Кристалл:треугольная — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
м
м
Строка 63: Строка 63:
 
| <math>\frac13\,\frac{c_A - c_D}{c_A + c_D/3}</math>  
 
| <math>\frac13\,\frac{c_A - c_D}{c_A + c_D/3}</math>  
 
| <math>\frac13\,\frac{ca^2 - 6\gamma}{ca^2 + 2\gamma}</math>
 
| <math>\frac13\,\frac{ca^2 - 6\gamma}{ca^2 + 2\gamma}</math>
 +
|-
 +
| Условия <BR> устойчивости
 +
| <math>c_1+3c_2 > 0</math>
 +
| <math>c_A > 0,</math> <BR> <math>c_A + c_D > 0</math>
 +
| <math>c > 0,</math> <BR> <math>ca^2 + 6\gamma > 0</math>
 
|}
 
|}
  
Строка 75: Строка 80:
 
     \lambda = C_{12},\qquad
 
     \lambda = C_{12},\qquad
 
     \mu = G = C_{44}.
 
     \mu = G = C_{44}.
 +
</math>
 +
 +
В силу изотропии линейных упругих свойств треугольной кристаллической решетки выполняется тождество
 +
<math>   
 +
    C_{44} = \frac12\,(C_{11}-C_{12}).
 
</math>
 
</math>
  

Версия 18:05, 12 июня 2011

Связь между линейными упругими характеристиками треугольной кристаллической решетки на микро- и макроуровне

Кристаллическая решетка треугольная
Размерность пространства: 2
Атомов в ячейке: 1
Независимых жесткостей на макроуровне: 1 или 2
Макроскопическая симметрия: изотропия

Характеристики упругости при различных двухпараметрических описаниях взаимодействия

Взаимодействие
Характеристика
упругости 		Силовое Моментное 3-частичное
[math]K[/math] [math]\frac{\sqrt3}{2}\,(c_1+3c_2)[/math] [math]\frac{\sqrt{3}}{2}\,c_A[/math] [math]\frac{\sqrt{3}}{2}\,c[/math]
[math]C_{11}[/math] [math]\frac{3\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)[/math] [math]\frac{\sqrt3}{4}\,(3c_A + c_D)[/math] [math]\frac{3\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 + 2\gamma\right)[/math]
[math]C_{12}[/math] [math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)[/math] [math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_A-c_D)[/math] [math]\frac{\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 - 6\gamma\right)[/math]
[math]C_{44}[/math] [math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_1+3c_2)[/math] [math]\frac{\sqrt3}{4}\,(c_A+c_D)[/math] [math]\frac{\sqrt{3}}{4a^2}\left(ca^2 + 6\gamma\right)[/math]
[math]E[/math] [math]\frac{2\sqrt3}{3}\,(c_1+3c_2)[/math] [math]\frac{2\sqrt{3}}3\,c_A\,\frac{c_A + c_D}{c_A + c_D/3}[/math] [math]\frac{2\sqrt{3}}3\,c\,\frac{ca^2 + 6\gamma}{ca^2 + 2\gamma}[/math]
[math]\nu[/math] [math]\frac 13[/math] [math]\frac13\,\frac{c_A - c_D}{c_A + c_D/3}[/math] [math]\frac13\,\frac{ca^2 - 6\gamma}{ca^2 + 2\gamma}[/math]
Условия
устойчивости 		[math]c_1+3c_2 \gt 0[/math] [math]c_A \gt 0,[/math]
[math]c_A + c_D \gt 0[/math] 		[math]c \gt 0,[/math]
[math]ca^2 + 6\gamma \gt 0[/math]

Здесь [math]K[/math] - модуль объемного сжатия, [math]C_{kn}[/math] - коэффициенты жесткости, [math]E[/math] - модуль Юнга, [math]\nu[/math] - коэффициент Пуассона;

[math]c_1[/math] и [math]c_2[/math] - жесткости связи с атомами первой и второй координационных сфер (силовое взаимодействие); [math]c_A[/math] и [math]c_D[/math] - продольная и поперечная жесткости связи (моментное взаимодействие); [math]c[/math] и [math]\gamma[/math] - продольная и угловая жесткости связи (3-частичное взаимодействие); [math]a[/math] - длина связи.

Коэффициенты Ляме [math]\lambda,[/math] [math]\mu[/math] и модуль сдвига [math]G[/math] вычисляются по формулам

[math] \lambda = C_{12},\qquad \mu = G = C_{44}. [/math]

В силу изотропии линейных упругих свойств треугольной кристаллической решетки выполняется тождество [math] C_{44} = \frac12\,(C_{11}-C_{12}). [/math]

Для треугольной кристаллической решетки моментное взаимодействие эквивалентно 3-частичному, соответствие устанавливается формулами

[math] c_A = c \,,\qquad c_D = 6\gamma/a^2. [/math]

Литература

Ссылки

Проект "Кристалл"

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Кристалл:треугольная&oldid=1222»