела, обусловленная тепловым движением атомов. В первом приближении тепловая энергия равна [math] c_V T [/math]. На практике часто предполагается линейная связь теплового давления и тепловой энергии:

[math] p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T[/math]

Данное уравнение называют уравнением состояния Ми-Грюнайзена, а функцию [math]\varGamma(V)[/math] - коэффициентом Грюнайзена.

Уравнение состояния для кристаллов простой структуры

[math] p_0 = \frac{1}{2V_0d\theta^d}\sum_{k=1}^n N_k\varPhi_k A_k^2,~~~~\varGamma = -\frac{\sum_{k=1}^n N_k((d+2)\varPhi'_k A_k^2 + 2\varPhi''_k A_k^4 )}{d\sum_{k=1}^n N_k (d\varPhi_k +2\varPhi'_k A_k^2)} [/math]

где [math]k[/math] - номер координационной сферы, [math]n[/math] - их число, [math]N_k[/math] - число атомов на [math]k[/math]-ой координационной сфере, [math] A_k = \rho_k R \theta[/math] - радиус координационной сферы, [math] \rho_k=A_k/A_1 [/math] - безразмерные константы решетки, [math]R[/math] - радиус первой координационной сферы в отсчетном положении, [math]\varPhi^{(n)}_k = \varPhi^{(n)}(A_k^2)[/math].


Холодная кривая для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе

  • Потенциал Леннарда-Джонса:

[math] \varPi(r) =D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right], ~~~~ p_0 = \frac{6MD}{dV_0\theta^{d}}(\theta^{-12}-\theta^{-6}) [/math]


  • Потенциал Ми

[math] \varPi(r) =\frac{D}{n-m} \left[m\left(\frac{a}{r}\right)^{n}-n\left(\frac{a}{r}\right)^{m} \right], ~~~~ p_0 =\frac{m n MD}{2d(n-m)V_0\theta^{d}}\left(\theta^{-n}-\theta^{-m}\right) [/math]

  • Потенциал Морзе

[math] \varPi(r) = D\left[e^{2\alpha(a-r)}-2e^{\alpha(a-r)}\right], ~~~~ p_0 = \frac{\alpha a MD}{d V_0\theta^{d-1}} \left[e^{2\alpha a(1-\theta)}-e^{\alpha a(1-\theta)}\right] [/math]

Здесь [math]D[/math] - энергия связи, [math]a[/math] - длина связи, [math]\alpha[/math] - параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы; [math]m, n[/math] - параметры потенциала Ми.

Коэффициент Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе

  • Потенциал Леннарда-Джонса:

[math] \varGamma_0 =\frac{11}{d}-\frac{1}{2}. [/math]


  • Потенциал Ми

[math] \varGamma_0 = \frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}. [/math]


  • Потенциал Морзе

[math] \varGamma_0 = \frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2} [/math]


решетка/размерность пространства Потенциал Леннарда-Джонса Потенциал Ми Потенциал Морзе
Цепочка (d=1) [math]10\frac{1}{2} [/math] [math]\frac{m+n+3}{2}[/math] [math]\frac{3\alpha a}{2}[/math]
Треугольная решетка (d=2) [math]5[/math] [math] \frac{m+n+4}{4}-\frac{1}{2}[/math] [math] \frac{3\alpha a + 1}{4}-\frac{1}{2}[/math]
ГЦК, ОЦК (d=3) [math]\frac{19}{6} [/math] [math]\frac{n+m+1}{6}[/math] [math]\frac{3\alpha a-2}{6}[/math]
Общая формула [math] \frac{11}{d}-\frac{1}{2}[/math] [math] \frac{m+n+4}{2d}-\frac{1}{2}[/math] [math] \frac{3\alpha a + 1}{2d}-\frac{1}{2}[/math]




Функция Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе

  • Потенциал Леннарда-Джонса:

[math] \varGamma = \frac{1}{d}\frac{4(8-d)\theta^{6}-7(14-d)}{(8-d)\theta^{6}-(14-d)}. [/math]


  • Потенциал Ми

[math] \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{(n+2)(n-d+2)\theta^{m-n}-(m+2)(m-d+2)}{(n-d+2)\theta^{m-n}-(m-d+2)}. [/math]


  • Потенциал Морзе

[math] \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{e^{\alpha a(1-\theta)}\left(4\alpha^2a^2\theta^2-2d_1\alpha a \theta-d_1\right)-\left(\alpha^2 a^2\theta^2-d_1\alpha a\theta-d_1 \right)}{e^{\alpha a(1-\theta)}(2\alpha a\theta-d_1) -(\alpha a\theta-d_1)},~~ [/math] [math]d_1 = d-1,~~[/math] [math]\theta=(V/V_0)^{1/d}[/math]



Статьи

  • Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнения состояния идеальных кристаллов простой структуры // Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3.

Ссылки

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Уравнение_состояния_Ми-Грюнайзена&oldid=22625»